第16讲 角 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）（解析版）

这是一份第16讲 角 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）（解析版），共29页。学案主要包含了A组---基础题，问题背景，问题再现，问题推广，拓展提升，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.掌握角的概念与表示；
2.掌握角的性质和角平分线，会角之间的运算；
3.掌握余角和补角的概念，会求某个角的余角和补角.
1 角
(1)概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形)
两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边.
(2)平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角.
2 角的表示
① 用数字表示单独的角，如∠1，∠3等；
② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β等；
③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如∠A，∠B等；
④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧.
3 角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作1°，n度记作n°。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作1'；
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1分记作1''；
1°=60'，1'=60''。
4 角的性质
(1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
(2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算.
5 角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。
6 余角和补角
(1)如果两个角的和等于90°(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=90°，那么∠α和∠β互余；
反过来，如果∠α和∠β互余，那么∠α+∠β=90°；
(2)如果两个角的和等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=180°，那么∠α和∠β互补；
反过来，如果∠α和∠β互补，那么∠α+∠β=180°；
(3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
【题型一】 角的概念与表示
相关知识点讲解
1 角
(1)概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形)
两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边.
(2)平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角.
2 角的表示
① 用数字表示单独的角，如∠1，∠3等；
② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β等；
③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如∠A，∠B等；
④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧.
【例】如下图，有角∠A，∠C，∠1=∠ABD，∠ABC，∠α=∠ADB.

【典题1】 如图所示，下列说法中正确的是( )
A．∠ADE就是∠D B．∠ABC可以用∠B表示
C．∠ABC和∠ACB是同一个角D．∠BAC和∠DAE是不同的两个角
【答案】B
【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可．
【详解】解：A、∠D在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
B、∠ABC可以用∠B表示，正确，本选项符合题意．
C、∠ABC和∠ACB不是同一个角，本选项不符合题意．
D、∠BAC和∠DAE是同一个角，本选项不符合题意，
故选：B．

变式练习
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB和∠O表示同一个角的是( )
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．根据角的表示方法和图形选出即可．
【详解】解：A、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：A．
2.下列四个图中，能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键．
【详解】解：A．∠1，∠AOB表示同一个角，没有可以用∠O表示的角，故此选项不符合题意；
B．能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角，故此选项符合题意；
C．∠1，∠AOB不能表示同一个角，图中没有用∠O表示的角，故此选项不符合题意；
D．∠1，∠O可以表示同一个角，图中没有能用∠AOB表示的角，故此选项不符合题意；
故选：B．
3.下列标注的四个角中，最小的角是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角的分类即可得．
【详解】解：A是钝角，大于90°小于180°；B是锐角，小于90°；C是直角，等于90°；D是平角，等于180°，
∴最小的角是锐角，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的分类和比较大小，解题的关键是掌握角的分类．
【题型二】 度分秒的换算
相关知识点讲解
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作1°，n度记作n°。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作1'；
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1分记作1''；
1°=60'，1'=60''。
【典题1】 )若∠A=12°12'，∠B=20∘15'30″，∠C=20.25∘，则( )
A．∠A>∠B>∠CB．∠B>∠C>∠A
C．∠A>∠C>∠BD．∠C>∠A>∠B
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据1°=60'，1=60″将∠C转换为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【详解】解：∵1°=60'，
∴∠C=20.25°=20°+0.25°×60'=20°+15'=20°15'，
∴∠B>∠C>∠A，
故选：B．
变式练习
1. 若∠1=30.5°，∠2=30°30'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1=∠2B．∠1>∠2C．∠1∠B>∠C．
故选：A．

