2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将−315∘化为弧度制，正确的是( )
A. −5π3B. −5π4C. −7π4D. π4
2.若角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα+tanα的值是( )
A. −1115B. −2915C. −815D. 3215
3.已知tanα=−3，则cs2α−sin2α=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.已知函数f(x)=4x−lg2x，下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,5)
5.若a=20.3，b=lg0.32，c=0.32，则a，b，c的大小关系为( )
A. c6.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120∘，则该扇面画的面积约为(π≈3)( )
A. 185B. 180C. 119D. 120
7.对于函数f(x)=sin(2x−π3)，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位得到
B. 函数f(x)的图象可以将函数y=sin(x−π3)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到
C. 若a≠b且f(a)=f(b)=0，则|a−b|的最小值为π2
D. 若f(x+φ2)为偶函数，则φ=kπ+π3,k∈Z
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1+x)为偶函数，且当0A. f(x)的周期为2
B. f(1)+f(2)+…+f(2023)=3
C. g(x)=f(x)+12x−1的所有零点之和为16
D. f(x)sinπx2≥0
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对于实数a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若a1bB. 若0>a>b，则a2>ab
C. 若c>a>b，则ac−ab>0，c>0，则b+ca+c>ba
10.下列函数中，最小正周期为π，且在区间(−π4,0)上单调递减的是( )
A. y=cs|2x|B. y=|tan(π−x)|
C. y=cs(2x+3π2)D. y=sin(2x−π2)
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，x=−π8为f(x)的零点，对任意x∈R，f(x)≤f(3π8)恒成立，且f(x)在区间(−π12,π24)上单调.则下列结论正确的是( )
A. ω是奇数B. ω的最大值为7
C. 不存在φ，使得f(x)是偶函数D. f(0)=f(3π4)
12.已知函数f(x)=lnx+x−2，g(x)=ex+x−2(其中e为自然对数的底数)，设m，n分别为f(x)，g(x)的零点，则下列结论正确的是( )
A. m2+n2<3B. m3+n3>3C. en+lnm>2D. em+lnn>3
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.函数y=lg(1+tanx)的定义域为______.
14.函数f(x)=−2sin2x−3csx+2，x∈[0,π4]的值域为______.
15.已知函数f(x)= 3sin(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,1]上恰有三个最大值点，则ω的取值范围为______.
16.已知函数f(x)=−x2−a，g(x)=x|x−a|，方程f(x)=g(x)恰有两个不相等的实数根x1，x2(x1四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(827)−23−(0.002)−12+10×( 5−2)−1−20×(π−1)0；
(2)计算：(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)⋅lg216.
18.(本小题8分)
已知f(α)=sin(π−α)cs(2π−α)sin(3π2−α)cs(π+α)cs(7π2−α).
(1)化简f(α)；
(2)若θ是第三象限角，且f(θ+π4)=35，求f(θ−π4)的值.
19.(本小题8分)
已知f(x)=lg3(ax+1x)(a∈R).
(1)当a=2时，解不等式f(x)≥0；
(2)若关于x的方程f(1x)−lg3[x2−(2a−1)x+3a−1]=0在区间(−1,0)内恰有一个实数解，求实数a的取值范围.
20.(本小题10分)
随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数，仅供参考)：
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(千人)，并求出你选择模型的解析式：①y=tx+b(t>0)，②y=d⋅lgrx+s(r>0且r≠1)，③y=m⋅ax+n(a>0且a≠1).
(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过k⋅(94)x(k>0)千人，依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值.
21.(本小题10分)
已知函数f(x)=12sin(2x+φ)−34(π2<φ<π)，且f(π6)=−1.
(1)设g(x)=2sin2x+4tsinx，若对任意x1∈[0,π2]，总存在x2∈[π3,π2]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数t的取值范围；
(2)函数h(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x=−π12对称，求不等式h(sinx)≥h( 32)的解集.
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称实数x0为函数f(x)的不动点.设函数f(x)=lg2(4x−a⋅22+1+2)，g(x)=(12)x.
(1)若a=1，求函数f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)在区间[−1,1]上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的x1，x2∈[−1,0]，不等式|f(x1)−g(x2)|≤2恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−315∘=−315×π180=−7π4.
故选：C.
