2024-2025学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1,2},B={x∣|x|b>0，命题q:2a>2b，则命题p是命题q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=12x2−lnx的单调递减区间为( )
A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)
6.若lgam=2，b3=m，则lgm(ab)=( )
A. 16B. 15C. 56D. 65
7.已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=10，则x+y的最小值为( )
A. 4B. 5C. 3 2D. 1+2 6
8.定义在(0,+∞)的增函数f(x)满足：f(x)+f(y)=f(xy)−1，且f(2)=0，fan=nn∈N∗.已知数列an的前n项和为Sn，则使得Snb>0，c∈R，则下列说法正确的是( )
A. cabc2C. 1a2b+c
10.已知f(x)=2x3−3x+1，则( )
A. x= 22是f(x)的极大值点B. f(x)在(1,+∞)上单调递增
C. f(x)的所有零点之和为0D. 直线y=−3x+1是f(x)的切线
11.已知数列an，设mn=a1+a2+⋯+annn∈N∗，若数列an满足：存在常数c，使得对于任意两两不相等的正整数i，j，k，都有(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=c，则称数列an具有性质Ω，下列结论正确的是( )
A. 若an=2n−1，则数列an具有性质Ω
B. 若数列an的前n项和Sn=2n−1，则数列an具有性质Ω
C. 若数列an具有性质Ω，则常数c=0
D. 若数列an具有性质Ω，则an为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lg2x,x>03x,x≤0，则f(1)= ．
13.已知等比数列an为递增数列，且5a1,a3的等差中项为3a2，则公比q为 ．
14.定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(1)=0，若关于x的不等式(mx−1)f(x−2)≥(nx+2)f(2−x)的解集为[1,+∞)，则em+e1−n的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设全集U=R，集合A={x|x−4x+1 −1时，g(x)≤0，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xe3x，记f1(x)=f′(x)，且fn+1(x)=fn′(x)，n∈N∗．
(1)求f1(x)，f2(x)；
(2)设fn(x)=an+bnxe3x，n∈N∗．
(i)证明：1b1−1+1b2−1+⋯+1bn−1b，不能推出p:a>b>0，即必要性不成立；
因此命题p是命题q的充分不必要条件．
故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可．
【详解】f(x)的定义域为(0,+∞)，解不等式f′(x)=x−1x=(x−1)(x+1)x0，利用基本不等式可求解．
【详解】由xy+2x−3y=10可得：(x−3)(y+2)=4．
因为x>3，
所以x−3>0，y+2>0，
则x+y=(x−3)+(y+2)+1≥2 (x−3)(y+2)+1=5，当且仅当(x−3)=(y+2)(x−3)(y+2)=4，即x=5y=0时等号成立．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型f(x)=lgax−1计算得出an=2n+1再应用等比数列的求和公式计算可得．
【详解】∵f(x)+f(y)=f(xy)−1，可令f(x)=lgax−1，又f(2)=0，则lga2−1=0，
∴a=2,∴f(x)=lg2x−1.∵fan=lg2an−1=n,∴an=2n+1，
∴Sn=22⋅1−2n1−2=2n+2−40，c∈R，
对于A，因为ca−cb=c(b−a)ab，而b−aabb2>0，从而1a2b+c，D对．
故选：CD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】对函数求导，令导函数等于零，解出方程的根，然后结合单调性判断A，B选项，利用因式分解以及二次方程求根公式求解函数的零点即可判断C选项，设切点坐标，利用函数导数的几何意义求出函数在该点出的切线方程，结合已知切线方程为y=−3x+1，求出切点即可判断D选项．
【详解】因为f(x)=2x3−3x+1，
所以f′(x)=6x2−3=6x+ 22x− 22，
令f′(x)=0，则x1=− 22,x2= 22，
由函数定义域为R，则
当x∈−∞,− 22时，f′(x)>0，所以函数f(x)在−∞,− 22上单调递增，
当x∈− 22, 22时，f′(x)0，所以函数f(x)在 22,+∞上单调递增，
所以x= 22是f(x)的极小值点，故A选项不正确；
