小学六年级小升初数学专题复习（26）算术中的规律（典例精析+拔高训练）

这是一份小学六年级小升初数学专题复习（26）算术中的规律（典例精析+拔高训练），共17页。试卷主要包含了事件的确定性与不确定性等内容，欢迎下载使用。
¤ 知识归纳总结
一、事件的确定性与不确定性
知识归纳
算术中的规律
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1=1；
11×11=121；
111×111=12321；
1111×1111=1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
①一个数乘11，101的规律
一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．
如：123×11=1353
一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．
如：58734×101=5932134
②一个数乘5，15，25，125的规律
一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．
如：28×5=28×10÷2=280÷2=140
这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．
如：28×5=28÷2×10=14×10=140．即“求半添0”的方法．
一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．
如：264×15=264×10+264×5=2640+264×10÷2=2640+2640÷2=2640+1320=3960．
这种情况可以概括为“添0补半”
一个数乘125，因为125×8=1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．
如：864×125=864×1000÷8=864000÷8=108000．
常考题型
例1：4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（ ）
A、0 B、3 C、7 D、6
分析：把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．
解：4÷11= ，循环节是36两个数字；20÷2=10，所以20位上的数是6；
故选：D．
点评：此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力．
例2：按规律计算．
3+6+12=12×2-3=21
3+6+12+24=24×2-3=45
3+6+12+24+48=48×2-3=93
3+6+12+24+…+192=
a+2a+4a+8a+16a+…+1024a= ．
分析：由3+6+12=12×2-3=21，3+6+12+24=24×2-3=45，3+6+12+24+48=48×2-3=93可知：结果都是算式中的最后一个数乘以2再减去第一个数所得，由此得出结论．
解：（1）3+6+12+24+…+192=192×2-3=381；
（2）a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=1024a×2-a=2048a-a=2047a．
故答案为：381，2047a．
点评：此题在于考查学生总结规律的能力．
¤ 拔高训练备考
一．选择题（共6小题）
1．0.123412341234……，小数点后第100个数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．6÷7的商用循环小数表示，则小数点右边第20位商的数字是（ ）
A．8B．5C．7D．1
3．4÷7的商的小数部分第30位上的数字是（ ）
A．8B．4C．2
4．某种细胞开始有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，二小时分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，五小时后细胞存活的个数是（ ）
A．31B．33C．35D．37
5．一种传染性特别强的病毒，人一旦感染就会发热咳嗽，而且每24小时会传染给其它两个人，被传染的人，每24小时又会传染给另外两个人。现在小新不小心感染了，如果不预防控制和治疗，经过72小时，包括小新在内共有（ ）人感染这种病毒。
A．9B．18C．27D．无法确定
6．如图所示，照这样的规律算下去，算式+++…的结果是（ ）
A．B．1C．
二．填空题（共6小题）
7．4.6÷11用循环小数表示商是 ，这个循环小数的小数点后面第138位上的数字是 ．
8．找规律填数。
（1）3160、3170、3180、
（2） 、7998、7996、7994、
9．琳琳和青青在玩给□中填上合适的数，使算式成立的游戏，★表示的数可能是 。
10．3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是 。
11．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如246，1347等等，这类数中最大的自然数是 。
12．如图，若开始输入x的值为125，则第2020次输出的结果为 。
三．判断题（共5小题）
13．5. 2的小数部分第八位上的数字是2．
14．3.58658658…小数部分的第95位数字是8． ．
15．将化成小数以后，小数点后第2008位上的数字是7． ．