利用角度与弧度的换算关系可得结果．
本题考查了角度与弧度的换算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了任意角的三角函数值的计算问题，是基础题．
根据角α的终边经过点P，求出r=|OP|的值，再写出sinα、tanα，求和即可．
【解答】
解：角α的终边经过点P(−3,4)，
则r=|OP|= (−3)2+42=5，
∴sinα=yr=45，
tanα=yx=−43，
∴sinα+tanα=45−43=−815.
故选：C.
3.【答案】B
【解析】解：tanα=−3，sin2α+cs2α=1，
则cs2α−sin2α=cs2α−sin2αcs2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−810=−45.
故选：B.
弦化切即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数函数f(x)=4x−lg2x是减函数，又f(2)=2−1=1>0，
f(4)=1−lg24=−1<0，
可得f(2)f(4)<0，由零点判定定理可知：函数f(x)=4x−lg2x包含零点的区间是：(2,4).
故选：C.
判断函数的单调性，求出f(2)，f(4)函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
5.【答案】B
【解析】解：a=20.3>20=1，
b=lg0.32∵0<0.32<0.30=1，
∴0∴b故选：B.
运用指数函数与对数函数单调性及特值0，1比较三个数的大小即可．
本题考查了指数函数与对数函数单调性应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设外弧长为l1，外弧半径为r1，内弧长为l2，内弧半径为r2，该扇面所在扇形的圆心角为α，
∵扇形的弧长为l=αr，
∴r1=l1α=36π，r2=l2α=15π，
∵扇形的面积为S=12lr，
∴该扇面画的面积为S=12l1r1−12l2r2=12×24×36π−12×10×15π=357π≈119，
故选：C.
首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式S=12lr，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位得到函数f(x)=sin(2x−2π3)，所以A不正确；
将函数y=sin(x−π3)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数f(x)=sin(12x−π3)，所以B不正确；
因为函数的周期为π，所以a≠b且f(a)=f(b)=0，则|a−b|的最小值为π2，所以C正确；
f(x+φ2)为偶函数，可得函数f(x)=sin(2x+φ−π3)，φ−π3=kπ+π2，则φ=kπ+2π3,k∈Z，所以D不正确；
故选：C.
利用函数的图象的变换判断A、B；通过函数的周期，转化求解判断C；利用函数的奇偶性判断D即可．
本题考查三角函数的图象变换，函数的周期的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
又由f(1+x)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(−x)=f(x+2)，
故有f(x+2)=−f(x)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)的周期为4，A错误；
对于B，由A的结论，f(x+2)=−f(x)，则有f(x)+f(x+2)=0，
可得：f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，
则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
又由f(x)的周期为4，
故f(1)+f(2)+…+f(2023)=507×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]−f(2024)=507×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]−f(0)=0，
B错误；
对于C，g(x)的零点可看作y=f(x)与y=−12x+1的图象交点的横坐标，
作出y=f(x)与y=−12x+1的图象，如图：
观察图形知，直线y=−12x+1与y=f(x)的图象共有7个交点，且它们关于点(2.0)成中心对称，
故函数g(x)的所以所有零点之和为3×4+2=14，C错误；
对于D，设F(x)=f(x)sinπx2，
函数y=sinπx2的周期T′=2ππ2=4，易得F(x)的周期为4，
在区间[0,2]上，f(x)≥0，sinπx2≥0，此时有f(x)sinπx2≥0，
在区间[−2,0]上，f(x)≤0，sinπx2≤0，此时有f(x)sinπx2≥0，
而F(x)的周期为4，故有f(x)sinπx2≥0恒成立，D正确．
故选：D.
根据题意，由f(x)的奇偶性和对称性分析f(x)的周期可得A错误，由f(x)的周期和解析式分析f(1)+f(2)+…+f(2023)的值，可得B错误，g(x)的零点可看作y=f(x)与y=−12x+1的图象交点的横坐标，作出y=f(x)与y=−12x+1的图象，结合函数零点的定义分析可得C错误，设F(x)=f(x)sinπx2，结合f(x)的图象以及y=sinπx2的性质，分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，由a1b，A正确；
对于B，由0>a>b，得a2对于C，取c=0，a=−1，b=−4，满足c>a>b，而ac−a=−1=bc−b，C错误；
对于D，由a>b>0，c>0，得b+ca+c−ba=c(a−b)a(a+c)>0，即b+ca+c>ba，D正确．
故选：AD.
