2024-2025学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}，B={−2,−1,0,1,2}，则(∁UA)∩B=( )
A. {2}B. {−2,2}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}
2.已知函数f(x)=2sinx−f′(0)x，则f′(0)=( )
A. 12B. 1C. 0D. 2
3.已知p：|x−1|≤2，q：x2−2x−30，且b>c，则a2+4b2+ab2ab+8c(b−c)的最小值为( )
A. 12B. 34C. 1D. 32
8.过点P(−1,0)向曲线C：x2−2nx+2y2=0(n为正整数)引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)，则下列结论不正确的是( )
A. kn=n 4n+2B. xn=nn+1
C. i=12025lnxi=−ln2026D. 数列{yn2xn2}的前n项和为Sn=n2+n
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量η～B(6,12)，则( )
A. E(η)=3
B. D(η+1)=52
C. 函数f(x)=x2+( 3−η)x在(0,+∞)上单调递增的概率为764
D. 函数g(x)=x2+2 3x+η有零点的概率为2132
10.已知△ABC的面积为14，若cs2A+cs2B+2sinC=2，csAcsBsinC=14，则( )
A. sinC=sin2A+sin2BB. AB= 2
C. sinA+sinB= 62D. AC2+BC2=3
11.设f(x)是定义域为R的奇函数，且y=f(2x+2π)的图象关于直线x=−π2对称，若00,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在曲线C上，|AF1|=13，|AF2|=7,cs∠F1AF2=1113，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M是△ABC的内心，若a=2， 3bcsA=asinB．
(1)求角A；
(2)延长AM交BC于点D，若AD=2 33，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
根据历史资料显示，某种疾病的自然痊愈率为20%.为深入研究该种疾病的痊愈情况与患者身体素质指标的关系，研究人员收集了部分患者的数据，其中8名患者的身体素质综合评分x(满分100分)和痊愈所需时间y(天)的数据如表所示：
(1)根据表中数据，得到痊愈所需时间和身体素质综合评分近似为线性相关关系，建立y关于x的一元线性回归模型(b 的计算结果精确到小数点后2位)；
(2)根据(1)所求的经验回归方程，计算2号患者痊愈时间的残差；
(3)某药企针对该疾病研发了一种新药，认为该药可将治愈率提高到80%.医院为检验其疗效，把此药给6个病人服用，试验方案为：若这6个病人中至少有3人痊愈，则认为这种药有效；否则认为这种药无效.求经此试验认定该药无效的概率p，并根据p值的大小解释试验方案是否合理．
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，其回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−n⋅x−2=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
17.(本小题15分)
已知三次函数f(x)=13ax3+12(2a−1)x2−2x−12．
(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论y=f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将△BCD沿BD折起至△BPD(如图2)，且点E为AP的中点．
(1)证明：平面ABP⊥平面BDE；
(2)若AP⋅AC=9，求平面PBC与平面BDE夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
①离心率为 22；②经过点M(− 3, 22)；③|PF1|=3，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆经过点P( 2,1)，_____．
(1)求椭圆的方程；
(2)过P的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于点Q(异于点P)，过F1与直线l垂直的直线交椭圆于点A，B，记PQ中点为M(x1,y1)，记AB的中点为N(x2,y2)，求满足x1− 2x2= 2k+12的直线l的斜率k．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.C
6.D
7.D
8.D
9.ACD
10.ABC
11.BC
12.22
13. 77
14.43
15.(1)由正弦定理及 3bcsA=asinB得， 3sinBcsA=sinAsinB，
因为sinB≠0，所以 3csA=sinA，即tanA= 3，
而A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为点M是△ABC的内心，
所以AD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD=π6，
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，
所以12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD，
即bc⋅ 32=c⋅2 33⋅12+b⋅2 33⋅12，
整理得3bc=2(b+c)①，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccs∠BAC，
所以4=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc②，
由①②得4=(b+c)2−2(b+c)，
解得b+c=1± 5，
因为b+c>0，所以b+c=1+ 5，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+1+ 5=3+ 5．
16.(1)由题意可知，x−=18(40+50+60+70+80+90+30+20)=55，
y−=18(30+25+20+15+10+8+36+40)=23，
i=18xiyi=40×30+50×25+60×20+70×15+80×10+90×8+30×36+20×40=8100，
i=18xi2=402+502+602+702+802+902+302+202=28400，
所以b =i=18xiy−8x−y−i=18xi2−8x−2=8100−8×55×2328400−8×552≈−0.48，
所以a =23−(−0.48)×55≈49.4，
所以y关于x的一元线性回归方程为y =−0.48x+49.4；
(2)由(1)可知y关于x的一元线性回归方程为y =−0.48x+49.4，
把x=50代入，得y =−0.48×50+49.4=25.4，
所以2号患者痊愈时间的残差为25−25.4=0.4；
(3)设X表示这6个病人中痊愈的人数，则X～B(6,0.8)，
设B=“经过试验该药被认定无效”，事件B等价于{X≤2}，
则p=P{x≤2}=i=02C6k0．8k0．26−k=0.01696，
由题意可知，如果新药是有效的，则当痊愈的病人数不超过2人时，认定新药无效，此时作出了错误的判断，
因为作出错误判断的概率很小，属于小概率事件，所以试验方案是合理的．
17.解：(1)当a=3时，f(x)=x3+52x2−2x−12．
所以f′(x)=3x2+5x−2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=6，又f(1)=1，
所以y=6(x−1)+1，整理可得6x−y−5=0，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为6x−y−5=0；
(2)f′(x)=ax2+(2a−1)x−2=(ax−l)(x+2)，
若a=0，由f(x)=−(x+2)=0可得x=−2，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(−2,+∞)时，f′(x)0时，f′(x)=(ax−1)(x+2)=0，可得x=1a或x=−2，
所以f(x)在(−∞,−2)，(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，
当a