安徽省宿州市省市示范高中2024_2025学年高一数学上学期1月期末教学质量检测试题含解析

这是一份安徽省宿州市省市示范高中2024_2025学年高一数学上学期1月期末教学质量检测试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】由，得，解得或，
故选：D
2. 若幂函数在上是减函数，则实数m等于（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即可.
【详解】由幂函数在上是减函数，得，
所以.
故选：A
3. 点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】判断、的符号，即可得出结论.
【详解】因为，，即为第二象限角，为第四象限角，
所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限.
故选：C.
4. 已知是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】通过举反例证明充分性不成立，由对数函数的单调性得到，再由得到，必要性成立.
【详解】当，时，满足，此时，即充分性不满足；
因为，所以，所以，
因为，所以，即必要性满足，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为对数函数、在上均为增函数，
所以，，，
因为指数函数在上为减函数，则，即，
因此，.
故选：D.
6. 函数在区间的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断为奇函数，可以先考虑时的情况，由于此时单调递增且大于0，再由的正负情况得出正确结果.
【详解】因为，且定义域为R，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，C错误；
观察A，B，D项图象的差异，主要在于函数值的正负．
当时，单调递增，且，
所以当时，，
而当时，，当时，，
所以当时，，当时，，可得B，D错误.
故选：A．
7. 已知，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法可得函数解析式，进而可得值域.
【详解】设，则，
，
，，
函数的值域为，
故选：C.
8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围．
【详解】因为，当时，，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则，
当时，；当时，；当时，．
又因为，所以的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用列举法表示集合，再结合集合交并运算判断AB；确定命题真假判断CD.
【详解】对于AB，，则，，A错误，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据倍角公式和辅助角公式将化成单角单函数即，由正弦型函数的最小正周期判断A选项；利用代入检验的思想判断B选项；根据图象平移得到平移后的函数，再根据偶函数得到，根据的范围求得的值，判断C选项；转化为两个函数图象的交点问题，结合正弦函数图象求得的取值范围，判断D选项.
【详解】对A，，则的最小正周期为，故A正确；
对B,因为，所以函数的图象关于点对称，故B错误；
对C,将函数的图象向右移个单位长度后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，所以，
即，又，所以的最小值为，故C正确；
对D,由得，，
若，则，
若关于的方程有两个实数根，则与图象有两个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义在上函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】推导出，在等式中，令可求得的值，在等式中，令可求得的值，可判断A选项；由函数的周期性结合函数在上的单调性可判断B选项；利用函数的单调性与对称性可知，函数在区间上单调递减，可判断C选项；在等式中，令，可得出，再由可判断D选项.
【详解】因为，所以，
所以.
因为，取，得.
因为，取，得，
又，所以，故A正确；
由在区间上单调递减，得，
又，且，所以，故B正确；
因为，所以函数的图象关于点对称，
因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，
因为，则，所以，故C错误；
由，取，得，
又，所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用奇函数的定义求解即可.
【详解】由题意得，，解得，
所以，
故答案为：1
13. 已知，且，，则_______.
【答案】##
【解析】
【分析】同时平方，根据同角三角函数的平方关系得到，再利用两角和的正弦公式的逆用求得，再根据的范围求得的值.
【详解】因为，，所以，
即，
所以，
由，得，则.
故答案为：.
14. 已知关于函数在上单调递增，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】令，则，
因为在上单调递减，
所以上单调递减，且，
所以，解得，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韦达定理求解即可；
（2）利用将转化基本不等式形式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，是方程的两根,
则,解得.
【小问2详解】
由（1）得，正实数，满足，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为.
16. “大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）9.5分钟
【解析】
【分析】（1）代入求解即可；
（2）根据题意列式求解方程即可.
【小问1详解】
茶水温度从开始
当时，，
小问2详解】
当时，
当时，
刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感
17. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若为第三象限角，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可；
（3）利用诱导公式和同角三角函数关系求出，，再根据余弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
由题意可得.
【小问2详解】
若，
则.
【小问3详解】
因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以.
18. 已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可；
（2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可.
【小问1详解】
由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，
经检验，对于，成立，所以．
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，所以，，，
，，
所以当时的值域，
又，，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即实数m的取值范围是．
19. 若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对.
（1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），理由见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据“可平衡”函数的定义结合两角和差的正弦公式求解即可；
（2）先根据余弦的二倍角公式转化为，再利用待定系数，令系数为0时恒等于0判断即可.
【小问1详解】
当为“可平衡”函数时，
由题意可得对于定义域内的任意实数成立，
即对于定义域内的任意实数成立，
所以，即对于定义域内的任意实数成立，
则，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.
【小问2详解】
假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有
成立，
则对于定义域内的任意实数成立，
即，
即，
即对于定义域内的任意实数成立，
因为，所以，
所以，即，，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.
【点睛】方法点睛：
根据“可平衡”函数的定义，结合三角恒等变换，根据题意列出参数满足的关系式，利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式求解.