利用不等式性质分析判断AB；举例说明判断C；作差判断D.
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，y=cs|2x|=cs2x最小正周期为π，当x∈(−π4,0)时，2x∈(−π2,0)，函数y=cs|2x|=cs2x在(−π4,0)上递增，A不符合题意；
对于B，y=|tan(π−x)|=|tanx|的周期是π，当x∈(−π4,0)时，y=−tanx单调递减，B符合题意；
对于C，当x∈(−π4,0)时，2x∈(−π2,0)，y=cs(2x+3π2)=sin2x在(−π4,0)上递增，C不符合题意；
对于D，当x∈(−π4,0)时，2x∈(−π2,0)，y=sin(2x−π2)=−cs2x在(−π4,0)上递减，且最小正周期是π，D符合题意．
故选：BD.
根据选项，结合诱导公式及三角函数性质逐项分析判断即得．
本题主要考查诱导公式，三角函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意得f(−π8)=sin(−π8ω+φ)=0f(3π8)=sin(3π8ω+φ)=1，
即−π8ω+φ=k1π3π8ω+φ=π2+2k2π，k1，k2∈Z，
解得ω=2(2k2−k1)+1，k1，k2∈Z，
因为f(x)在区间(−π12,π24)上单调．
所以T2≥π24−(−π12)=π8，即T=2πω≥π4，所以0<ω≤8，
又ω=2(k2−k1)+1，k1，k2∈Z，所以ω=1，3，5，7，
因为|φ|<π2，φ=k1π+π8ω，k1∈Z，
所以，当ω=1时，k1=0，φ=π8，
f(x)=sin(x+π8)，符合题意；
当ω=3时，k1=0，φ=3π8，
f(x)=sin(x+3π8)，符合题意；
当ω=5时，k1=−1，φ=−3π8，
所以f(x)=sin(x−3π8)，f(3π8)不是最大值，不符合题意，舍去；
当ω=7时，k1=−1，φ=−π8，
f(x)=sin(x−π8)，f(3π8)不是最大值，不符合题意，舍去；
综上所述，ω=1，3，
f(x)=sin(x+π8)或f(x)=sin(x+3π8)，
ω=1，3，选项A正确；
ω的最大值是3，选项B错误；
f(x)=sin(x+π8)或f(x)=sin(x+3π8)，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，选项C正确；
由于x=3π8是函数的对称轴，所以f(0)=f(3π4)，选项D正确．
故选：ACD.
根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得ω，然后分类讨论即可．
本题考查了三角函数的图象与性质、分类讨论方法，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由题意f(m)=lnm+m−2=0，g(n)=en+n−2=0，
因为f(x)=lnx+x−2的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=1x+1>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
f(m)=g(n)=en+n−2=en+lnen−2=f(en)，
则m=en，n=lnm，所以m+n−2=0，即m+n=2，
由于g(13)=e13+13−2=e13−53<0，g(12)=e12+12−2=e12−32>0，
则由函数零点存在性定理可知n∈(13,12)，
对于A，m2+n2=(2−n)2+n2=2n2−4n+4=2(n−1)2+2<2×(13−1)2+2=269<3，选项A正确；
对于B，m3+n3=(m+n)(m2−mn+n2)=2×[(2−n)2−(2−n)n+n2]=6n2−12n+8=6(n−1)2+2>6×(12−1)2+2=72>3，选项B正确；
对于C，易得en=2−n，若en+lnm>2，则lnm−n>0，这与n=lnm矛盾，选项C错误；
对于D，em+lnn=e2−n+lnn，令h(n)=e2−n+lnn，n∈(13,12)，
作出函数y=e2−n和y=lnn的函数图象如下所示，
由图象可知，函数h(n)在(13,12)上单调递减，则h(n)>h(12)=e32−ln2≈4.48−0.69=3.79>3，选项D正确．
故选：ABD.
