河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明即可证明充分性和必要性，
【详解】若，满足，但在实数范围内无意义，故充分性不满足；
因为等价于，所以，
当同时为0时，不能得到，故必要性不满足，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
2. 已知幂函数过点， 则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合幂函数定义求，再由函数的解析式求其定义域.
【详解】因为函数为幂函数，故可设，
因为函数的图象过点，
所以，所以，
所以，
由有意义可得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
3. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
A. 37B. 32C. 14D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．
【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D
4. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A. 4，0.7B. 5，0.7C. 4，0.65D. 5，0.65
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果
【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因为，，，所以，精确度为，
又，，，精确度为，
又，，，精确度为
又，，，精确度，
需要求解的值，
然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.
故选：C
5. 已知函数对任意实数都满足，若，则
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合所给的关系式确定的值即可.
【详解】由可得，
据此可得：，即函数是周期为2的函数，
且，据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6. 已知集合，则M，P之间的关系为（ ）
A. M=PB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据集合的关系即得.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
7. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. 或2D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】结合三角函数的定义，分和两种情况进行讨论即可得答案.
【详解】当时，由三角函数的定义可知，
此时；
当时，由三角函数的定义可知，
此时；
故选：D.
8. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期是B. 的最小值为2
C. 在上单调递增D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的函数，用周期性定义判断A；取特值计算判断B；分析单调性判断C；证明对称性判断D作答.
【详解】对于A，，即不是的周期，A错误；
对于B，取，则，即的最小值不是2，B错误；
对于C，当时，令，函数在上单调递减，而在上单调递增，
因此在上单调递减，C错误；
对于D，，即函数的图象关于直线对称，D正确．
故选：D
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可知：的根为，且，即可判断A；利用韦达定理判断B；代入解不等式判断CD.
【详解】由题意可知：的根为，且，故A正确；
由韦达定理可得，即，
所以，故B错误；
不等式即为，且，
解得，所以不等式的解集为，故C正确；
不等式即为，且，
可得，解得，
所以不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断选项ACD；对于选项B有，所以，将式子化为一元二次函数即可求得最值.
【详解】对于选项A：，故A正确.
对于选项B：因为，所以，
所以，
又因为，，故，解得：，故当时，式子取最小值2.故B错误.
对于选项C：，故选项C正确.
对于选项D：，故选项D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，函数，，则（ ）
A. 为偶函数，为奇函数
B 对任意实数，
C. 存在实数，使得
D. 对任意实数，，都有
【答案】ABC
【解析】
【分析】由函数奇偶性定义可判断A，代入化简即可求解判断B、C、D，
【详解】由函数奇偶性定义知：的定义域为，，所以为偶函数，
的定义域为，，所以为奇函数，故A正确；
已知函数，函数，，
则，故B正确；
当时，，，此时满足，故C正确；
，
，
故对任意实数，，与不一定相等，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：各选项条件代入指数型函数，化简运算是解此题的重要能力，属于较难题.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式求值即可.
【详解】由扇形弧长公式可得：.
所以扇形圆心角为：弧度.
故答案为：
13. 若函数为奇函数，则= ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数是奇函数,将函数的这一特征转化为对数方程解出的值.
【详解】函数为奇函数
即
，即
解得：
又对数式的底数，则
故填
【点睛】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程,主要训练对定义与法则的理解与掌握.
14. 已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】利用求出的值，令，由可得，分析函数的性质作出其图象，将函数恰有5个零点问题转化成与和的图象有5个交点问题，即可求得参数的范围.
【详解】由，得，解得，则
令，由可得：，
解得：，依题意，直线与直线与的图象恰有5个交点.
当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，；
当时，可看成关于轴对称得到，故其在上单调递减.
作出函数的图象如图所示.

由图象可知，需使，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的零点个数问题，属于难题.
求解函数零点个数问题，一般有以下方法：
（1）直接法：求解方程可得零点个数；
（2）零点存在定理法：结合函数的单调性和零点存在定理可判断；
（3）两函数交点法：将原函数方程分解成两相等函数，利用两函数图象的交点个数确定.
四、解答题
15. 求函数，的值域.
【答案】
【解析】
【分析】换元法，设转化为二次函数求值域.注意新元的取值范围.
【详解】设,则
，

所以函数值域为
【点睛】本题考查三角函数值域.
形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)
16. 4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（2）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率.
【答案】（1），54（分钟）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可；
（2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，即，
这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）.
【小问2详解】
每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中，
在内的有2人，记为，在内的有4人，记为，
这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点，
阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点.
这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为.
17. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是
（1）求，的值；
（2）甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由．
【答案】（1）
（2）甲获得最终胜利的可能性大．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出等式联立求解即可；
（2）根据题意计算甲得4分或者6分的概率，进而可判断胜负可能性.
【小问1详解】
由题意可得，即，则.
又，故，解得
【小问2详解】
由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率，
所以甲得4分或6分的概率.
故乙得4分或6分的概率为，
因为，所以甲获得最终胜利的可能性大．
18. 已知函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
（1）求的值；
（2）求和的解析式；
（3）若函数的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合奇函数定义分析求解即可；
（2）根据（1）可得，，列方程求解即可；
（3）换元令，整理可得，结合二次函数最值分析求解.
【小问1详解】
因为函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，
则.
又因为，则，即.
【小问2详解】
因为，
可得，即，
联立方程，解得.
【小问3详解】
因为
令，当且仅当，即时，等号成立，
令，
若函数的最小值为，即的最小值为，
可得或，解得.
19. 若函数满足：对于任意正数都有，且，则称为“速增函数”.
（1）试判断函数与是否是“速增函数”；
（2）若为“速增函数”，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足，满足，求的值.
【答案】（1）不是“速增函数”，不是“速增函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，通过举反例即可判断；
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解；
（3）构造函数，由已知代入运算可得，又在上单调递增，则得，进而可得的值.
【小问1详解】
对于函数，当时，不符合，
故不是“速增函数”
对于函数，当时，，
故不是“速增函数”.
【小问2详解】
为“速增函数”，有，即在恒成立，
，，
，时有，
，，
，即，
对一切正数m，n恒成立，，，
的取值范围是
【小问3详解】
由（2）知，又由题意得，即，
由得，
令，，则，
，
，
在上单调递增，，
，
【点睛】关键点点睛：（3）小问构造函数，由已知代入运算可得，再利用单调性，求得的值.
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
1
0.1719
0.01245