2024-2025学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
2.若随机变量X～N(2,σ2)，且P(X>3)=0.3，则P(10，则不等式(x2−x)f(x2−x)exg(x)；
(3)求证：sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)(n∈N∗)．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是：A44=4×3×2×1=24，
故选：B．
根据全排列规则，计算结果即可．
本题主要考查全排列的求解，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，P(10，g(x)在(lna,+∞)上单调递增，
当x0，则函数g(x)在R上单调递增；所以B正确；
因为g(x)在R上单调递增，g(ax)≥g(lnx2)在x>0时恒成立，即ax≥lnx2在x>0时恒成立，
则a≥lnx2x，化简得a≥2lnxx(x>0)，
令ℎ(x)=2lnxx，则ℎ′(x)=2(1−lnx)x2(x>0)，
当0e时，ℎ′(x)0)时，可知(x2+1)lnx2=x1(ex1+1)=t，
因为f(1)=0，g(0)=0，f(x)，g(x)在定义域上均是单调增函数，
所以x1>0，x2>1，
x1(ex1+1)=lnex1(ex1+1)=(x2+1)lnx2，所以x2=ex1，
则lnt−x1(x2+1)=ln[x1(ex1+1)]−x1(ex1+1)，
令k=x1(ex1+1)，因为x1>0，所以k>0，
ln[x1(ex1+1)]−x1(ex1+1)=lnk−k(k>0)，
令r(k)=lnk−k，则r′(k)=1k−1，
当r′(k)=1k−1=0时，解得k=1，
当01时，r′(k)0，
所以g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，故g(x)在R上是增函数，①
又f(2)=3，
故g(2)=2f(2)=2×3=6，
所以(x2−x)f(x2−x)0，n′(π2)=−1+1(π2+1)2ln2n+12n，
所以sin12+sin14+⋯+sin12n>ln32+ln54+⋯+ln2n+12n．
对∀n∈N∗，2n+12n−2n+22n+1=12n(2n+1)>0，所以ln2n+12n>ln2n+22n+1，
所以2(sin12+sin14+⋯+sin12n)>2(ln32+ln54+⋯+ln2n+12n)
>ln32+ln43+ln54+ln65+⋯+ln2n+12n+ln2n+22n+1
=ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+ln(2n+2)−ln(2n+1)=ln(n+1)，
所以sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)得证．
(1)求导，根据导数判断函数在区间[0,π]上单调性，进而可求得最值；
(2)证明sinx>ln(x+1)，通过构造函数，利用导数分析最值即可证得结论成立；
(3)令x=12n，由(2)得sin12n>ln(12n+1)=ln2n+12n，再借助ln2n+12n>ln2n+22n+1放缩，得证sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)．
本题主要考查导数的综合应用，属于中档题．X
0
1
2
P
0.3
0.4
m
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116