由题意f(m)=lnm+m−2=0，g(n)=en+n−2=0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，可得f(m)=f(en)，进而得到m+n=2，由零点存性定理可知n∈(13,12)，再结合二次函数的性质可判断选项A；
由立方和公式m3+n3=(m+n)(m2−mn+n2)及二次函数的性质可判断选项B；
先假设en+lnm>2，再推出矛盾即可判断选项C；
构造函数h(n)=e2−n+lnn，n∈(13,12)，利用函数h(n)的单调性可判断选项D.
本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想以及数形结合思想，属于难题．
13.【答案】(−π4+kπ,π2+kπ)，k∈Z
【解析】解：由题意得1+tanx>0，即tanx>−1，
故x∈(−π4+kπ,π2+kπ)，k∈Z.
故答案为：(−π4+kπ,π2+kπ)，k∈Z.
由对数函数定义域得到不等式，求出定义域．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
14.【答案】[−98,−1]
【解析】解：由sin2x+cs2x=1，得f(x)=−2sin2x−3csx+2=−2(1−cs2x)−3csx+2=2(csx−34)2−98，
当x∈[0,π4]时，csx∈[ 22,1]，
易知 22<34<1，故csx=34时，f(x)取得最小值−98，
csx= 22时，f(x)=1−3 22，csx=1时，f(x)=−1，
又1−3 22<−1，故f(x)的最大值为−1.
故答案为：[−98,−1].
根据同角三角函数的平方关系，结合二次函数的性质及余弦函数的性质计算即可．
本题考查同角三角函数的平方关系，二次函数的最值，考查转化思想，属于中档题．
15.【答案】[17π4,25π4)
【解析】解：令ωx+π4=π2+2kπ,k∈Z，得x=(8k+1)π4ω，k∈Z，
因为函数f(x)在区间[0,1]上恰有三个最大值点，
所以17π4ω≤125π4ω>1，解得17π4≤ω<25π4，
即ω的取值范围为[17π4,25π4).
故答案为：[17π4,25π4).
函数f(x)取最大值时，x=(8k+1)π4ω，k∈Z，根据函数在区间[0,1]上恰有三个最大值点列不等式组，解不等式组即可．
本题考查正弦函数的图象与性质的应用，是中档题．
16.【答案】[−12,0)
【解析】解：函数f(x)=−x2−a，g(x)=x|x−a|；
令函数h(x)=f(x)−g(x)=−x2−a−x|x−a|=−2x2+ax−a,x≥a−ax−a,x当a=−1时，h(x)=−2x2−x+1,x≥−1x+1,x<−1，由h(x)=0，解得x1=−1,x2=12，符合题意，t=−12；
当a>0时，函数y=−2x2+ax−a的图象对称轴x=a4h(x)≤h(a)=−a2−a<0，h(x)在(−∞,a)上单调递减，h(−1)=0，函数h(x)只有1个零点，不符合题意；
当a=0时，当x∈(−∞,0)时，h(x)=0恒成立，函数h(x)有无数个零点，不符合题意；
当−1当x≥a时，由h(x)=0，得x=a± a2−8a4，
显然a− a2−8a4−a=−3a− a2−8a4= 9a2− a2−8a4，而9a2−(a2−8a)=8a(a+1)<0，
即a− a2−8a40，
t=−x2=−a+ a2−8a4，由(2−a)2−(a2−8a)=4+4a>0，得(2−a)2>a2−8a，
则2−a> a2−8a⇔a+ a2−8a<2，即0当a<−1时，函数h(x)在(−∞,a)上单调递增，当x∈(−∞,a)时，h(x)当x≥a时，h(0)=−a>0，方程−2x2+ax−a=0有两个不等实根x1，x2，且x1+x2=a2x1x2=a2，
又x2=tx1，消去x1，x2得(t+1)2t=a2<−12，显然t<0，整理得(2t+1)(t+2)>0，
又h(1)=−2<0，h(−1)=−2−2a>0，于是x1<−1，0−1，
因此t+2>0，解得−12所以实数t的取值范围是[−12,0).
故答案为：[−12,0).
根据给定条件，构造函数h(x)=f(x)−g(x)，并化成分段函数，再按a≥0，a=−1，−1本题主要考查函数的零点和方程的根之间的关系，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式[(23)3]−23−(1500)−12+10 5−2−20=(23)−2− 500+10( 5+2)( 5−2)( 5+2)−20
=94−10 5+10 5+20−20=94；
(2)原式=(lg32lg2+lg33lg2)⋅(lg2lg3+lg22lg3)×4=56×lg3lg2×32×lg2lg3×4=5.