【题型三】 有关角的计算
相关知识点讲解
1角的性质
(1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
(2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算.
2角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。
如下图，BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠DBC=12∠ABC(或∠ABC=2∠ABD=2∠DBC).
【典题1】 如图，已知O是直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，求∠AOD度数．
∵O是直线AB上一点
∴∠AOB= ．
∵∠AOC=50°
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC= ．
∵OD平分∠BOC
∴∠COD=12 ＝ °
∴∠AOD=∠AOC+∠COD= ．
【答案】180°，130°，∠BOC，65，115°．
【分析】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义．
由平角定义求出∠BOC的度数，由角平分线定义求出∠COD的度数，即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=12∠BOC=65°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=115°．
故答案为：180°，130°，∠BOC，65，115°．
【典题2】 如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB,∠BOC=3∠BOE，若∠DOE=70°，求∠EOC的度数．
【答案】80°
【分析】
本题主要考查了有关角平分线的计算，一元一次方程的应用．根据题意可设∠BOE=x°，则∠EOC=2x°，再由角平分内线的定义可得∠AOD=∠DOB=70°-x°，从而得到70°-x°+70°-x°+x°+2x°=180°，求出x的值，即可求解．
【详解】
解：∵∠BOC=3∠BOE，
∴∠EOC=2∠BOE，
∴设∠BOE=x°，则∠EOC=2x°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠DOB=70°-x°，
∵∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°，
∴70°-x°+70°-x°+x°+2x°=180°，
∴x=40，
∴∠EOC=80°．
变式练习
1. 如图，OD平分∠BOC，∠AOC=110°， 则∠COD度数为( )
A．25°B．30°C．35°D．45°
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先由平角的定义求出∠BOC=180°-∠AOC=70°，再由角平分线的定义可得∠COD=12∠BOC=35°．
【详解】解；∵∠AOC=110°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=70°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=12∠BOC=35°，
故选：C．
2.如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于( )
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】A
【分析】本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．由∠AOB是一直角，∠AOC=40°，可知∠COB=50°，又知OD平分∠BOC，故可求∠AOD的度数．
【详解】解：∵∠AOB是一直角，∠AOC=40°，
∴∠COB=50°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=25°，
∵∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠AOD=65°．
故选：A．
3.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOB=100°，则∠AOC的度数为( )

A．40°B．30°C．45°D．50°
【答案】A
【分析】根据题意得∠AOC=∠BOD，根据平角的定义，代入即可求解，
本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOB=100°，
∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=180°，
∴∠AOC+100°+∠AOC=180°，解得：∠AOC=40°，
故选：A．
4.如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作射线OF、OE、OG，∠EOF=∠COG=90°，OA平分∠COF，∠BOD:∠DOE=2:1，则∠COF的大小为( )
A．72°B．45°C．60°D．40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设∠AOC=∠BOD=2x，则∠BOE=3x，再由角平分线的定义得到∠COF=4x，∠AOF=∠AOC=2x，由平角的定义得到2x+3x+90°=180°，则可得∠COF=4x=72°．
【详解】解：设∠AOC=∠BOD=2x，
∵∠BOD:∠DOE=2:1，
∴∠DOE=x，
∴∠BOE=3x，
∵OA平分∠COF，
∴∠COF=4x，∠AOF=∠AOC=2x，
∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°，
∴2x+3x+90°=180°，
∴x=18°，
∴∠COF=4x=72°，
故选：A．
5.已知∠AOB=90°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，则∠COD= °．

