2024-2025学年陕西省宝鸡市渭滨区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省宝鸡市渭滨区高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足zi3=1−2i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 2B. 5C. 6D. 5
2.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题是真命题的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
B. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
C. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
D. 若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，则n//l//m
3.数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是( )
A. 中位数为5B. 方差为1.6C. 平均数为5D. 85%分位数为8
4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知AE=3EF，AB=a，AD=b，则AE=( )
A. 1225a+925b
B. 1625a+1225b
C. 45a+35b
D. 35a+45b
5.已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，下列说法①若A∩B=⌀，则P(A∪B)=0.7；②若A∩B≠⌀，则P(A∪B)=0.58；③若A⊆B，则P(AB)=0.12；④若事件A，B相互独立，则P(AB)=0.12；⑤若事件A，B相互独立，则P(A∪B)=0.58；正确的有( )
A. ①②④B. ①④C. ①③⑤D. ①④⑤
6.将边长为 2的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B−AC−D，则四面体D−ABC的外接球的表面积为( )
A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，设AM是△ABC的高，则AM的最大值为( )
A. 92B. 9 34C. 94D. 3 32
8.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=12AC=2，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥SO的侧面积为8 2π
B. 三棱锥S−ABC的体积的最大值为123
C. ∠SAB的取值范围是(π4,π3)
D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2( 3+1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若复数z的共轭复数为z−，则z⋅z−=|z|2=|z−|2
B. 若z1=2−i，z2=1−3i，则复数z1−z2的虚部是2i
C. 若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则实数m=1或m=−4
D. 若复数z满足|z−i|=1，则|z|的最大值为2
10.已知向量a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(λ,−1)，λ∈R，则( )
A. 若(a+2b)⊥c，则λ=4
B. 若a=tb+c，则λ+t=−6
C. a在b方向上的投影向量的坐标为(1213,−813)
D. 若向量a+b与向量2b+c的夹角为锐角，则λ的取值范围是(−∞,−1)
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，则下列说法正确的有( )
A. A1B//平面CEFB. DC1⊥平面CEF
C. 异面直线A1C1与EF所成角为π3D. 平面CEF截正方体所得截面的面积为18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b是两个不共线的向量，且OA=3a+5b，OB=4a+7b，OC=a+mb，若A，B，C三点共线，则实数m= ．
13.如下图所示，l，O分别为过滤管网的入水口与出水口，A，B，C处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为13，D，E处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为12，则在入水口打开注水阀门出水口有水流出的条件下，所有过滤装置均正常工作的概率为______．
14.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长(单位：小时)，得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差s2的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,−2)．
(1)求|a−b|；
(2)已知|c|= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
16.(本小题15分)
已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求z；
(2)若复数z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个解，求m−n的值．
(3)若z1=z−+1m−1−7m+2i在第四象限，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=45°，CD=2，BD=2 5．
(1)求cs∠CBD；
(2)若△ABD的面积为8，求AD的长．
18.(本小题17分)
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2，E、F分别是SC、BD的中点．
(1)求证：EF//平面SAB；
(2)若二面角S−AB−D的大小为π2，
(ⅰ)求SA与BD所成角的余弦值；
(ⅱ)求直线SD与平面ABCD所成角的大小．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由zi3=1−2i，
得z=1−2ii3=1−2i−i，
则|z|=|1−2i−i|= 12+(−2)21= 5．
故选：B．
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
对于A，若m⊥α，m⊥n，则n/​/α或n⊂α，故A错误；
对于B，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n，故C正确；
对于D，如图，平面AC∩平面BC1=BC，平面BC1∩平面CD1=CC1，平面AC∩平面CD1=CD，
BC，CC1，CD两两相交，
∴α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，则n，l，m不一定平行，故D错误．
故选：C．
对于A，n/​/α或n⊂α；对于B，α与β相交或平行；对于C，由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n；对于D，以正方体为载体，举例得n，l，m不一定平行．
本题考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
3.【答案】B
【解析】解：将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，
对于A，中位数为4+62=5，故A正确；
对于C，平均数为1+3+3+3+4+6+6+8+8+810=5，故C正确；
