湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期10月学业质量检测 数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期10月学业质量检测 数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，
由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数，
故选：C．
2. 下列校徽主体图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】、不中心对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方程两边加上9得到：x2-4x+4=9，
∴．
故选：C．
4. 把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴得到的图像解析式是，即．
故选：A．
5. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵点C、A、在同一条直线上，
∴
∵，
∴．
∴旋转角等于．
故选：C．
6. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A. 8B. 9C. 8或9D. 12
【答案】B
【解析】①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】二次函数的对称轴为直线，
∵，∴抛物线开口向上，
∵点，点，点到对称轴的距离分别为2、1、3，距离对称轴越近的点，函数值越小，∴．
故选：B．
8. 已知函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A. 22B. 20C. 17D. 0
【答案】A
【解析】∵函数的图象上有两点和，
，
把代入得，，
∵函数的图象上有两点和，
∴m，n是方程的两个根，
，，，
∴．
故选：A．
9. 如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，
其中正确结论有个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】连接，如图所示：
由题意得：，
∴，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
作，如图所示：

则，
∴，
∴
∴四边形的面积，故③正确；
将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：

同理可得：是等边三角形，，，
则，
∴，
∴
∴，故④正确；
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
10. 点P(1,-1)关于原点对称的点的坐标是_________.
【答案】(-1,1)
【解析】点P(1,－1)关于原点对称的点的坐标是（－1， 1）.
11. 二次函数的图象的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】由二次函数的性质可得，二次函数的图象的顶点坐标是．
12. 有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为_________．
【答案】
【解析】设抛物线解析式为，
由图象可知，点的坐标为，
代入解析式得，解得，
∴该抛物线的解析式为，
故答案为：．
13. 若关于的函数与坐标轴有两个交点，则的值是___________．
【答案】
【解析】当函数为一次函数时，
，
解得，
此时函数为，与轴有一个交点，与轴有一个交点，满足与坐标轴有两个交点．
当函数二次函数时，
，即，
函数与轴一定有一个交点，
∵函数与坐标轴有两个交点，
∴与轴有一个交点，
对于二次函数（），判别式时，与轴有一个交点，
在中，，，，
∴，即，
，
，
解得．
综上，的值为或．
故答案为：或．
14. 已知二次函数（）的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③对于任意的均有有；④若方程，有个根，则这四个根之和为，其中正确的结论是______．
【答案】①②③④
【解析】∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴上，
∴，，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
当时，函数最大值为，
∴对于任意的均有
∴，
即，故③正确；
∵方程有四个根，
∴方程与方程各自有两个根，设分别为，
∴，，
∴，故④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
15. 点是正方形内的一点，是边上的一点，，的最小值为______．
【答案】
【解析】将绕点顺时针旋转至，连接，过点于点交于，
则，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
当且仅当四点共线时，取得最小值，此时点与点重合，最小值，
∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
即的最小值为．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 解一元二次方程：
（1）
（2）
解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴．
17. 二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
（1）方程的两个根为___________；
（2）若，则自变量的取值范围为___________；
（3）若方程有两个不相等的实数根，的取值范围是___________．
解：（1）∵二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴方程的两个根为；
（2）二次函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴二次函数解析式为，
联立，解得或，
∴当时，或；
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数与直线有两个不同的交点，
∴．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
（1）证明：整理原方程得，，
，
无论为何实数，总有，从而，
即．
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程整理得，
方程的两个实数根、，
，，
，
解得．
19. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
解：（1）设，
∵铁栅栏总长为，
∴，
由题意得：，
整理得：，解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：鸡场的长和宽分别为与；
（2）设，则，
由题意得：，
整理得：，
∵，∴方程无解，
故这一想法不能实现．
20. 如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示，
（1）在图中，画线段于点，使；
（2）在图中，点为与网格线的交点，先将线段绕点顺时针旋转得线段，在线段上画出点的对应点：
（3）在图中，画出点关于的对称点．
解：（1）如图所示，线段即为所求；
（2）如图所示，线段及点即为所求；
（3）如图所示，点即为所求．
21. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），
代入解析式得：，解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得：，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
22. 在中，，．
（1）如图1，点在边上，且．求的值；
（2）如图2，点在的外部，且．求证：；
（3）若是平面内一点，且，，请直接写出的值为______．
解：（1），，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，过点作于，
，，
，
，
，，，
，
，
，
又，，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，当点在内时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，
，，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，，
，，
，，
，，，；
如图4，当点在外时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，
，，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，，
，，
，，
，
，
，
综上所述：或．
23. 如图，抛物线交轴于，两点（在的左边）与轴交于点．

（1）如图1，已知，且点的坐标为
①求抛物线的解析式；
②P为第四象限抛物线上一点，交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
（2）如图，为轴正半轴上一点，过点作交抛物线于，两点（在的左边），直线，分别交轴于，两点，求的值．
解：（1）①由，
当，解得：，
∴，
∵，
∴，
将，代入，
∴，解得：，
∴；
②设，又
设直线的解析式为，
即，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（2）设的横坐标分别为，直线的解析式为，
，消去，得，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
又∵，
∴．