【解析】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
(1)利用指数幂的运算法则计算即可；
(2)利用对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：(1)f(α)=sinαcsα(−csα)(−csα)(−sinα)=−csα.
(2)因为f(α)=−csα，f(θ+π4)=35，所以cs(θ+π4)=−35，
又因为θ是第三象限角，所以θ+π4为第三象限角，
所以sin(θ+π4)=− 1−cs2(θ+π4)=−45，
故f(θ−π4)=−cs(θ−π4)=−cs(π4−θ)=−cs[π2−(θ+π4)]=−sin(θ+π4)=45.
【解析】本题考查运用诱导公式化简求值，属于中档题．
(1)利用诱导公式化简即可；
(2)利用同角三角函数的平方关系可得sin(θ+π4)，然后结合诱导公式可解．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=lg3(2x+1x)≥0=lg31，
∵y=lg3x在(0,+∞)上单调递增，
∴2x+1x≥1⇒x+1x≥0⇒x(x+1)≥0(x≠0)，
解得x≤−1或x>0，
∴不等式的解集为(−∞,−1]∪(0,+∞)；
(2)关于x的方程f(1x)−lg3[x2−(2a−1)x+3a−1]=0在区间(−1,0)恰有一个实数解，
化简方程得lg3(x+a)=lg3[x2−(2a−1)x+3a−1]，
即方程x+a=x2−(2a−1)x+3a−1>0在区间(−1,0)恰有一个实数解，
即方程x2−2ax+2a−1=0在区间(−1,0)恰有一个实数解，且x+a>0，
即方程(x−1)[x−(2a−1)]=0区间(−1,0)恰有一个实数解，且x+a>0，
故有−1<2a−1<0(2a−1)+a>0⇒13故实数a的取值范围为(13,12).
【解析】本题主要考查了对数函数的的性质，考查了分式不等式的解法，以及二次函数的图象和性质，属于中档题．
(1)利用对数函数的性质直接解不等式即可；
(2)先转化方程为x+a=x2−(2a−1)x+3a−1>0，利用二次函数的零点分布计算即可．
20.【答案】解：(1)从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
∵函数增长的速度越来越快，
∴选择③y=m⋅ax+n(a>0且a≠1)，
代入表格中的三个点可得：14=ma+n20=ma2+n29=ma3+n，
解得：m=8a=32n=2，
∴y=8⋅(32)x+2，x∈N*.
(2)由(1)可知：f(x)=8⋅(32)x+2，x∈N*，
故不等式8⋅(32)x+2≤k⋅(94)x对x∈[1,+∞)恒成立，
∴k≥8(32)x+2(32)2x=2⋅(23)2x+8⋅(23)x对x∈[1,+∞)恒成立，
令(23)x=t，
则t∈(0,23],
∴g(t)=2t2+8t，t∈(0,23],
∵g(t)在(0,23]单调递增，
∴g(t)≤g(23)=569，
∴k≥569，
∴kmin=569.
【解析】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题．
(1)根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
(2)根据(1)中结论可将不等式整理为k≥2⋅(23)2x+8⋅(23)x对x∈[1,+∞)恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得2⋅(23)2x+8⋅(23)x的最大值，进而得到k的取值范围，从而得到结果．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=12sin(2x+φ)−34(π2<φ<π)，且f(π6)=12sin(π3+φ)−34=−1，
所以sin(π3+φ)=−12，又φ∈(π2,π)，则π3+φ∈(5π6,4π3)，
所以π3+φ=7π6，解得φ=5π6，
故f(x)=12sin(2x+5π6)−34.