16．1除以111的商的小数部分第15位数字是0 ．
17．19.小数点后第10位上的数字是3．
四．应用题（共3小题）
18．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？
19．如图，小朋友们玩多米诺骨牌的游戏，假设每一张牌倒下去所用的时间是0.2秒，并且每一张骨牌倒下后会碰倒它后边的两张骨牌，那么照这样下去，1秒钟内所倒下的骨牌数是多少？
20．海豹是生活在海洋中的哺乳动物，它们一般靠肺呼吸，所以必须经常不断地浮到海面呼吸空气。一只海豹6时开始从海底经过9分钟慢慢浮到海面，然后浮出海面呼吸2分钟，最后再经过9分钟回到海底，这样有规律地进行这个过程。7时整海豹会在什么位置？（请你用喜欢的方式表示出你的思考过程和结果）
五．解答题（共5小题）
21．阅读资料，按如图的步骤计算得数。
98×102＝ 。
写出简要计算步骤： 。
22．根据规律，直接写出结果。
23．阅读理解题
+＝＝； +＝＝； +＝＝。
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）
＝ ＝ ；
＝ ＝ 。
（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣+﹣+﹣+﹣+；
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：﹣+﹣
24．我国古代劳动人民创造了“铺地锦”的方法计算乘法．下面就是123×48＝5904的计算过程，仔细观察，发现规律．再试着用这种方法计算812×39．
25．小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出以后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没破，经过2.5分钟后全破了．小明吹完第100次时没有破的肥皂泡有多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】因为0.123412341234…循环节为1234，共4位数，则100÷4＝25，正好除尽，因此小数点后第100个数字是循环节的第4个数，即数字4．
【解答】解：小数0.123412341234…循环节为1234，共4位数．
100÷4＝25，
小数点后第100个数字是4．
故选：D。
【点评】此题解答的关键在于运用“找循环节，看余数”的方法，解决问题．
2．【分析】把6÷7＝0. 5714，这个小数的循环节是857142，有6位数，20÷6＝3（个）…2，所以小数部分的第20位数字是第4个循环节的第二个数5，据此解答
【解答】解：6÷7＝0. 5714，循环节是857642，有6位数，
20÷6＝3（个）…2，所以小数部分的第20位数字是第4个循环节的第二个数5，
故选：B．
【点评】解题的关键是找出循环节及循环节的数字，用20除以循环节的位数得出是第几个循环节，没有余数就是循环节的最后一个数字，有余数的，余数是几就是循环节的第几个数字．
3．【分析】首先把4÷7化成小数，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用30除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几就是循环节的第几位上的数字．由此解答．
【解答】解：4÷7＝0. 7142，循环节是6位数，
30÷6＝5，
所以商的小数部分第30位上的数是8；
故选：A。
【点评】此题主要考查除法商化成小数的方法，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．
4．【分析】由题意可知，1个活细胞一小时后分裂成2个．1小时后3个活的、2小时后5个活的、3小时后9个活的……3、5、9……可看作项数为1、2、3……首项为3差分别为1、4、8……的数列．5﹣3＝2＝21、9﹣5＝4＝22、17﹣9＝8＝23……由此可以推出：第n项为2n+1．
【解答】解：由分析所总结的规律：
25+1
＝32+1
＝33（个）
答：五小时后细胞存活的个数是33个．
故选：B。
【点评】解答此题的关键是根据小时数（可看作项数），与分成成的活细胞（可看作项）之间的关系找出规律，然后根据规律可求出任何小时（整数）后活细胞的个数．
5．【分析】72小时里面有3个24小时，已知24小时就会传染给两个人，第一个24小时，传染给2个人，这样就有3个人感染病毒；第二个24小时，3个病人就会传染给6个人，这样一共有9个人感染病毒；第三个24小时，9个病人就会传染给18个人，这样感染病毒一共有9+18＝27个人；据此解答即可。
【解答】解：72÷24＝3
第一个24小时，小新传染给2个人，这样就有1+2＝3个人感染病毒；
第二个24小时，3个病人就会传染给3×2＝6个人，这样一共有3+6＝9个人感染病毒；
第三个24小时，9个病人就会传染给9×2＝18个人，这样一共有9+18＝27个人感染病毒。
答：经过72小时，包括小新在内共有27个人感染这种病毒。
故选：C。
【点评】解答本题的关键是从较小的数据出发，找出规律，从而解决问题。
6．【分析】在算式中把提出来，将其转化为×（1++++…），再根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算。
【解答】解： +++…
＝×（1++++…）
＝×（1+1﹣+﹣++…）
＝
＝
故选：C。
【点评】解答本题的关键是发现规律，提出，并灵活利用拆项公式进行简算。
