河南省南阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔
书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 已知全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合交并补的定义运算.
【详解】 ，
， ，B 选项正确；
， ， 或 ，ACD 选项都不符合.
故选：B
2. 口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球的概率是
0.28,则摸出黑球的概率是( )
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.7 D. 0.3
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：从中摸出一个球，摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的，所以由互斥事件概率的
加法公式知摸出黑球的概率是 1－0.42-0.28=0.3，故选 D．
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考点：本题主要考查互斥事件概率的加法公式．
点评：简单题，因为只摸出一个球，所以摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的．
（教材 P168）
3. 某赛季篮球运动员甲参加了 13 场比赛，每场比赛个人得分分别为：12，15，24，25，31，31，35，36，
36，39，41，44，50．则该组数据的四分位数分别为（ ）
A. 25，35，39 B. 24，35，41
C. 28，31，39 D. ，35，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用四分位数 定义埏判断即可.
【详解】由 ，
得该组数据的四分位数分别为第 4，7，10 位置数字，即 25，35，39．
故选：A
4. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号 01，02，…，33 的 33 个数字组成，某彩民利用下面的随机数
表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开
始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 3 个红色球的编号为（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91
64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
76
A. 23 B. 09 C. 20 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】利用随机数表进行抽样的具体步骤超出的不选，但没有重复和不足的,依次抽样得出编号.
【详解】左到右依次选取两个数字，依次选取为：21，32，09，
故选：B．
5. 某工厂生产 三种不同型 号的产品，产品数量之比依次为 ．现用分层抽样的方法抽出一个
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容量为 的样本，样本中 种型号的产品共有 件，那么此样本的容量为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知，总体中 种型号产品所占的比例是 ，因样本中 种型号产品有 件，则
，解得 ，故选 C.
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由 得 ，进而根据充分不必要条件求解即可.
【详解】若 则 ，
若 ，只有当 时才可推出 ，则 ，
故 是 的充要条件.
故选：C.
（教材 P121）
7. 我们已经学习和研究了对数函数 （ ，且 ）的图象和性质．如果将解析式中的 a，x
互换位置，底数变为自变量，即可得到形如 （ ，且 ）的函数．设
（ ，且 ），则关于函数 的图象或性质表述正确的是（ ）
A. 的图象只能出现在第一象限 B. 的图象可以出现在第一、第二象限
C. 的值域为 D. 在区间 和 上单调递减
【答案】D
【解析】
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【分析】利用换底公式得到 ，再根据对数函数 图象与性质判断即可.
【详解】 ，由 得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
当 时， ，所以 ，图象位于第四象限；
当 时， ，所以 ，图象位于第一象限，
所以 的图象出现在第一和第四象限，值域为 ，故 ABC 错误；
当 时， 单调递增，所以 单调递减；
当 时， 单调递增，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，故 D 正确.
故选：D.
8. 已知 （ ，且 ）在 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数单调性列式计算即可.
【详解】因为 ，所以 在 单调递减，
而 （ ，且 ）在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围为 .
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故选：B．
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
（教材 P182）
9. 下图是 2003 年 4 月 21 日至 5 月 15 日上午 10 时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图．
则下列说法正确的有（ ）
A. 新增疑似的人数最多的是 4 月 29 日，新增确诊的人数最多的是 4 月 27 日
B. 新增疑似的人数最多的是 4 月 27 日，新增确诊的人数最多的是 4 月 29 日
C. 新增治愈的人数最多的是 5 月 13 日，新增死亡的人数最少的是 5 月 15 日
D. 从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解.
【详解】新增疑似的人数最多的是 4 月 27 日 162 例，新增确诊的人数最多的是 4 月 29 日 157 例，故 A 错
误，B 正确；
新增治愈的人数最多的是 5 月 13 日 35 例，新增死亡的人数最少的是 5 月 15 日 1 例，故 C 正确；
由图，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，然
后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降，本次疫情得到了有效控制，故 D 正确.
故选：BCD.