由(1,+∞)⊆ 22,+∞且函数f(x)在 22,+∞上单调递增，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，故B选项正确；
由f(x)=2x3−3x+1=2x3−2x−(x−1)
=2xx2−1−(x−1)
=2x(x+1)(x−1)−(x−1)
=(x−1)2x2+2x−1，
令f(x)=0即(x−1)2x2+2x−1=0，
所以x−1=0或2x2+2x−1=0，所以x3=1，
由2x2+2x−1=0知Δ=4−4×2×(−1)=12>0，
所以方程2x2+2x−1=0有两不等实根x4,x5，
所以有x4+x5=−1，
所以f(x)的所有零点之和为x3+x4+x5=0，
故C正确；
设直线y=−3x+1与f(x)的切点为x0,y0，
则f′x0=6x02−3，
此时f(x)在点x0,y0处的切线方程为：
y−2x03−3x0+1=6x02−3x−x0，
即y=6x02−3x−4x03+1，
又此时f(x)在点x0,y0处的切线方程为：y=−3x+1，
所以6x02−3=−3−4x03+1=1，解得x0=0，所以y0=1，
所以存在切点(0,1)使得函数f(x)切线方程为：y=−3x+1，
故D正确，
故选：BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】对于A，根据等差数列求和得mn=n，然后根据性质Ω的概念判断；对于B，m1=2n−1n，然后根据性质Ω的概念判断；对于C，性质Ω的线性特征求得c=0判断C；根据性质Ω的概念得Sk=(2−k)ka1+a1+a22⋅k(k−1)，通过构造递推式证明等差数列即可判断D．
【详解】对于C，若an具有性质Ω，则(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=c①，
交换i，j的位置⇒(j−i)mk+(i−k)mj+(k−j)mi=c②，①+②⇒2c=0，
∴c=0，C正确．
对于A，若an=2n−1，∴mn=(1+2n−1)n2n=n，对∀两两不等的正整数i，j，k
(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=(i−j)k+(j−k)i+(k−i)j=0符合条件，
∴an具有性质Ω，A正确．
对于B，mn=2n−1n，取i=1，j=2，k=3，∴(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=−1×73+(−1)×1+2×32=−13≠0，
∴an不具有性质Ω，B错．
对于D，令i=1，j=2，记Sn为数列an的前n项和，∵an具有性质Ω，
∴(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=0⇒−Skk+(2−k)a1+(k−1)⋅a1+a22=0，
⇒Sk=(2−k)ka1+a1+a22⋅k(k−1)①，
k≥2时，Sk−1=(3−k)(k−1)a1+a1+a22(k−1)(k−2)②，
①−②⇒ak=(3−2k)a1+a1+a2(k−1)=a2−a1k+2a1−a2，
∴ak+1−ak=a2−a1(k≥2且k∈N∗)，而k=1时，上式也成立
∴an+1−an=a2−a1对∀n∈N∗恒成立，∴an为等差数列，D正确．
故选：ACD．
12.【答案】0
【解析】【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解．
【详解】因为函数f(x)=lg2x,x>03x,x≤0，且1>0，
所以f(1)=lg21=0，
故答案为：0．
13.【答案】5
【解析】【分析】利用等差中项的性质建立方程，结合等比数列的性质化简方程，求解参数即可．
【详解】因为5a1,a3的等差中项为3a2，所以5a1+a3=6a2，
则5a1+a1⋅q2=6a1q，由等比数列性质得a1≠0，
得到q2−6q+5=0，解得q=5或q=1，
由于an为递增数列，故q=5符合题意．
故答案为：5
14.【答案】2e
【解析】【分析】由f(x)为偶函数可得f(x−2)=f(2−x)，转化题设不等式为[(m−n)x−3]f(x−2)≥0，结合单调性分析易得f(x−2)≤0的解集为[1,3]，f(x−2)≥0的解集为(−∞,1]∪[3,+∞)，再结合题意可得3为方程(m−n)x−3=0的根，进而得到m=n+1，进而结合基本不等式求解即可．
【详解】由f(x)为偶函数，得f(x)=f(−x)，即f(x−2)=f(2−x)，
不等式(mx−1)f(x−2)≥(nx+2)f(2−x)⇔[(m−n)x−3]f(x−2)≥0，
又函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(−1)=f(1)=0，则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
则当x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f(x)>0，当x∈(−1,1)时，f(x)0，当x∈(1,3)时，f(x−2)n时，不等式(m−n)x−3≥0解集为x≥3m−n，(m−n)x−3≤0解集为x≤3m−n，
要使不等式[(m−n)x−3]f(x−2)≥0的解集为[1,+∞)，则3m−n=3，即m=n+1；
当m