2024-2025学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
2.若随机变量X～N(2,σ2)，且P(X>3)=0.3，则P(10，则不等式(x2−x)f(x2−x)exg(x)；
(3)求证：sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)(n∈N∗)．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.66
13.(−1,2)
14.1439×(−112)n−1+413
15.(1)根据数列{an}满足a1=1，且an+1=anan+1，
两边取倒数，可得1an+1−1an=1，
所以{1an}是首项和公差均为1的等差数列，
所以1an=1+(n−1)×1=n，所以an=1n；
(2)由bn=1an+21an=n+2n，
则Sn=b1+b2+⋯+bn=1+2+2+22+⋯+n+2n，
根据分组求和可得Sn=(1+2+⋯+n)+(2+22+⋯+2n)=(1+n)n2+2(1−2n)1−2=2n+1+n22+n2−2．
16.(1)当a=1时，f(x)=x3+x2−x+1，因此导函数f′(x)=3x2+2x−1，
所以f(1)=1+1−1+1=2，f′(1)=3+2−1=4，
因此f(x)在(1,2)处的切线方程为y−2=4(x−1)，即得4x−y−2=0；
(2)f(x)=x3−12(a−3)x2−ax+1，因此导函数f′(x)=3x2−(a−3)x−a=(3x−a)(x+1)．
当a=−3时，x∈(−∞,+∞)，导函数f′(x)=3(x+1)2≥0，f(x)单调递增；
当a0,f(x)单调递增；x∈(a3,−1),f′(x)0，f(x)单调递增；
当a>−3时，x∈(−∞,−1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(−1,a3),f′(x)0,f(x)单调递增；
综上，当a=−3时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
当a−3时，f(x)递减区间是(−1,a3)；f(x)递增区间是(−∞,−1),(a3,+∞)．
17.(1)证明：已知第一台车床加工的零件有a件，合格品有0.94a件，
第二台车床加工的零件有b件，合格品有0.98a件，
混合后的合格率为0.94a+0.98ba+b=0.96，解得a=b；
(2)由a=b可知，一个零件来自第二台车床概率为ba+b=12，
随机变量X可能取值有0，1，2，3，4，来自第二台车床零件的个数X服从二项分布，
则X～B(4,12)，
P(X=k)=C4k(12)k(12)4−k，k=0，1，2，3，4，
所以X的分布列为：
所以E(X)=4×12=2，D(X)=4×12×12=1；
18.(1)根据数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2(n∈N∗)，
当n=1时，S1=a1=2a1−2，解得a1=2，
当n≥2，由Sn=2an−2，可得Sn−1=2an−1−2，
作差得Sn−Sn−1=an=2an−2−(2an−1−2)，化简得anan−1=2，
可知数列{an}为等比数列，所以an=2×2n−1=2n．
(2)可知bn=lg2anan=lg22n2n=n2n，
则Tn=b1+b2+b3+⋯+bn=12+222+323+⋯+n2n，
则12Tn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1，
作差得12Tn=12+122+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1，化简得Tn=2−2+n2n．
(3)已知cn=1an=12n，可知(n,cn)在函数f(x)=12x上，
设等差数列dn=pn+q，是一个首项为p+q，公差为p的等差数列，
则(n,dn)在函数g(x)=px+q上，
可知y=f(x)是指数函数，y=g(x)是一次函数，
易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在y=f(x)上，又在y=g(x)上，
即数列{cn}中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.(1)对函数f(x)求导可得f′(x)=ex(sinx+csx)，
令ℎ(x)=sinx+csx，则ℎ(x)= 2sin(x+π4)，
当x∈[0,π]时，x+π4∈(π4,5π4)，
由正弦函数性质可知，当x+π4∈(π4,π)，即x∈(0,3π4)，ℎ(x)>0，
当x+π4∈(π,5π4)，即x∈(3π4,π)，ℎ(x)0，所以x∈(0,3π4)时，f′(x)>0，x∈(3π4,π)时，f′(x)exg(x)，只需要证明sinx>ln(x+1)，其中x∈(0,π2)，
设m(x)=sinx−ln(x+1)，m′(x)=csx−1x+1，
设n(x)=m′(x)，n′(x)=−sinx+1(x+1)2
因为函数y=−sinx、y=2(x+1)2在(0,π2)上均为减函数，
则n′(x)=−sinx+1(x+1)2在区间(0,π2)内单调递减
因为n′(0)=1>0，n′(π2)=−1+1(π2+1)2ln2n+12n，
所以sin12+sin14+⋯+sin12n>ln32+ln54+⋯+ln2n+12n．
对∀n∈N∗，2n+12n−2n+22n+1=12n(2n+1)>0，所以ln2n+12n>ln2n+22n+1，
所以2(sin12+sin14+⋯+sin12n)>2(ln32+ln54+⋯+ln2n+12n)
>ln32+ln43+ln54+ln65+⋯+ln2n+12n+ln2n+22n+1
=ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+ln(2n+2)−ln(2n+1)=ln(n+1)，
所以sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)得证．X
0
1
2
P
0.3
0.4
m
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116