2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥β，则α//βB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若α⊥β，m⊥β，则m//α
2.若复数1+mii(m∈R)的实部与虚部相等，则m=( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
3.如表是某校120名学生假期阅读时间(单位：小时)的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是( )
A. 2，5，8，5B. 2，5，12，1C. 4，6，8，2D. 3，6，10，1
4.在△ABC中，若满足sinA：sinB：sinC=2： 3： 7，则△ABC为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5.有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则( )
A. P(A1)=P(A2)B. A1与A2为互斥事件
C. A1与A2为相互独立事件D. A1与A2为对立事件
6.如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为( )
A. 100 2m
B. 150m
C. 150 2m
D. 150 3m
7.如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为( )
A. 11π+ 3π
B. 11π+2 3π
C. 12π+ 3π
D. 12π+2 3π
8.如图，矩形ABCD的长为3，宽为2，E是BC边的中点，F是AB边上靠近点A的三等分点，AE与DF交于点M，则∠EMF的余弦值为( )
A. 210 B. − 210
C. 2 25 D. −2 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9(单位：环)，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的众数为9B. 这组数据的40%分位数是7：5
C. 这组数据的极差是4D. 这组数据的标准差是 2
10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,0,0)，B(2,1,−2)，C(1,2,3)，则( )
A. AB⋅BC=−10 B. |AC|= 13
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为2 1313 D. 点O到直线BC的距离是 3669
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=1，则CA⋅AB=1 B. 当t∈R时，|AC−t⋅AB|最小值为 3
C. 当△ABC有两个解时，a的取值范围是[ 3,2) D. 当△ABC为锐角三角形时，a的取值范围是( 3,2 3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.单位向量a,b满足|a+b|= 11，则a⋅b= ______．
13.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，AB：BC：CD=1：2： 3，且AD=3+ 3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1= ______．
14.如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c其中a=b+2,c= 2b，且sinA= 2sinC．
(1)求c的值；
(2)求tanA的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
17.(本小题15分)
象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决策、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)根据直方图，求a的值；
(2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；
(3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为23，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinA−sinBsinC=c−ba+b
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为4 3，
①已知E为BC的中点，且b+c=8，求△ABC中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
19.(本小题17分)
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1)将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC(如图2)．
(1)求证：BC//平面POD′；
(2)求二面角A−BC−D′的大小；
(3)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的余弦值为 588？若存在，求出PQPD′的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.ACD
10.ABD
11.BD
12.92
13.2 2
14.14
15.(1)因为sinA= 2sinC，所以由正弦定理可得a= 2c，
又c= 2b，a=b+2，所以 2c=c 2+2，解得c=2 2；
(2)由(1)可得c=2 2，b=2，a=4，
所以csA=b2+c2−a22bc=4+8−162×2×2 2=− 24，
可得sinA= 1−cs2A= 144，
所以tanA=sinAcsA=− 7．
16.(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，
所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，
所以AD⊥平面PCD，又AD⊂平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
(2)根据题意建系如图：
则B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，
所以BA=(2,0,0),AP=(−2,−2,3),AD=(0,−2,0)，
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AP⋅n=0AD⋅n=0，即−2x−2y+3z=0−2y=0，取n=(3,0,2)，
所以点B到平面PAD的距离为d=|BA⋅n||n|=6 13=6 1313．
17.(1)由频率分布直方图，[50,60)的频率为0.08，[60,70)的频率为0.12，
[80,90)的频率为0.42，[90,100]的频率为0.08，
所以0.08+0.12+10a+0.42+0.08=1，解得a=0.03；
(2)由频率分布直方图，估计这次知识能力测评的平均数为：
x−=55×0.08+65×0.12+75×0.3+85×0.42+95×0.08=78分，
因为前三组[50,60)，[60,70)，[70,80)的频率之和为0.08+0.12+0.30=0.50，
所以估计这次知识能力测评的中位数为80分；
(3)因为甲最终获胜，比分可能是2：0，2：1，
设甲2：0获胜为事件A，2：1获胜为事件B，
所以P(A)=(23)2=49，
P(B)=13×(23)2+23×13×23=827，
又A，B两个事件互斥，
则甲最终获胜的概率为P(A)+P(B)=2027．
18.(1)因为sinA−sinBsinC=c−ba+b，
由正弦定理得a−bc=c−ba+b，
整理可得a2=b2+c2−bc，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
可得csA=12，
因为0