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人教版六年级下册数学【小升初思维提升高频考点】专项复习：算式的规律（试题+答案）
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这是一份人教版六年级下册数学【小升初思维提升高频考点】专项复习：算式的规律（试题+答案），共11页。试卷主要包含了123×66＝8118，3×0.5＝1.5，探索规律，找出得数，与表示相同结果的算式是等内容，欢迎下载使用。
专项复习：算式的规律（试题）六年级下册数学 人教版（含答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________
评卷人
得分
一、选择题
1．123×66＝8118
123×666＝81918
123×6666＝819918
123×66666＝（ ）
A．8119118 B．81199118 C．8199918
2．如果1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，那么算式：（ ）＝0.8181…。
A．5÷11 B．8÷11 C．9÷11
3．根据下面前三道算式，可以知道最后一道算式的得数是（ ）。
、、、
A．111105 B．11111105 C．1111113 D．11111103
4．3×0.5＝1.5
3.3×3.5＝11.55
3.33×33.5＝111.555
……
____________＝111111.555555
按照上面的规律，横线上应填（ ）。
A．3.3333×3333.5 B．3.33333×333333.5 C．3.33333×33333.5 D．33333.3×33333.5
5．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）。
A．98 B．85 C．72
6．已知1÷A＝0.09，2÷A＝0.18，3÷A＝0.27，4÷A＝0.36，那么（ ）÷A＝0.63。
A．8 B．7 C．6 D．5
7．根据21×9＝189，321×9＝2889，4321×9＝38889，可知54321×9＝（ ）。
A．488889 B．48889 C．4888889
8．探索规律，找出得数。
…（ ）。
A．44444.4444 B．55555.5555 C．66666.6666 D．77777.7777
9．与表示相同结果的算式是（ ）。
A． B． C． D．
10．如果999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，那么999×5结果是（ ）
A．4996 B．4995 C．5996
评卷人
得分
二、脱式计算
11．用合适的方法计算：
评卷人
得分
三、口算和估算
12．根据已有的结果找出规律，直接写得数．
6.6×6.7＝44.22 66.666×66.667＝
66.6×66.7＝4442.22 666.666×666.667＝
666.6×666.7＝444422.22 6.666666×6666.667＝
评卷人
得分
四、填空题
13．用计算器计算可知，11÷99＝0.1111…，12÷99＝0.1212…，13÷99＝0.1313…，不用计算运用规律直接填出得数：14÷99＝( ) 17÷99＝( )。
14．不用计算，你能直接写出得数吗？
12×101＝1212，23×101＝2323，34×101＝3434，45×101＝( )。
15．仔细观察，再填空。
99×99＝9801
999×999＝998001
9999×9999＝99980001
99999×99999＝( )，这个乘积读作( )，把它四舍五入省略亿后面的尾数，约等于( )亿。
16．找规律，写答案。
0.1÷11＝0.0090909……
0.2÷11＝0.0181818……
0.3÷11＝0.0272727……
0.5÷11＝( )
找一找，这个商的小数点后第2022个数字是( )。
17．根据前三题的计算规律，写出算式和结果。
( )＝( )。
18．已知，，，那么下面算式的（ ）里应填什么？
( ) ( )
19．不计算，用发现的规律填空。
6.6×6.7＝44.22，6.66×66.7＝444.222，6.666×666.7＝( )，6.66666×66666.7＝( )。
20．找规律，再填数。
9×9＋7＝88
98×9＋6＝888
987×9＋5＝8888
______×9＋_______＝88888
__________×9＋3＝_________
21．根据你发现的规律，在括号里填上正确的数。
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝( )
12345×9＋( )＝( )
22．1＋3＋5＋…＋37＋39的和是( )。（填“奇数”或“偶数”）
评卷人
得分
五、判断题
23．算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987
通过这三个算式不用计算可以得到1234×8＋4＝9876。( )
24．20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品．( )
25．x+2x=5变形为（1+2）x=5运用了乘法结合律． ．
26．若〇＝△＋△＋△，〇＋△＝28，则〇＝21____
