2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥β，则α//βB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若α⊥β，m⊥β，则m//α
2.若复数1+mii(m∈R)的实部与虚部相等，则m=( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
3.如表是某校120名学生假期阅读时间(单位：小时)的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是( )
A. 2，5，8，5B. 2，5，12，1C. 4，6，8，2D. 3，6，10，1
4.在△ABC中，若满足sinA：sinB：sinC=2： 3： 7，则△ABC为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5.有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则( )
A. P(A1)=P(A2)B. A1与A2为互斥事件
C. A1与A2为相互独立事件D. A1与A2为对立事件
6.如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为( )
A. 100 2m
B. 150m
C. 150 2m
D. 150 3m
7.如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为( )
A. 11π+ 3π
B. 11π+2 3π
C. 12π+ 3π
D. 12π+2 3π
8.如图，矩形ABCD的长为3，宽为2，E是BC边的中点，F是AB边上靠近点A的三等分点，AE与DF交于点M，则∠EMF的余弦值为( )
A. 210 B. − 210
C. 2 25 D. −2 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9(单位：环)，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的众数为9B. 这组数据的40%分位数是7：5
C. 这组数据的极差是4D. 这组数据的标准差是 2
10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,0,0)，B(2,1,−2)，C(1,2,3)，则( )
A. AB⋅BC=−10 B. |AC|= 13
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为2 1313 D. 点O到直线BC的距离是 3669
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=1，则CA⋅AB=1 B. 当t∈R时，|AC−t⋅AB|最小值为 3
C. 当△ABC有两个解时，a的取值范围是[ 3,2) D. 当△ABC为锐角三角形时，a的取值范围是( 3,2 3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.单位向量a,b满足|a+b|= 11，则a⋅b= ______．
13.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，AB：BC：CD=1：2： 3，且AD=3+ 3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1= ______．
14.如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c其中a=b+2,c= 2b，且sinA= 2sinC．
(1)求c的值；
(2)求tanA的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
17.(本小题15分)
象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决策、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)根据直方图，求a的值；
(2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；
(3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为23，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinA−sinBsinC=c−ba+b
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为4 3，
①已知E为BC的中点，且b+c=8，求△ABC中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
19.(本小题17分)
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1)将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC(如图2)．
(1)求证：BC//平面POD′；
(2)求二面角A−BC−D′的大小；
(3)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的余弦值为 588？若存在，求出PQPD′的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：若m⊥α，m⊥β，则α//β，所以A选项正确；
若m//α，n//α，则m//n或m与n异面，所以B选项错误；
若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，所以C选项错误；
若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，所以D选项错误．
故选：A．
由线面，面面的位置关系逐项判断可得．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由1+mii=i+mi2i2=i−m−1=m−i，
复数1+mii(m∈R)的实部与虚部相等，
所以m=−1．
故选：C．
利用复数的除法运算，结合实部与虚部的概念即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，小组[15,20)的频率为a=30120=0.25，
则第一小组抽取的人数为20×0.10=2，
第二小组抽取的人数为20×0.25=5，
第三小组抽取的人数为20×0.60=12，
第四小组抽取的人数为20×0.05=1．
即4个小组依次抽取的人数是2，5，12，1；
故选：B．
根据题意，求出小组[15,20)的频率a，再根据分层抽样原理，计算从这四组中依次抽取的人数．
本题考查频率分布表，分层抽样的原理，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据sinA：sinB：sinC=2： 3： 7，
结合正弦定理得a：b：c=2： 3： 7，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=22+( 3)2−( 7)22×2× 3=0，
结合C∈(0,π)，可得C=π2，所以△ABC为直角三角形．
故选：B．
根据正弦定理算出a：b：c=2： 3： 7，然后根据余弦定理求出C为直角，即可得到本题的答案．
本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：样本空间Ω={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}，
A1={21,22,23,24,41,42,43,44}，A2={14,23,32,41}，
对于A，P(A1)=816=12≠P(A2)=416=14，故A选项错误；
对于BD，A1∩A2={23,41}≠⌀，故B选项，D选项错误；
对于C，P(A1A2)=216=18=P(A1)P(A2)，故C选项正确．
故选：C．
对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可．
本题考查了古典概型概率计算公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题知，∠MAD=15°，∠CAD=45°，
在Rt△ACE中，因为∠CAE=45°，AE=100，
所以AEAC=cs∠CAE= 22，AC=100 2，
又因为∠CAM=∠CAD+∠MAD=45°+15°=60°，∠MCN=60°，
所以∠MCA=75°，∠CMA=45°，
在△ACM中，由正弦定理得：ACsin∠CMA=CMsin∠CAM，
即100 2sin45°=CMsin60∘，所以CM=100 3，
在Rt△MNC中，MN=CMsin∠MCN=100 3× 32=150m.
故选：B．
根据题意在Rt△ACE中可求AC，在△ACM中利用正弦定理求CM，再在Rt△MNC中可直接求MN．
本题考查利用正弦定理解三角形，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意知，余下几何体的表面积为
S=S圆锥+S圆柱侧=(π×2×4+π×22)+2π×1× 22−12=12π+2 3π.
故选：D．
余下几何体的表面积是圆锥的全面积+圆柱的侧面积，由此求解即可．
本题考查了简单几何体的表面积计算问题，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,2)，E(3,1)，F(1,0)，
则直线AE的方程为y=13x，
直线DF的斜率为2−00−1=−2，直线方程为y=−2x+2，
联立y=−2x+2y=13x，解得x=67，y=27，
则MD=(−67,127)，MA=(−67,−27)，
所以MD⋅MA=−67×(−67)−27×127=1249，MD=6 57，
MA=2 107，
则cs∠EMF=cs∠DMA=MD⋅MA|MD||MA|=12496 57×2 107= 210．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】解：已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，
对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；
对于B，这组数据从小到大为6，6，7，8，9，9，9，10，
由8×40%=3.2知40%分位数为8，故B错误；
对于C，这组数据的极差是10−6=4，故C正确；
对于D，这组数据的平均数是18×(9+8+6+10+9+7+6+9)=8，
方差是s2=18×[(9−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(7−8)2+(6−8)2+(9−8)2]
=2，
所以这组数据的标准差是 2，故D正确．
故选：ACD．
分别计算这组数据的众数、百分位数、极差、标准差逐项判断即可．
本题考查众数，百分位数，极差，平均数，标准差相关知识，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：选项A，由题意知，AB=(1,1,−2)，BC=(−1,1,5)，
所以AB⋅BC=−1+1−10=−10，故选项A正确；
选项B，AC=(0,2,3),|AC|= 22+32= 13，故选项B正确；
选项C，设异面直线OB与AC所成角为θ，
因为OB=(2,1,−2)，AC=(0,2,3)，
所以csθ=|OB⋅AC|OB|⋅|AC||=43× 13=4 1339，故选项C错误；
选项D，因为OB=(2,1,−2)，BC=(−1,1,5)，
所以点O到直线BC的距离为 |OB|2−(OB⋅BC|BC|)2= 9−(11 27)2= 3669，故选项D正确．
故选：ABD．
根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法求空间中点到直线的距离，异面直线所成角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，
若c=1，则CA⋅AB=|CA|⋅|AB|cs(π−A)=−bccsA=−1，A选项错误；
当t∈R时，|AC−t⋅AB|2=AC2−2tAC⋅AB+t2⋅AB2=b2−2tbccsA+t2c2
=4−2tc+t2c2=3+(1−tc)2≥3，当tc=1时等号成立，
所以|AC−t⋅AB|最小值为 3，B选项正确；
由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa= 3a，
当△ABC有两个解时，a