二．填空题（共6小题）
7．【分析】利用循环小数的意义以及循环小数的数字规律解答即可．
【解答】解：因为4.6÷11＝0.41818…，所以4.6÷11用循环小数表示商是0.4；
又因为小数点后第138位是偶数位，1在小数点后偶数位上，所以这个循环小数的小数点后第138位上的数字是1．
故答案为：0.4，1．
【点评】此题重点考查循环节的表示法，以及推断能力．
8．【分析】（1）后一个数等于前一个数加10；
（2）后一个数等于前一个数减2。
【解答】解：（1）3180+10＝3190
这组数是：3160、3170、3180、3190。
（2）7998+2＝8000
7994﹣2＝7992
这组数是：8000、7998、7996、7994、7992。
故答案为：3190；8000、7992。
【点评】解答本题的关键是根据已知数据找出规律，然后利用规律解题。
9．【分析】三位数与一位数相乘的积是四位数，所以第二个因数不可能是1；又因为4乘一个数的结果个位数字是4，只有4×6＝24，所以第二个因数只能是6；积的后两个数字是24，第一个因数的十位数字可以是0或5，进而推出第一因数的百位数字，分别讨论得出答案。
【解答】解：根据分析可得，第二个因数是6；
竖式如下：
或或
所以，★表示的数可能是2、5或8。
答：★表示的数可能是2、5或8。
故答案为：2、5或8。
【点评】本题主要考查了竖式乘法的计算，解答本题的关键是确定第二个因数是多少。
10．【分析】先计算出3÷16.5的商的小数部分是几个数字一循环，再用101除以几，得到商的余数是几，再进行判断即可解答。
【解答】解：3÷16.5＝0.181818……
循环节是18，2个数字一循环，
101÷2＝50……1
所以，3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是1。
答：3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是1。
故答案为：1。
【点评】此题根据循环节的位数，以及看余数的方法，解决本题。
11．【分析】要想这个自然数最大，应使它的位数尽量多，则要先用最小的数从高位开始，可得这个数为：10112358。
【解答】解：根据规则，这个数为：10112358。
答：这类数中最大的一个数是10112358。
故答案为：10112358。
【点评】明确要想这个自然数最大，应使它的位数尽量多是完成本题的关键。
12．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案。
【解答】解：当x＝125时， x＝25，
当x＝25时， x＝5，
当x＝5时， x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时， x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时， x＝1，
…
（2020﹣1）÷2＝1009…1，
即输出的结果是5。
故答案为：5。
【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键。
三．判断题（共5小题）
13．【分析】循环小数5. 2的循环节是027，用8除以3，判断出是第几个循环的第几个数，求出小数部分第八位上的数字是多少即可．
【解答】解：循环小数5. 2的循环节是027，
8÷3＝2…2
所以第八位上的数字是第3个循环的第2个数字，是2．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了算术中的规律问题，注意观察总结出规律并能正确应用．
14．【分析】因为3.58658658…是循环小数，它的循环节是586，是3位数，95÷3＝31（个）…2，所以小数部分的第95位数字是31个循环节后的32个循环节上的第2个数字，循环节是586的第二个数字是8，据此求出然后分析判断．
【解答】解：根据分析可知：3.58658658…小数部分的第95位数字是8，这是正确的；
故答案为：√．
【点评】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用95除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字．
15．【分析】把分数化成小数，就会发现小数点后的数字是有规律的：＝0.142857142857…，一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6，2008÷6＝334…4，每个周期第四个数为8，所以小数点后第2008位上的数字是8．
【解答】解：＝1÷7＝0.142857142857…，
一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6．
2008÷6＝334…4，
故小数点后第2008位上的数字是8．
故答案为：×．
【点评】考查了小数与分数的互化，算术中的规律，本题的关键是得到转化为小数，找出数字循环周期为6．
16．【分析】先求出1除以111的商，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用15除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几，计算循环节的第几位上的数字．由此解答．
