第13讲 实际问题与一元一次方程 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

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1.掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤；
2.掌握利用一元一次方程解决配套问题、商品销售问题、路程问题、工程问题等现实生活中的实际问题.
1 解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
2 实际问题中的常见类型
3 列一元一次方程解应用题基本步骤
审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案.
关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程
解决的策略常用表格或示意图等方式分析。
【题型一】 和差倍分问题
【典题1】 甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是( )
A．390-x=296+xB．390+x=296-x
C．390-x=2×96D．390-2x=96
【典题2】 在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？

变式练习
1. “我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读x页，则下列方程正确的是( )
A．7x-12=52x-12B．7x-12=52x+12
C．7x+12=52x-12D．7x+12=52x+12
2.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？
【题型二】 几何问题
【典题1】 一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为( )
A．x-2=30-x+3B．x-2=15-x+3
C．x+2=30-x-3D．x+2=15-x-3
【典题2】下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是5:3，求每平方米木地板和瓷砖的价格．

变式练习
1. 一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，设宽为x米，下列关于x的一元一次方程正确的是( )
A．x+3+x=18B．2x+3+x=18
C．22x+3+x=18D．22x+3+x=18
2.列方程，解决实际问题：
如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？

【题型三】 行程问题
相关知识点讲解
(1)路程 = 速度 × 时间，速度=路程 ÷ 时间，时间=路程 ÷ 速度；
(2)两者路程之和为相距的距离，相遇时间=相遇路程÷速度和；
(3)两者路程之差为相距的距离，追及时间=追及路程÷速度差.
【典题1】 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h，若船速为26kmh，水速为2kmh，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距xkm．根据题意，可列出方程( )
A．x28=x24-3B．x28=x24+3C．x+226=x-226+3D．x-226=x+226+3
【典题2】修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约160km，其中古蔺至金沙段全长近40km，设计时速100km的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以100km/h的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以80km/h的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？(列一元一次方程解)
变式练习
1. 某人骑自行车从A地到B地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设A、B两地相距x千米，下列方程正确的是( )
A．x16-30=x12B．x16-12=x12C．x16+30=x12D．x16+12=x12
2.一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？
【题型四】 数字问题
相关知识点讲解
设 a,b分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字,则这个两位数可表示为10 b+a
【典题1】 一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程( )
A．9-xx-10x+9-x=45B．109-x+x-10x+9-x=45
C．109-x+x=10x+9-x-45D．9-xx-x9-x=45
【典题2】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少．
变式练习
1. 甲、乙两数的和是2.53，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是( )
A．0.23B．2.3C．0.023D．23
2.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．
3.【阅读理解】利用一元一次方程将0.3化成分数，设x=0.3，则10x=3.3，
∵3.3=3+0.3，∴10x=3+x，化简得9x=3，解得x=13，∴0.3=13．
(1)请参照上述方法，把循环小数0.7化为分数，写出解题过程．
(2)尝试类比这种方法，把循环小数0.12化为分数为____________．(直接写结果)
4.如图的数阵是由全体正奇数排成．
(1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？
(2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．

【题型五】 销售问题
相关知识点讲解
(1)利润 = 实际售价一进价，利润率 = 利润 进价 ×100%；(2)打几折就是按百分之几十出售。
【典题1】 “一雷惊蛰始，吃梨正当时”，惊蛰吃梨的习俗由来已久．惊蛰来临之际，某批发商购进一批原平酥梨，每箱酥梨的进价为35元，标价为60元，打折销售后仍可获利20%．若设每箱酥梨打x折，则根据题意可列方程为( )
A．60⋅x10-35=35×20%B．35x-60=60×20%
C．60x-35=35×20%D．35⋅x10-60=60×20%
【典题2】平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元．
(1)甲种商品每件进价为 元．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，
若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？