对于B，方差为(1−5)2+3×(3−5)2+(4−5)2+2×(6−5)2+3×(8−5)210=5.8，故B错误．
对于D，因为85%×10=8.5，
所以85%分位数为第9个数为8，故D正确．
故选：B．
将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可．
本题主要考查了中位数，平均数，方差和百分位数的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为AE=3EF，
所以AF=AB+BF=AB+34ED=AB+34(EA+AD)=AB+34(−AE+AD)，
所以43AE=AB+34AD−34AE，整理得，AE=1225(AB+34AD)=1225a+925b．
故选：A．
根据平面向量的线性运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为P(A)=0.3，P(B)=0.4，
对①，若A∩B=⌀，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7，所以①正确；
对②，若A∩B≠⌀，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
因为P(AB)的值不确定，所以P(A∪B)的值无法确定，所以②错误；
对③，若A⊆B，则P(AB)=P(A)=0.3，所以③错误；
对④，若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.12，所以④正确；
对⑤，若事件A，B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.58，所以⑤正确．
故选：D．
根据互斥事件的概率加法计算公式可知①对，②错；又因为若A⊆B，则P(AB)=P(A)，所以③错；④若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，正确；⑤根据P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)可求解．
本题考查概率的性质，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：设AC∩BD′=O，
在四面体D−ABC中，OA=OB=OC=OD=1，
所以四面体D−ABC的外接球的球心点为O，半径为1，
所以其表面积为4π×12=4π．
故选：A．
根据给定条件，确定外接球球心，求出球的半径即可．
本题考查几何体表面积的计算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，acsB=(2c−b)csA，
∴由正弦定理得sinAcsB=(2sinC−sinB)csA=2sinCcsA−sinBcsA，
∴sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，
∴sin(A+B)=sinC=2sinCcsA，
∵sinC≠0，∴csA=12，
∵A∈(0,π)，∴A=π3，
∵a=3，∴由余弦定理得9=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，
当且仅当b=c=3取等号，
∴S△ABC=12bcsinA= 34bc≤9 34，当且仅当b=c=3取等号，
∵AM是△ABC的高，∴12a⋅AM≤9 34，
∴AM≤3 32，当且仅当b=c=3取等号，
∴AM的最大值为3 32．
故选：D．
由acsB=(2c−b)csA结合正弦定理和三角函数恒等变换公式可求得A=π3，再结合余弦定理得bc≤9，从而可求出三角形面积的最大值，进而可求出AM的最大值．
本题考查了解三角形，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：在Rt△SOC中，SC= SO2+OC2=2 2，则圆锥的母线长l=2 2，半径r=OC=2，
对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl=4 2π，故A错误；
对于B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=12×4×2=4，
则三棱锥S−ABC体积的最大值为13×S△ABC×SO=13×4×2=83，故B错误；
对于C，因为△SAB为等腰三角形，SA=SB，又SA2+SC2=AC2，所以∠ASC=π2，
当点B与点A重合时，∠ASB=0为最小角，当点B与点C重合时∠ASB=π2，达到最大值，
又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈(0,π2)，又2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB∈(π4,π2)，故C错误；
对于D，由AB=BC,∠ABC=π2,AC=4，得AB=BC=2 2，又SA=SB=2 2，
则△SAB为等边三角形，则∠SBA=π3，将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，
则△S1AB为等边三角形，∠S1BA=π3，如图可知(SE+CE)min=S1C，
因为S1B=BC=2 2,∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=5π6，
S1C2=S1B2+BC2−2×S1B×BC×cs5π6=8+8+8 3=(2 3+2)2，
则(SE+CE)min=S1C=2( 3+1)，故D正确．
故选：D．
先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时三棱锥S−ABC体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出∠ASB的范围，再利用2∠SAB+∠ASB=π，求∠SAB的范围，即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，则z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，又因为|z|2=a2+b2=|z−|2，故A正确；
若z1=2−i，z2=1−3i，则z1−z2=1+2i，其虚部为2，故B错误；
若(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，
则m2+3m−4=0且m2−2m−24≠0，解得m=1，故C错误；
设z=x+yi，则|z−i|=|x+(y−1)i|= x2+(y−1)2=1，
即x2+(y−1)2=1，所以复数z表示的点在圆心为(0,1)，半径为1的圆上，
|z|= x2+y2表示点(x,y)到原点的距离，所以0≤|z|≤2
当x=0，y=2时，|z|取得最大值为2，故D正确．
故选：AD．
设z=a+bi，直接计算可判断A；根据复数减法运算和虚部概念可判断B；根据纯虚数概念列方程求解可判断C；设z=x+yi，根据|z−i|=1的几何意义求解可判断D．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：A.∵a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(λ,−1)，(a+2b)⊥c，
∴a+2b=(1,4)，
∴(a+2b)⋅c=λ−4=0，故λ=4，选项A正确．
B.∵tb+c=(2t,t)+(λ,−1)=(2t+λ,t−1)，a=tb+c，
∴2t+λ=−3t−1=2，解得t=3，λ=−9，故λ+t=−6，选项B正确．
C.由题意得，a⋅b=−4，|b|= 5，
∴a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=−45b=(−85,−45)，选项C错误．
D.由题意得，a+b=(−1,3)，2b+c=(4+λ,1)，
∵向量a+b与向量2b+c的夹角为锐角，
∴(a+b)⋅(2b+c)=−(4+λ)+3>0，解得λ02m−3m+20(2m−3)(m+2)