安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，解得或.
故选：D.
2. 若幂函数在上是减函数，则实数m等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】由幂函数在上是减函数，得，
所以.
故选：A.
3. 点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，，即为第二象限角，为第四象限角，
所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限.
故选：C.
4. 已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，时，满足，此时，即充分性不满足；
因为，所以，所以，
因为，所以，即必要性满足，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为对数函数、在上均为增函数，
所以，，
因为指数函数在上为减函数，则，即，
因此，.
故选：D.
6. 函数在区间的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，且定义域为R，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，C错误；
观察A，B，D项图象的差异，主要在于函数值的正负．
当时，单调递增，且，
所以当时，，
而当时，，当时，，
所以当时，，当时，，可得B，D错误.
故选：A．
7. 已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，，
，，
函数的值域为.
故选：C.
8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，当时，，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则，
当时，；当时，；当时，．
又因为，所以的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】BC
【解析】对于AB，，则，，A错误，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为
D．若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对A，
，则的最小正周期为，故A正确；
对B，因为，所以函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，将函数的图象向右移个单位长度后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，所以，
即，又，所以的最小值为，故C正确；
对D，由得，，
若，则，
若关于的方程有两个实数根，则与图象有两个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
所以.
因为，取，得.
因为，取，得，
又，所以，故A正确；
由在区间上单调递减，得，
又，且，所以，故B正确；
因为，所以函数的图象关于点对称，
因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，
因为，则，所以，故C错误；
由，取，得，
又，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则 .
【答案】1
【解析】由题意得，，解得，
所以.
13. 已知，且，，则 .
【答案】
【解析】因为，，
所以，
即，
所以，
由，得，则.
14. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
解：（1）由题意得，，是方程的两根，
则，解得.
（2）由（1）得，正实数，满足，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为.
16. “大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
解：（1）茶水温度从开始，
当时，，.
（2）当时，，
当时，，
，
，
，
刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.
17. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若为第三象限角，且，求的值.
解：（1）由题意可得.
（2）若，
则.
（3）因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以.
18. 已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意可得，函数的定义域为R，
因为是奇函数，所以，可得，
经检验，对于，成立，所以．
（2）由（1）可得，
因为，所以，，，
，，
所以当时的值域，
又，，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即实数m的取值范围是．
19. 若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对.
（1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）当为“可平衡”函数时，
由题意可得对于定义域内的任意实数成立，
即对于定义域内的任意实数成立，
所以，
即对于定义域内的任意实数成立，
则，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.
（2）假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，
均有成立，
则对于定义域内的任意实数成立，
即，
即，
即对于定义域内的任意实数成立，
因为，所以，
所以，即，，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.