变式练习
1. 元旦期间某商场进行促销活动，一件进价为160元的衬衫打八折销售后仍可获利进价的20%．设这件衬衫的标价为x元，根据题意可列方程为( )
A．0.8x=x+20%xB．160×0.8-x=160×20%
C．0.8x-160=160×20%D．0.8x=x+160×20%
2.某商场购进一批商品，每件进价为80元，由于换季滞销，商场决定将这种商品按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( )
A．150元B．160元C．170元D．180元
3.一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．则这种服装每件的标价( )元
A．90B．100C．110D．120
4.某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高50%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？
5.春节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就购进了第一批200斤这种水果，上市后销售非常好，商家又购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了5元，已知第二批的进货总钱数比第一次多8000元．
(1)该商家购进第一批这种水果时每斤多少元？
(2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利8000元，求每斤这种水果的售价是多少元？

【A组---基础题】
1.甲队有110人，乙队有190人，如果要求甲队人数是乙队人数的12，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程正确的是( )
A．110+x=12190-xB．12110+x=190-x
C．110-x=12190+xD．12110-x=190+x
2.一个长方形的周长是26，这个长方形的长减小1，宽增加2，就可以成为一个正方形，设长方形的长为x，可列方程为( )
A．x-1=(26-x)+2
B．x-1=(13-x)+2
C．x+1=(26-x)-2
D．x+1=(13-x)-2
3.《算学启蒙》是中国古代的数学著作，其中有道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”设快马x天可以追上慢马，可列方程为( )
A．240(x-12)=150xB．240(x+12)=150x
C．150(x-12)=240xD．150(x+12)=240x
4.若三个连续偶数的和是30，则它们的积是( )
A．1680B．960C．480D．240
5.一件球服进价为300元，商店将进价提升x%后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利20%,x的值是( )
A．60B．50C．40D．30
6.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4h，逆水航行需要5h，水流的速度是2km/h，则轮船在静水中的速度是 ，两个码头之间的距离是 ．
7.为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小莹一共得70分，则小莹答对题的个数为 个．
8.已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 12还多1岁．
(1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和；
(2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄．
9.某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．问：
(1)这列队伍一共有多少名学生？
(2)这列队伍要过一座240米的大桥，为拓展训练和安全需要，相邻两个学生保持相同的间距，队伍行进速度为3米/秒，从第一位学生刚上桥到全体通过大桥用了90秒时间，请问相邻两个学生间距离为多少米(不考虑学生身材的大小)？
10.列方程解应用题：
某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：(注：获利=售价﹣进价)
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【B组---提高题】
1.A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是 次．
2.汽车拉力赛有两个距离相等的赛程第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上坡，通过中点继续行驶4千米后，全是下坡路：第二赛程也是由平路出发，离中点4千米处开始下坡，通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的56，而遇到上坡时速度就要减少25%，遇到下坡时速度就要增加25%，那么，每个赛程的距离是多少千米？
3.数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足a+2+b-42=0，点P为数轴上一动点，其对应的数为xP．
(1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xP=______；
(2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数xP的值；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值．
题型
涉及公式
等量关系
注意事项
和差倍分问题
--
--
弄清“倍数”及“多少”的关系
等积变形问题
各种图形的面积，
体积公式
变形前后的面积或体积不变
分清半径、直径及各边长
相遇问题
路程 = 速度 × 时间
速度=路程 ÷ 时间
时间=路程 ÷ 速度
两者路程之和为相距的距离
注意始发时间和地点
追及问题
两者路程之差为相距的距离
比例分配问题
--
全部数量=各种成分的数量之和
灵活设未知数
工程问题
工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量工作时间
工作时间=工作量工作效率
两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量
一般把总工作量设为 1
销售问题
利润 = 实际售价一进价
利润率 = 利润 进价 ×100%
找出利润或利润率之间的关系
打几折就是按百分之几十出售
数字问题
设 a,b分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字,则这个两位数可表示为10 b+a
数的大小与表示数的各字母之间的关系
一般间接设未知数
比赛积分问题
总积分=胜积分十平积分十负积分
比赛场数=胜场 + 负场十平数
搞清比赛中胜、平、负一场的积分
甲
乙
进价(元/件)
22
30
售价(元/件)
29
40