辽宁省阜新市彰武县六校联考2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省阜新市彰武县六校联考2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分）
1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：B．
2. 沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（ ）
A. 液氧B. 液氢C. 液氮D. 液氦
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
沸点最高的液体是液氧．
故选：A．
3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】3240万
故选：D．
4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是等边三角形，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
．
故选：D．
5. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，计算错误，故此选项不符合题意；
C. ，计算正确，故此选项符合题意；
D. ，计算错误，故此选项不符合题意；
故选C．
6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况，
所以恰好选中“”的概率是．
故选：C．
7. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
B、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
故选：A．
8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，图②所示的算筹图可以表述为：，
故选：B．
9. 如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】∵四边形是矩形，且
，
又，，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为8．
故选：C．
10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（ ）
A. 4.2B. 4.8C. 5.4D. 6
【答案】B
【解析】∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴点A（3,0）、点B（0,4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=，
∵四边形OADC是菱形,
∴OE⊥AB，OE=DE，
由直角三角形的面积得，
即3×4=5×OE.
解得：OE=2.4，
∴OD=2OE=4.8.
故选B.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程的解为________．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
检验：当时，，
是原方程解．
故答案为：．
12. 点按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是，则点N的对应点是_______．
【答案】
【解析】点 M(1,−2) 按照一个方向平移后，点M(1,−2)的对应点的坐标是 (3,2) ，而，，
所以则点N(−3,4)的对应点是(，),即 .
13. 如图，已知，和相交于点，，则 ______．
【答案】
【解析】 ， 而，
，，
，，
，.
14. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是________．
【答案】
【解析】将点代入抛物线得：，解得，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴该抛物线与x轴的另一个交点是．
15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________．
【答案】
【解析】过H作于Q，如图，
在矩形中，，，,
∴，
由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，设，有，
即：，解得：，
∴,
∴．
三、解答题（16题10分；17-21题，每题8分；22题12分；23题13分，共75分）
16. 计算：
（1）计算：；
（2）计算：．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
，解得：，
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元；
（2）设该校购买m本乙种书，则购买本甲种书，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为30，
答：该校最多可以购买30本乙种书．
18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为________，图①中的值为________；
（2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数；
（3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数．
解：（1），
，即．
（2）根据条形统计图，得
∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，
∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱
程度评分为10分的占，有（人），
∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
19. 星海广场是亚洲最大的城市广场．某店专门销售某种品牌的星海广场纪念品，成本为30元/件、每天销售件与销售单价元之间的一次函数关系如图所示，其中．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设与的函数表达式为
直线经过点
，解得：，
与之间函数表达式为；
（2）设每天利润为元，则.
∴抛物线开口向下，
，
当时，w最大.
答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
（参考数据）
解：（1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，，
，
，
答：屋顶到横梁的距离约为3.5米；
（2）如图2，过作于，设，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
米，，，
解得：，
四边形为矩形，
米，
（米．
答：房屋的高约为10米．
21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∴的长为．
22. 【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ．
经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系．
（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程；
（3）【学以致用】
在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程；
解：（1）①甲同学的思路：
证明：如图，过点D作，于点K，
，
M 是的中点，
，
，
是 的中线，
，
，
在和中，
（），
，
；
②乙同学的思路：
如图，作交的延长线于，
，
M 是的中点，
，
在和中，
（），
，
是 的中线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，如图，
∵N，K是的三等分点，
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴，，
设，则．
∵，，
∴．
∵，
；
即；
（3）①在线段上，
如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
在和中，
（），
，
，
，
；
②当在射线上，
如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，，
（），
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，，
，，；
∴，
综上所述：或．
23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）①联立，解得：，
∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意；
③联立，即，解得：，
故②不合题意；
④联立，解得：，
∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确；
综上分析可知，正确的是①③．
（2），解得：，
依题意经过，则①，
联立，
∴，
∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，
∴②，
联立①②得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）联立，
即，
依题意，，
∴，
∴，
当，即时，在处，w有最小值，
∴，解得：（舍去），（舍去），
当时，即时，w有最小值1，
∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意；
当时，在处，w有最小值t，
∴，解得：（舍去），，
综上所述：或．液体名称
液氧
液氢
液氮
液氦
沸点