2023-2024学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4.方程经过配方后，其结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.下列说法中，正确的是(    )

A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
D. 两边相等的平行四边形是菱形

6.对于抛物线，下列说法中错误的是(    )

A. 抛物线与轴没有交点 B. 抛物线开口向下
C. 顶点坐标是 D. 函数有最大值，且最大值为

7.已知、是一元二次方程的根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.设，，是抛物线为常数上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同在其中一个桥洞中，水而宽度为米，如图，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.抛物线的顶点坐标是______．

12.某种型号的芯片每片的出厂价为元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为元、依题意可列方程为：______ ．

13.关于的方程有实数根，则的取值范围______ ．

14.我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程单位：步关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是______ ．

15.抛物线过点，对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；；；若函数图象上有两点和，且，则，其中判断正确的序号是______ ．

16.如图，在平面直角坐标系中，已知，点为线段上任意一点在直线上取点、使，延长到点，使，分别取、中点、，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：；
解方程：．

18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围；
若，满足求的值．

19.本小题分

某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间单位：作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表：

请根据以上信息解答下列问题．
组数据的中位数是______ ；
本次调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．

20.本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
若，，求的长．

21.本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，为格点三角形，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
如图中，找格点使且，再在上画点，使；
在图中，为非格点且在上，在上找点，使最小；然后在上找点，使．

 

22.本小题分

某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙粗线表示墙，墙足够高改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽米的门细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开，为了充分利用墙体，点必须在线段上，设的长为米．
______ 米；用含的代数式表示；
若围成的篮球场的面积为平方米，求的长；围网及墙体所占面积忽略不计
篮球场的面积是否能达到平方米？请说明理由．

23.本小题分
如图，正方形中，点、分别是边、上的点，请你直接写出、、之间的数量关系：______ ．
如图，在四边形中，，与互补，点、分别是边、上的点，，请问：中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；
在的条件下，若、分别在直线和直线上，若，，则 ______ ．

 

24.本小题分

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，．
求抛物线的表达式．
直线其中与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长的最大时，求证：四边形是平行四边形．
在的条件下，连接，过点的直线与抛物线交于点，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项不符合题意；
是最简二次根式，
选项符合题意；
的被开方数含有分母，
不是最简二次根式，
选项不符合题意；
的被开方数含有分母，
不是最简二次根式，
选项不符合题意，
故选：．
利用最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3.【答案】 

【解析】解：方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式求解即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故选：．
根据配方法的求解步骤，进行求解即可．
此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．

5.【答案】 

【解析】解：、只有对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D、只有两组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：．
分别根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分析得出即可．
此题主要考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练区分它们是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，函数有最大值，最大值为；
令，则，即，
解得，，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
根据二次函数的性质对、、进行判断；通过判断方程的实数解的个数可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次根式的性质．

7.【答案】 

【解析】解：由题知，
因为、是一元二次方程的根，
所以，，
即，．
所以．
又，，
所以．
故选：．
将和分别代入原方程可得出，，再利用跟与系数的关系即可解决问题．
本题考查根与系数的关系，整体思想的运用是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线为常数的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知，抛物线与轴的交点为、，其顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为
令，解得或．
此时水面的宽度为米．
每个拱桥内水面的宽度是米．
故选：．
根据顶点坐标为，设其解析式为，将代入求出的值，利用时，求出的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出函数关系式是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，过作交延长线于，
是边的中点，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
，，
是中点，，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．
故选：．
连接并延长交于，过作交延长线于，由中点定义求出，由直角三角形的性质求出，，由证明≌，得到，，求出，得到，求出，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形，三角形的中位线．