（教材 P217）
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10. 甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是 ，乙解出此问题的概率是 ．则下列说法
正确的是（ ）
A. 甲、乙都解出此问题的概率 B. 甲、乙都末解出此问题的概率
C. 甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D. 至少有一人解出此问题的概率
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的加法公式求解即可．
【详解】记甲解出此题为事件 A，乙解出此题为事件 B，A 与 B 为相互独立事件，
则 ，由 ，故 A 正确；
由 ，故 B 错误；
记事件 C 为甲、乙恰有一人解出此问题，则 ，
所以
，故 C 正确；
记事件 D 为至少有一人解出此问题， ，故 D 错误．
故选：AC．
11. 已知函数 有三个零点 ，且函数 ，则下列判断正确
的是（ ）
A. B. 函数 可能不存在零点
C. 函数 可能有一个零点 D. 函数 可能有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数 零点的情况确定 ， ，进而得到 可判断 A；讨论 和
两种情况可判断 BCD.
【详解】因为 和 是 的零点，所以 ，解得 ， ，
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所以 ，
因为 为函数 的零点，所以 ，故 A 正确；
当 时， 有一个零点 ，故 C 正确；
当 时，对于 ， ，
所以 有两个零点，故 D 正确，
综上， 可能有一个零点或两个零点，故 B 错误.
故选：ACD．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 已知方程 的两根为 ，则 ______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用韦达定理求解即可.
【详解】方程 的两根为 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
13. 将某班 50 人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表：则该班同学在期中考试
中的标准差为______分．
组别 人数 平均分 方差
第 1 组 20 90 9
第 2 组 30 80 14
【答案】6
【解析】
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【分析】直接用分层样本方差公式即可得方差 36，则标准差为 6
【详解】设 50 人的平均分为 ,则 ,
所以 50 人的总方差为
,
所以标准差为 6.
故答案为 6
14. 已知函数 是奇函数，且 ，若 使得
，则实数 t 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 为奇函数求出 的值，再将零点问题转化为函数值域问题求解即可.
【详解】若 ，则函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，由函数解析式有意义可得， 且 ，
且 ，定义域必须关于原点对称， ，解得 ，
由 得， ， ，经验证，符合 为奇函数.
若 使得 ，
则由 ，得 ，即 ，
易知 在 上单调递增且恒大于 0，
且当 时， ，所以 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据奇函数的定义域关于原点对称，求出 的值，将存在零点
问题转化为函数的值域问题.
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 某校 100 名学生期中考试语文成绩（满分 100 分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
．
（1）求图中 a 的值；并根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；
（2）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 与数学成绩分数段的人数 之比如下表所示，求数
学成绩在 之外的人数．
分数段
【答案】（1） ， 分
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表可求 a 的值， 利用组中值可求语文的平均成绩；
（2）由已知，先求出数学在 ， ， ， 各分数段上的人数，最后利用总人数
为 100 可求 之外的人数.
【小问 1 详解】
由题可得： ，解得 ．
估计这 100 名学生语文成绩的平均分为：
分．
【小问 2 详解】
数学成绩在 的人数为：
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数学成绩在 的人数为：
数学成绩在 的人数为：
数学成绩在 的人数为：
所以数学成绩在 之外的人数为： ．
（教材 P144）
16. 渔场中鱼群的最大养殖量为 ，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 小于 ，以便留出适当的
空闲量 ．已知鱼群的年增长量 和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）
的乘积成正比，比例系数为 ．
（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并求鱼群年增长量 y 的最大值；
（2）当鱼群年增长量 y 达到最大值时，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到 y 关于 x 的函数关系式，利用配方法可求得鱼群年增量的最大
值；
（2）由题意得 ，即 ，结合 ，即可得到结果.
【小问 1 详解】
由题意，空闲率为 ，
关于 x 的函数关系式是： ，
，
则函数在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ．
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【小问 2 详解】
由（1）知,当鱼群年增长量 y 达到最大值时， ，
由题意有 ，即 ，
，
又 ， 的取值范围为 ．
（教材 P204）
17. 某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定 3 个男生和 2 个女生来参
与，把五个人分别编号为 1，2，3，4，5，其中 1，2，3 号是男生，4，5 号是女生．将每个人的编号分别
写在 5 张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的
编号谁就参与表演节目．
（1）为了选出 2 人来表演双人舞，不放回地抽取 2 张卡片，求选出的 2 人不全是男生的概率；
（2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取
第二张卡片．求：
①独唱和独奏由同一个人表演的概率；
②选出的不全是男生的概率．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取 2 张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取 2
张卡片，取出的 2 人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法 1
：根据古典概型概率公式得到结果；方法 2 ：得出取出的 2 人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事
件求出概率；
（2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取 2 张卡片，列举出所有的事件共有 25 种结果，找出满足
条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求
出包含的样本点个数，再求出概率.
