江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则的虚部为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
2．已知，，则（ ）
A．2B．C．4D．8
3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（ ）
A．1400人B．1600人C．1800人D．2000人
4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（ ）
A．A，B相互独立B．A，B互斥
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（ ）
A．样本平均数不相同B．样本中位数相同
C．样本标准差不相同D．样本极差相同
10．在锐角中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（ ）

A．平面
B．当时，直线与所成的角
C．当二面角为时，
D．直线上的点到直线的最短距离为
三、填空题
12．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为 .
13．已知数据1，2，4，的方差为，则 .
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为 .
四、解答题
15．近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求选取的市民年龄在内的人数；
(2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；
(3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数.
16．已知复数，，.
(1)当时，求和；
(2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.
17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；
(2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.
18．定义向量，.
(1)求；
(2)若与共线，求；
(3)证明：当且仅当时，对任意恒成立.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

1．A
利用复数的除法法则化简即可.
【详解】由题意得，，故的虚部为.
故选：A
2．B
根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可.
【详解】因为，
所以.
所以.
故选：B.
3．C
根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可
【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，
高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人，
因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是，
所以该校学生总数是，
即该校学生总数为1800人．
故选：C.
4．D
求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解.
【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张，
所有可能的组合有：，共种等可能的结果，
和为奇数的条件是一奇一偶，
符合条件的组合为：，
所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为.
故选：D.
5．B
根据线面位置关系，逐项检验，可得答案.
【详解】对于A，由，，则或，故A错误；
对于B，由，则，使得，由，则，即，故B正确；
对于C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内，
当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误；
对于D，当且时，，，，故D错误.
故选：B.
6．C
设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解.
【详解】依题意，设，则，
因为在上的投影向量为，所以，又，
所以，所以，即，
因，，，则，解得，所以.
故选：C.
7．C
根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案.
【详解】由题意可得，，，
由，则，故C正确，B错误；
由，则事件不是相互独立的，故A错误；
由，则D错误.
故选：C.
8．D
利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得.
【详解】因为
所以，
所以.
故选：D
9．AD
利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可.
【详解】对于A，两组数据的平均数分别为，，故A正确；
对于B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误；
对于C，两组数据的标准差都为，故C错误；
对于D，两组数据的极差分别为，故D正确.
故选：AD
10．ABD
对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出.
【详解】对于选项A：
因为，
所以①
②，
所以，所以A正确；
对于选项B：
因为，.
所以，即，所以B正确；
对于选项C：
因为，所以.
所以，所以C正确；
对于选项D：
因为，.
又，所以，
化简得，所以解得.
又是锐角，所以，所以，D正确.
故选：ABD.
11．ACD
在矩形中可证、、，故可证平面，从而可判断A的正误，对于B，连接，或其补角为异面直线所成的角，结合余弦定理计算后可判断其正误，对于C，在平面中，过作，垂足为，连接，结合余弦定理及垂直关系转化计算后可判断其正误，对于D，由公垂线可知直线上的点到直线的最短距离即为，故可判断其正误,
【详解】对于A，在矩形中，因为为的三等分点，故，
同理，而，故四边形为平行四边形，故，
同理.
在直角三角形中，，故，
而为锐角，故，同理，故，
故，故，同理，
故在三棱锥中，有，
而平面，故平面，故A正确；
对于B，连接，由A的分析可得，，
故或其补角为异面直线所成的角， 且，
而，，
故在图②中，，
而，
同理，
由余弦定理可得，
故直线与所成的角不是，故B错误；
对于C，当二面角为时，在平面中，过作，
垂足为，连接，
由A的分析可得,，故为二面角的平面角，
故，故，故，
，其中，，
故，故，所以，
故，
因为平面，而平面，故平面平面，
而平面平面，平面，故平面，
因为平面，故，故，
故，故C正确；
对于D，由A的分析可得，，
故为与的公垂线，
故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确；
故选：ACD.
12．
由题意可得母线长与底面半径，利用侧面展开图是扇形可求侧面积.
【详解】由题意可得圆锥的母线长，底面半径为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
13．或3
根据方差公式计算即可.
【详解】数据1，2，4，的平均数为，
故方差为，
化简可得，
即，解得或.
故答案为：或3
14．
由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】由题意，所以，
而，解得，
由余弦定理有，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最大值为12，所以的面积的最大值为.
故答案为：.
15．(1)140人
(2)岁
(3)
（1）根据频率分布直方图求出市民年龄在内的频率，进而可求出频数.
（2）根据频率分布直方图求平均数.
（3）根据百分位数的定义和公式进行求解计算.
【详解】（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，
由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.
所以选取的市民年龄在内的人数为140人.
（2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为
.
所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.
（3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，
市民年龄在内的频率之和为，
所以70百分位数应在中，设为，
可得，解得.
所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.
16．(1)，
(2)
（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案；
（2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案.
【详解】（1）当时，，，
所以，，
则.
（2）由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
17．(1)
(2)
（1）由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答案；
（2）由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦定理，可得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）按题目所给定义带入相应值求解；
（2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算即可.
（3）按题目所给定义将不等式化简为证明，当时，不等式对成立，当时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）因为，
，
要证，只要证.
方法1：①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
方法2：令，，则，
①当时，成立，
②当时，取，，，而，
所以.
③当时，取，，，而，
所以.
④当时，取，，，而，所以.
综上所述，当且仅当时，.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为底面为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点E，连接，，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以，，.
又因为，所以，
因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，即为直角三角形，
所以，所以，
即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.

（3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.
①若点G在上，则就是与平面所成的角.
在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号.
②若点不在上，连接，，设，，，.
因为平面，平面，所以，.
在中，由，得，，
在中，，
所以在中，，
则，
当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到.
令，，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取等号.
所以.
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
C
C
D
AD
ABD
题号
11









答案
ACD