【答案】30
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、几何图中角度的计算，由角平分线的定义得出∠AOD=∠COD=∠BOC，结合∠AOD+∠COD+∠BOC=∠AOB=90°计算即可得出答案．
【详解】解：∵ OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，
∴∠BOC=∠COD，∠AOD=∠COD，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=30°，
故答案为：30．
6.如图，∠BAD=90°，射线AC平分∠BAE，当∠DAE=46°时，∠CAD= ．
【答案】22°
【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义，根据题意得出∠BAE=∠BAD+∠DAE=136°，由角平分线的定义得出∠CAE=12∠BAE=68°，再由∠CAD=∠CAE-∠DAE计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ∠BAD=90°，∠DAE=46°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+46°=136°，
∵射线AC平分∠BAE，
∴∠CAE=12∠BAE=12×136°=68°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=68°-46°=22°，
故答案为：22°．
7.如图，已知AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD
(1)若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
(2)若∠AOE:∠BOD=7:4，求∠AOD的度数．
【答案】(1)70°
(2)140°
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的等量关系，是解题的关键．
(1)先求出∠AOD的度数，再根据角平分线平分角，求出∠DOE的度数即可；
(2)设∠AOE=7x,∠BOD=4x，得到∠AOD=14x，根据∠AOD+∠BOD=180°，列出方程进行求解即可．
【详解】(1)解：∵∠AOC=40°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=140°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD=70°；
(2)∵∠AOE:∠BOD=7:4，
∴设∠AOE=7x,∠BOD=4x，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOE=14x，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴14x+4x=180°，
∴x=10°，
∴∠AOD=14x=140°．
8.如图，E是直线AC上一点，EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线．
(1)如果∠BEF=25°，求∠BEG的度数．
(2)试问∠BEF与∠BEG有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)65°
(2)∠BEF+∠BEG=90°，理由见解析
【分析】本题考查角平分线的定义以及角度计算问题．
(1)由角平分线的定义可得∠BEF=∠AEF，∠BEG=∠CEG，计算出∠BEC=130°，即可求解；
(2)由角平分线的定义可得∠BEF=∠AEF，∠BEG=∠CEG，结合平角定义可得∠AEB+CEB=180°，代入整理即可求解．
【详解】(1)解：∵EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线，
∴∠BEF=∠AEF，∠BEG=∠CEG，
∵∠BEF=25°，
∴∠AEF=25°，
∴∠BEC=180°-25°-25°=130°，
∴∠BEG=∠CEG=12BEC=65°；
(2)∠BEF+∠BEG=90°，理由如下：
∵∵EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线，
∴∠BEF=∠AEF，∠BEG=∠CEG，
∵∠AEB+CEB=180°，
∴∠BEF+∠AEF+∠BEG+∠CEG=180°，
∴2∠BEF+∠BEG=180°
∴∠BEF+∠BEG=90°．
【题型四】 余角与补角
相关知识点讲解
余角和补角
(1)如果两个角的和等于90°(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=90°，那么∠α和∠β互余；反过来，如果∠α和∠β互余，那么∠α+∠β=90°；
(2)如果两个角的和等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=180°，那么∠α和∠β互补；反过来，如果∠α和∠β互补，那么∠α+∠β=180°；
(3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.

【典题1】 若一个角的补角比它的余角的3倍少24°，求这个角的度数．
【答案】这个角是33°
【分析】此题考查了余角和补角的概念，若两个角的和为90度，则这两个角互余；若两个角的和等于180度，则这两个角互补，结合已知条件列方程求解．
【详解】设这个角是x°
由题意得：180°-x=3(90°-x)-24°
解得：x=33°
∴这个角是33°

【典题2】如图，直线AB,CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠DOE+∠FOE=90°．
(1)求证：OF是∠AOE的平分线；
(2)若∠AOC:∠AOD=1:5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EOF=60°
【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质．
(1)由∠DOE+∠EOF=90°，从而∠FOA+∠BOD=∠AOB-∠DOE+∠EOF=180°-90°=90°，由角平分线的定义可得∠DOE=∠BOD，再根据等角的余角相等可得结论；
(2)由∠AOC:∠AOD=1:5并且互补，可得∠AOC和∠AOD的度数，再利用邻补角求得∠BOD的度数，根据角平分线的定义可得∠BOE=2∠BOD=60°，利用邻补角和角平分线求得∠AOE和∠EOF的度数．
【详解】(1)证明： ∵∠DOE+∠EOF=90°，
∴∠FOA+∠BOD=∠AOB-∠DOE+∠EOF=180°-90°=90°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD，
∴∠AOF=∠EOF，(等角的余角相等)
∴OF是∠AOE的平分线；
(2)解：∵∠AOC:∠AOD=1:5，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=180°×16=30°，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠AOD=5×30°=150°，
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE=2∠BOD=60°，∠EOF=12∠AOE，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=120°，
∴∠EOF=60°．
变式练习
1. 已知∠1的余角是50°，∠2的补角是140°，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2B．∠1