【小问 1 详解】
把抽取 2 张卡片的结果记为 ，其中 i 表示第一次抽取的卡片号，j 表示第二次抽取的卡片号．
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依题意，不放回地抽取 2 张卡片，抽取 所有可能结果为：
，
，
，
，
，
共有 20 种可能 结果．
用事件 A 表示“选出的 2 人不全是男生”．
方法 1： 依题意知事件 A 包含的样本点有
，
，共有 14 种可能的结果，
因此， ，即选出的 2 人不全是男生的概率为 ．
方法 2 ： 依题意知事件 A 的对立事件 “取出的 2 人全是男生”包含的样本点有
，共有 6 种可能的结果，
因此， ，即选出的 2 人不全是男生的概率为 ．
【小问 2 详解】
抽取 所有可能结果为：
，
，
，
，
，
共有 25 种可能的结果．
设事件 B 表示“独唱和独奏由同一个人表演”，
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则事件 B 所包含的样本点有 ，共有 5 种可能的结果，
因此， ，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为 ．
设事件 C 表示“选出的不全是男生”，其对立事件 C 表示“选出的全是男生”，
包含的样本点有 ，共有 9 种可能的结果，
因此， ，即选出的不全是男生的概率为 ．
18. 设 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对数值的正负去掉绝对值得出 进而根据基本不等式得出最小值；
（2）方法 1：换元法 结合二次函数的单调性得出值域；方法 2： 左右平方得
出 结合二次函数得出范围.
【小问 1 详解】
由题可得 ，又
方法 1：
（当且仅当 即 时等号成立）
故 的最小值为 9．
方法 2：
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（当且仅当 即 时等号成立）
故 的最小值为 9．
【小问 2 详解】
方法 1：设 ，
则 ，
，
令 ，则 ，
易知 在 上单调递增
所以 ．即 的取值范围为 ．
方法 2：由（1）知 ，可得 ，从而 ，
又有 得 ，易知函数 在 上单调递增，
故 ，即 的取值范围为 ．
（或若由（1）知 ，平方得： 方法同上）
19. 设 A，B 分别为函数 的定义域和值域，如果由 可解得唯一 ，则 也是一
个函数（即对任意一个 ，都有唯一的 与之对应），那么就称函数 是函数 的反函
数，记作 ．在 中，y 是自变量，x 是 y 的函数．习惯上改写成
的形式．互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，它们的图象关于直线
对称．已知 ．（ ，且 ）为 R 上的奇函数．
（1）求实数 m 的值；
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（2）求 的反函数 ；
（3）若两个函数 与 在 上恒满足 ，则称函数 与 在 是“分
离”的．试判断 的反函数 与 在 上是否有可能是“分离”的？若有可能，求出实数 a
的取值范围；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）有可能，
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质可得 ；
（2）利用反函数定义以及指数和对数互化计算即可求得结果；
（3）根据函数“分离”的定义，对参数 分类讨论并利用指数函数单调性解不等式即可求出.
【小问 1 详解】
由题可得 ；
经检验， 时，函数 满足 ，符合题意；
【小问 2 详解】
由 得
即 ，平方得 ，
即 ，
所以 ．
【小问 3 详解】
假设存在；
则 ，即 ，
当 时，函数 在 上单调递增，易知 ，
只需 对 恒成立，
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所以 ，
可得 或 （舍去）
当 时，函数 在 上单调递减，
需 ，或 对 恒成立
，或
可得
综上所述，存在实数 a 符合题意，a 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数“分离”的定义，结合反函数解析式得出不等关系，并利用函数
单调性解不等式即可求得 a 的取值范围.
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