11.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
利用经过两次降价后的出厂价原出厂价每次降价的百分率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：当，，即时，为一元一次方程，一定有实数根；
当，即时，为一元二次方程，
由方程有实数根可得：，解得：且；
综上，的取值范围为．
故答案为：．
当，时，为一元一次方程，一定有实数根；当时，为一元二次方程，根据根的判别式列不等式求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，不善行者函数解析式为，
善行者函数解析式为，
联立，
解得，
两图象交点的纵坐标为，
故答案为：．
根据题意去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：由开口向上得；
由抛物线与轴交点得；
由对称轴，得；
故，即错；
由抛物线与轴个交点得；
故对；
由抛物线与轴一个交点为，
得当时；
故对；
由，，
得当时，函数图象上两点和，有，
故若函数图象上有两点和，且，则；
即对；
总之判断正确的序号为．
由开口向上得；由抛物线与轴交点得；由对称轴，得；故，即错；
由抛物线与轴个交点得；故对；
由抛物线与轴一个交点为，得当时；故错；
由，，得当时，函数图象上两点和，有，故若函数图象上有两点和，且，则；即对；
本题主要考查了二次函数的基本性质，关键是对顶点，对称轴，最值的理解与应用．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，设交于，连接．
，，
，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小此时的值最小，
，，直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，

的最小值为，即的最小值为．
如图，连接，，设交于，连接证明四边形是矩形，推出，求出的最小值即可解决问题．
本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

17.【答案】解：


；
，
，
，
，
，
，． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：由题意得，
．
故实数的取值范围为；
依题意有，，
，
，
解得，舍去．
故的值是． 

【解析】根据，解不等式即可；
由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算可得．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．

19.【答案】     

【解析】解：组的数据分别为：，，，，，
组数据的中位数是；
故答案为：；
本次调查的样本容量是，
，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
人，
答：估计该校学生劳动时间超过的大约有人．
利用中位数的定义即可得出答案；
由组的人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以组所占百分比即可；
用总人数乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占百分比即可．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．

20.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，对角线，交于点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，为中点，
． 

【解析】根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：如图，格点，点即为所求；
如图，点、点即为所求．
 

【解析】利用网格得，连接，找到的中点，进而可以得到满足条件的点；
利用轴对称的性质，作点关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质，垂足即为点．
本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，轴对称的性质，解决本题的关键是轴对称的性质．

22.【答案】 

【解析】解：根据题意得：米．
故答案为：；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为米；
篮球场的面积不能达到平方米，理由如下：
假设篮球场的面积能达到平方米，根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即篮球场的面积不能达到平方米．
利用的长围网的总长个门的宽的长的长，即可用含的代数式表示出的长；
根据围成的篮球场的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
篮球场的面积不能达到平方米，假设篮球场的面积能达到平方米，根据围成的篮球场的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即篮球场的面积不能达到平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

23.【答案】 或 

【解析】解：，理由如下：
如图，延长到点，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为：；
中结论仍然成立，
理由如下：如图，延长到点，使，连接，

，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
当点在线段上时，如图，

，，
，
由可知，，
，
，
，
解得：，
；
当点在线段的延长线上时，如图，在上截取，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
如图，先证明≌，得出，，再证明≌，即可得出结论；
如图，先证明≌，得出，，再证明≌，即可得出结论；
分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24.【答案】解：直线经过点，，
当时，，
，
即，
当时，，
，
即，
点、在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
由题知，，，
，
，
故有最大值，
当时，的最大值为，
此时，
又，
四边形为平行四边形；
，如下图：

直线和直线关于直线对称，
由知，当线段最大时，直线的表达式为：，
此时点的坐标，点的坐标为，
则点关于的对称点，
设直线的表达式为，
代入点和的坐标，得，
解得，
直线的表达式为，
联立直线和抛物线得，
解得舍去或，
即点的坐标为． 

【解析】根据直线经过点，，求出点和点的坐标，再用待定系数法求解析式即可；
由题知，，，根据二次函数的性质求出的最大值，根据平行且等于得出四边形是平行四边形即可；
由，得出直线和直线关于直线对称，由得出点的坐标，的对称点的坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出点的坐标．
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质等知识是解题的关键．