因为g(x)=2sin2x+4tsinx，
由题意，对任意x1∈[0,π2]，总存在x2∈[π3,π2]，使f(x1)≥g(x2)成立，
则f(x1)min>g(x2)min，
当0≤x≤π2时，5π6≤2x+5π6≤11π6，则f(x)min=12sin3π2−34=−54，即f(x1)min=−54，
所以存在x2∈[π3,π2]，使g(x2)=2sin2x2+4tsinx2≤−54成立，
所以t≤−2sin2x2−544sinx2=−12sinx2−516sinx2=−12(sinx2+58sinx2)成立，
因为π3≤x2≤π2，所以 32≤sinx2≤1，
令s=sinx2，则 32≤s≤1，由对勾函数的性质可知，k(s)=−12(s+58s)在[ 32,1]上单调递减，
所以k(s)max=k( 32)=−11 324，所以t≤−11 324，
因此，实数t的取值范围是(−∞,−11 324].
(2)函数h(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x=−π12对称，
则h(x)=f(−π6−x)=12sin[5π6+2(−π6−x)]−34=12sin(π2−2x)−34=12cs2x−34，
因为h(sinx)≥h( 32)，令m=sinx，
则h(m)=12cs2m−34≥h( 32)=12cs 3−34，
即cs2m≥cs 3，
作出函数y=csx的图象如下图所示：
由图可得，2kπ− 3≤2m≤2kπ+ 3(k∈Z)，又m=sinx，
则kπ− 32≤sinx≤kπ+ 32(k∈Z)，
因为−1≤sinx≤1，故k=0，可得− 32≤sinx≤ 32，
解得2nπ−π3≤x≤2nπ+π3(n∈Z)或2nπ+2π3≤x≤2nπ+4π3(n∈Z).
即nπ−π3≤x≤nπ+π3(n∈Z)，
因此，原不等式的解集为[nπ−π3,nπ+π3](n∈Z).
【解析】本题考查了三角恒等变换、转化思想及数形结合思想，属于难题．
(1)依题意，先求得φ，得到f(x)=12sin(2x+5π6)−34，再求出函数f(x)在[0,π2]上的最小值，结合题意，得g(x2)=2sin2x2+4tsinx2≤−54恒成立，通过换元法，分离参数t，结合对勾函数的单调性，可求得实数t的取值范围；
(2)利用函数的对称性可得出函数h(x)的解析式，由结合余弦函数的图象可得出kπ− 32≤sinx≤kπ+ 32(k∈Z)，再结合正弦函数基本性质可解此不等式．
22.【答案】解：(1)当a=1时，方程f(x)=x可化为4x−3×2x+2=(2x−1)(2x−2)=0，解得x=0或x=1；
所以，函数f(x)的不动点为0和1.
(2)方程f(x)=x，即lg2(4x−a⋅22+1+2)=x，可化为2a+1=2x+22x.
令t=2x，则当x∈[−1,1]时，t关于x单调递增，且t∈[12,2].
由题意，关于t的方程2a+1=t+2t在[12,2]上有两个不等实根．
由于对勾函数h(t)=t+2t在[12, 2)上单调递减，在( 2,2]上单调递增，
且h( 2)=2 2,h(12)=92,h(2)=3<92.
所以，2 2<2a+1≤3⇒a∈( 2−12,1].
综上，实数a的取值范围为( 2−12,1].
(3)不等式|f(x1)−g(x2)|≤2可化为−2+g(x2)≤f(x1)≤2+g(x2).
易知，函数g(x)在[−1,0]上最大值为g(x)max=g(−1)=2，最小值为g(x)min=g(0)=1；
由题意，∀x∈[−1,0]，−2+g(x)max≤f(x)≤2+g(x)min，即0≤f(x)≤3.
上述不等式可化为2x−62x≤2a≤2x+12x.
令t=2x，则当x∈[−1,0]时，t∈[12,1].
由题意，∀t∈[12,1]，不等式t−6t≤2a≤t+1t恒成立．
函数m(t)=t−6t在[12,1]上单调递增，最大值为m(1)=−5；
函数n(t)=t+1t在[12,1]上单调递减，最小值为n(1)=2.
所以，−5≤2a≤2，即−52≤a≤1.
综上，实数a的取值范围为[−52,1].
【解析】本题考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于难题．
(1)直接根据定义解方程即可；
(2)将方程lg2(4x−a⋅22+1+2)=x分离参数化为2a+1=2x+22x，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；
(3)不等式−2+g(x)max≤f(x)≤2+g(x)min，利用指数函数的单调性得出∀x∈[−1,0]，0≤f(x)≤3，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可．建立平台第x年
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