湖南省娄底市2024_2025学年高三数学上学期1月期末试题含解析

这是一份湖南省娄底市2024_2025学年高三数学上学期1月期末试题含解析，共21页。试卷主要包含了 若 ，则下列结论一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断选项.
【详解】命题“ ， ”的否定是“ ， ”,
故选:B.
2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法法则求得 z，再由模的定义计算.
【详解】因为复数 z 满足 ，所以复数 z 满足 ，
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所以 .
故选：A.
3. 已知集合 ， ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合 B，结合 和集合具有互异性，得出实数 a 的取值范围.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，因为 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
4. 若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式展开计算可得结论.
【详解】由已知得： ，
即 ，所以 .
故选：A.
5. 在 中，点 D 在 边上，且 ，设 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】因为点 D 在 边上，且 ，
所以 .
故选：C.
6. 如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径，已知 ， ，M 是 的中点，二面角
的大小为 .则圆锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先说明 为二面角 的平面角，即可求出 ，再根据锥体的体积公式计算可
得.
【详解】因为 是底面圆的直径，所以 ，
又 M 是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，即 .
由已知 ， ，可得 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
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由 ，解得 ，
所以圆锥 的体积 .
故选：B.
7. 已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 且 B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案.
【详解】法一：由 ，则 ，由 ，则 ，即 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ；
法二：由 ， ， ，
∵ ，∴ ，故 .
故选：D.
8. 已知点 F 是抛物线 的焦点，点 A 是抛物线 E 上一点.过点 A 作圆 的两条切线，
切点分别为 B，C，且分别交抛物线的准线于 M，N 两点，M，N 位于 y 轴异侧（如图所示）.若
，则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
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【答案】B
【解析】
【分析】设 与圆 O 相切于点 D，由切线长定理可得 的周长为 ，可得
，设 ，由题意得 ，可得 ，
计算可得 ，结合已知可得 ，可求 .
【详解】设 与圆 O 相切于点 D，由题图及切线长相等可得： ， ，
，
∴ 的周长为 ，
∴ ，
设 ，由题意得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
由 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理与三角形的面积得到 ，
进而计算求解.
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
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9. 已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重合，
则关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 图象关于点 对称
C. 函数 图象关于直线 对称
D. 函数 在区间 上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件可得 ，根据周期公式即可判断 A 项；代入检验结合余弦函数的对称性
可判断 B、C 项；根据正弦函数的单调性即可判断 D 项.
【详解】因为将 的图象向左平移 个单位长度得到
，
对于 A，函数 的最小正周期 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D，令 ，整理得 ，
所以单调递减区间为 ，
显然 时，单调递减区间为 ，
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因为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 设 A，B 是一次随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
（ ）
A. A，B 相互独立 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 A，B 相互独立，故 A 正确；
所以 ，故 B 错误；
因为 A，B 相互独立，所以 ， 相互独立， ，B 相互独立，A， 相互独立，
所以
，故 C 正确；
因为 ，
，
所以 ，故 D 正确.
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故选：ACD.
11. 已知函数 的定义域为 ，区间 ，若 ， ，则称 是 在 D 上的不动
点，集合 为 在 D 上的不动点集.若函数
在 R 上的不动点集为 ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断 A 和 B；再设
，对其求导，求出单调性得出 m 取值范围，再根据题意即可求出 的范围，
判断 C 和 D 即可.
【详解】因为 在 R 上的不动点集为 ，
所以 ，
即方程 在 R 上存在 3 个实数根 ， ， ，
所以
，
从而 ，所以 A 正确，B 错误；
令 ，则 ，
当 和 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
则 ，解得 .
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因为 ，
所以 C 错误，D 正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法
（1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解：
（2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 函数 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出导函数，得 ，即切线斜率，然后可得切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以切线方程为： ，即 .
故答案为： .
13. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，则 的面积的最大值
为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得 最大值，再用三角形的面积公式求解即可.
【详解】因为已知 ， 由余弦定理可得 ，
因为 ，又因为 ，得 ，
当且仅当 时等号成立，
则 面积为 ，
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当且仅当 时等号成立，故 的面积的最大值为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，其中 ，直线
与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记 的面积为 S，若 时， ，则椭圆 C 的
离心率的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】连接 ， ，由题意可得四边形 为矩形，利用已知可得 ，利用椭圆
的几何性质与勾股定理可得 ，可得 ，结合题意可得有 ，可求
椭圆 C 的离心率的取值范围.
【详解】连接 ， ，由题意得， ，
所以四边形 为矩形，所以 ，故 ，
又 ，由勾股定理得 ，
即 ，
则 ，故 ，
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即 ，即 ，解得 ，
又点 P 在直线 上，且 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，解得 ，
综上，椭圆 C 的离心率的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到 ，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可
得 ，进而计算即可，需注意 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列 满足： ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，若 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用累加法即可求出结果；
（2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前 n 项和为 ，即可证明结果.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以当 时， ，…， ， ，
上述各式相加得 ，
又 ，所以 ，
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又 满足上式，故 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
所以 ，
所以数列 的前 n 项和
，
即 .
16. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛
方式，全校共有 200 名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为 ，
， ，得到如下的频数统计表：
分数区间
性别
男生/名 15 45 60
女生/名 25 25 30
（1）若学生得分不低于 90 分，则认为基本技能优秀，得分低于 90 分，则认为基本技能良好，依据小概率
值 独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的 200 名学生中，按性别比
例分层抽样的方式随机抽取 5 名学生进行问卷调研，然后再从这 5 名学生中随机抽取 3 名学生进行座谈调
研，记取出的 3 人中女生的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
附：
α 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
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， .
【答案】（1）认为该校学生的基本技能与性别有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】(1)由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
(2)由题意 的可能取值有 0，1，2，进而求其分布列并求期望值.
【小问 1 详解】
根据题意得如下 2×2 列联表：
男生 女生 合计
基本技能优秀 60 30 90
基本技能良好 60 50 110
合计 120 80 200
零假设 ：该校学生的基本技能与性别无关联.
，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.1.
【小问 2 详解】
由题意知，随机抽取进行问卷调查的 5 名学生中，女生 2 名，男生 3 名，
所以随机变量 的可能取值有 0，1，2，
故 ，
，
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，
故 X 的分布列如下，
X 0 1 2
P
17. 如图，在三棱柱 中，D 为边 上（异于 A，C 两点）的动点，平面 与边 交
于点 E.
（1）请判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知侧面 底面 ， ， ， ，求直线
与平面 所成角的大小.
【答案】（1）平行四边形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再证明线线平行，还要利用面面平行证明线线平行，从而可得
平行四边形；
（2）利用空间向量法来求线面角的大小.
【小问 1 详解】
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在三棱柱 中， ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ,
又平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
所以四边形 为平行四边形.
【小问 2 详解】
取 的中点 O，连接 ， .
在 中，因 ，所以 ，
因为侧面 底面 ，底面 侧面 ， 底面 ，
所以 平面 ，又 侧面 ，所以 .
在 中，由 ， ，可知 ，
在 Rt 中，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
从而 ， ， 两两垂直.
以 O 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
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则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 .又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
18. 已知函数 ， .
（1）证明：函数 与 的图象关于直线 对称；
（2）设 .
（ⅰ）判断函数 的单调性；
（ⅱ）证明： ， .
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） 在 单调递增；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别取两个函数图象上 任意一点，得到关于直线 的对称点，分别代入函数解析式检验，
可得答案；
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（2）（i）整理函数解析式，根据导数与函数的单调性的关系，对于导数由指数函数恒大于零，构造函数并
利用其导数求其最值，可得答案；
（ii）整理不等式，构造函数，求导并利用放缩法，研究导数的最值，可得答案.
【小问 1 详解】
设点 为函数 上任一点，又点 关于直线 对称的点为 ，
因为 ，所以 ，所以点 在函数 的图象上.
设点 为函数 上任意一点，又点 关于直线 对称的点为 ，
因为 ，所以 ，所以点 在函数 的图象上.
综上可得，函数 的图象与 的图象关于直线 对称；
【小问 2 详解】
（ⅰ）由已知 ，
得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
则 在 单调递增.
（ⅱ）根据题意知 ，
当 时，令 ，
则 ，
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令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，则 在 上单调递增，
则 ，
所以 ，
即 ，
【点睛】关键点点睛：本题的单调在于第二小题第二问对于构造函数的单调性研究，关键在于对于构造函
数的导数采用放缩法化简，利用放缩法解决问题是要注意放缩方向以及放缩的程度.
19. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，D 是双曲线 C 的右支上一点，
若 ，双曲线 E 的离心率为 .
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）设 ， 分别是双曲线 C 的左，右顶点，平行 y 轴的直线 l 交双曲线 C 于 P，Q（异于 ， ）两
点.直线 与直线 交于点 R，求交点 R 的轨迹 E 的方程；
（3）过点 且斜率为 的直线交第（2）问的轨迹 E 于 A，B（A，B 不在坐标轴上）两点，
点 G 是轨迹 E 上一点，满足 轴，直线 ， 分别交直线 于点 M，N，其中 O 为坐标原点，
记 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求得结果.
（2）首先设出每个点的坐标，由 ，R，P 三点共线得： ；由 ，R，Q 三点共
线得： ，两式联立再代入双曲线方程即可；
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积 ,再化简利用不等式即可求得结果.
【小问 1 详解】
因为 D 是双曲线 C 的右支上一点，且 ，
所以 ，
又双曲线 C 的离心率为 ，即 ，得 ，
所以 ，所以双曲线 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）得双曲线 C 的方程为 ，
设 , ，则 ，又 ， ，
则 ， ，
由 ，R，P 三点共线得： ；
又 ， ，
由 ，R，Q 三点共线得： ，
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两式相除得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以直线 与直线 的交点 R 的轨迹 E 的方程为 .
【小问 3 详解】
由已知可设直线 的方程为 ， ，设 ， ，
联立 化简可得 ，
所以 ，
所以 ， ，
，
，
又直线 的方程为 ，与直线 联立可得 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，与直线 联立可得 ，
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所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：第二问由 ，R，P 三点共线得： ；
由 ，R，Q 三点共线得： ，两式联立再代入双曲线方程即可；
第三问设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积 ,再化简利用不等式即可求得结果.
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