【解答】解：1÷111＝0.009009…，循环节是009，三位，15÷3＝5，所以商的小数部分第15位数字是9．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查算术中的规律，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．
17．【分析】19.是一个循环小数，循环节是325，因为10÷3＝3…1，所以循环节的第1个数是第10个数字，即3；据此判断．
【解答】解：该小数的循环节是325，因为10÷3＝3…1，
所以第10位上的数字是3；
故答案为：√．
【点评】本题重点要确定循环节有几位，10里面有几个循环周期．
四．应用题（共3小题）
18．【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2可求出这堆木材的根数。
【解答】解：（1+20）×20÷2
＝21×20÷2
＝420÷2
＝210（根）
答：一共有210根木材。
【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。
19．【分析】第一张倒下后过0.2秒（1个0.2秒）会倒下2张、再过0.2秒（2个0.2秒）后会倒下4张、再过0.2秒（3个0.2秒）后会倒下8张、再过0.2秒（4个0.2秒）会倒下16张（4个0.2秒加最后一组倒下的0.2秒正好是1分钟）．1、2、4、8、16．是公比为2的等比递增数列．最后把这些张数相加．
【解答】解：第1个0.2秒后会倒下2张
第2个0.2秒后会倒下4张
第3个0.2秒后会倒下8张
第4个0.2秒后会倒下16张
1+2+4+8+16＝31（张）
答：1秒钟内所倒下的骨牌数是31张．
【点评】这个数列项数是有限的，可以求出每次倒下的张数，然后再把倒下的总张数相加．如果项数较多要找规律解答．用小学知识只能这样解答．
20．【分析】根据题意，6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟），据此计算解答即可。
【解答】解：6时到7时是1小时，为60分钟；
海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟）；
60÷20＝3（次），
即60分钟的时间，海豹正好可以完成3次海底到海面再回到海底的过程；7时整，海豹刚好回到海底。
故答案为：海底。
【点评】本题考查规律探究问题，根据整个过程所用时间计算即可。
五．解答题（共5小题）
21．【分析】根据资料中计算方法，找出98和102中间数100，然后根据步骤计算求解即可。
【解答】解：根据资料，98×102计算如下：
①98和102中间数为100，
100×100＝10000；
②98、102与中间数100的差都是2，
2×2＝4；
③10000﹣4＝9996，
最终答案：9996。
故答案为：9996；
①98和102中间数为100，
100×100＝10000；
②98、102与中间数100的差都是2，
2×2＝4；
③10000﹣4＝9996，
最终答案：9996。
【点评】此题主要考查了算术中的规律，解题的关键是找出规律，找到两个因数的中间数。
22．【分析】（1）被除数各位数字之和都是9，十位数字都是0，得数依次为1，12，123，……，商的位数与被除数中1的个数有关，都比1的个数多1。
（2）纵观各算式，都是乘减混合计算。乘法中第二个因数都是9，第一个因数是9、98、987……减数是1、2、3……减数与第一个因数末位数之和等于10，计算结果个位都是0，其余数位上都是8，位数等于减数加1。
据此即可解题。
【解答】解：
【点评】完成此题，重在观察，总结规律，据观察到的规律解题。
23．【分析】根据举例找出算术中的规律，拆分成如题的形式后进行运算。
【解答】解：（1）＝＝+，＝＝+。
（2）﹣+﹣+﹣+﹣+
＝﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++
＝
（3）﹣+﹣
＝（2×﹣+﹣）÷2
＝（﹣+﹣）÷2
＝（+﹣﹣++﹣﹣）÷2
＝（﹣）÷2
＝÷2
＝
【点评】此题在于考查学生总结规律的能力。
24．【分析】对“铺地锦”的计算方法不容易理解．如果我们用乘法竖式的算法同它比较一下，就可以发现它们之间的联系，从而找到“铺地锦”的计算方法．
【解答】解：利用所给算式的规律，计算如下：
【点评】本题主要考查算术中的规律，关键根据所给算式，发现规律，并运用规律做题．
25．【分析】由题意知，每次吹得2.5分钟都破了．所以，在第100分钟吹的第一百次，全都没有破，是100个；第99分钟吹的到第100分钟时破了，还有50个没有破；第98分钟吹的到100分钟（也就是第100次）已经是过了2分钟，只有没有破，也就是5个．第97分钟吹的以及以前的到第100次时都超过了2.5分钟，全都破了．所以没有破的是98次99次和100次．数量是5+50+100＝155个．
将第98次、99次、100次肥皂泡相加，由此即可得出答案．
【解答】解：100×（1++），
＝100×，
＝155（个）；
答：小明吹完第100次时没有破的肥皂泡共有155个．
【点评】题主要考查了用递次逆推的方法，找出第几次及以前吹出的肥皂泡全破了．（1）9÷9＝1
108÷9＝12
1107÷9＝123
11106÷9＝
111105÷9＝
（2）9×9﹣1＝80
98×9﹣2＝880
987×9﹣3＝8880
9876×9﹣4＝
987654×9﹣6＝
（1）9÷9＝1
108÷9＝12
1107÷9＝123
11106÷9＝1234
111105÷9＝12345
（2）9×9﹣1＝80
98×9﹣2＝880
987×9﹣3＝8880
9876×9﹣4＝88880
987654×9﹣6＝8888880