27．根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果．_____
28．除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍．( )
评卷人
得分
六、解答题
29．计算下面三组题．
160÷（4×8）
96÷（3×8）
105÷（5×7）
160÷4÷8
96÷3÷8
105÷5÷7
通过计算后我发现： ．
30．先找出下面各式的规律，再按规律写等式。
÷3＝－3 ÷4＝ －4
÷5＝ －5 ÷6＝ －6
31．（1）把分数化成小数时，已知，猜一猜再算一算：。
已知，那么。
（2）先猜想再验证：。
（3）观察上面两题中循环小数的循环节和相应分数的分母和分子的关系，并根据它们之间的关系把和化成分数并化简。
32．先仔细观察，再画一画、填一填。
33．有两个瓶子，第一个容器中有1千克水，第二个瓶子是空的。现将第一个瓶子中的水的倒入第二个瓶子中，然后将第二个瓶子里的水的倒回第一个瓶子中，然后再将第一个瓶子里的水的倒入第二个瓶子中，……如此倒下去，倒了2019次后，第一个瓶子里有多少水？
34．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。
（__________＋__________）×（___________－_________）
（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
（3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米）
35．古埃及纸书上记载着一种乘法——倍乘法，就是先加倍计算，然后再组合不同的倍数和，从而完成计算。（如下图所示）
上述计算的过程用现在的算理表达出来，就是：。
请你利用古埃及的倍乘法计算。
36．计算下面各题，发现规律。
32×101＝3232 54×101＝5454 78×101＝7878 89×101＝8989
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写（ ）遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的（ ）。
请你再写出两个这样的算式，并按规律直接写出结果。
参考答案：
1．C
【解析】
略
2．C
【解析】
【分析】
观察算式可知，除数相同都是11，被除数依次为1、2、3…，商的十分位数字依次是0、1、2…，比被除数小1，百分位依次是9、8、7……由此进行判断即可。
【详解】
商0.8181…的十分位是8，则被除数为9，算式为9÷11＝0.8181…；
故答案为：C。
【点睛】
解答本题的关键是找到被除数与商的十分位数字之间的关系。
3．D
【解析】
【分析】
纵观各式，第二个因数都是9，第一个因数依次是12、123、1234…积的位数等于两个因数位数之和，积的个十位数字是0，除个位外，其余位上都是1，且各位上的数字之和等于第二个因数9。
【详解】
11111103
故答案为：D
【点睛】
关键是看积是由哪些数字组成的；积的位数与两个因数位数的关系；积的积的十位数字；各位数字之是几。
4．C
【解析】
【分析】
算式中，乘数只含有数字3和数字5，乘积只含有数字1和数字5；积的整数部分有多少个1，第一个乘数就有多少位，且各位上都是3，其中整数部分只有1位，其余都在小数部分；积的小数部分有多少个5，第二个乘数就有多少位，其中小数部分只有1位，是5，其余都在整数部分，且都是3。
【详解】
3.33333×33333.5＝111111.555555，故答案为：C。
【点睛】
本题考查算式找规律，找准算式前后小数的位数以及各个数位上数的特征就能解决问题。
5．B
【解析】
【分析】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13，有几个加数就是几的平方，11＋9＋7＋5＋3＋1，有几个加数就是几的平方，据此计算。
【详解】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝7²＋6²
＝49＋36
＝85
故答案为：B
【点睛】
关键是掌握简算和巧算方法。
6．B
【解析】
【分析】
由题意可知，被除数是从1开始的自然数，除数都是A，商＝被除数×0.09，据此解答。
【详解】
1÷A＝0.09＝0.09×1
2÷A＝0.18＝0.09×2
3÷A＝0.27＝0.09×3
4÷A＝0.36＝0.09×4
5÷A＝0.45＝0.09×5
6÷A＝0.54＝0.09×6
7÷A＝0.63＝0.09×7
故答案为：B
【点睛】
找出商和被除数的变化规律是解答题目的关键。
7．A
【解析】
【分析】
第一个因数中，个位上的数是1，从个位起，其它位上的数依次比前一位上的数多1，第二个因数都是9，则它们的积的个位上是9，最高位上为第一个因数中最高位上的数减1，积的最低位和最高位之间为均为8，8的个数等于它们的积的最高位上的数，依此选择即可。
【详解】
54321的最高位上是5
5－1＝4
即54321×9＝488889
故答案为：A
【点睛】
此题考查的是算式的规律，应先根据题意找出算式之间的规律再解答。
8．C
【解析】
【分析】
将乘号右边的因数进行分解，是几个9，积的各个数位上的数就是几，整数部分有五位数，小数部分有四位数，据此分析。
【详解】
54＝6×9，所以1234.5679×54＝66666.6666。
故答案为：C
【点睛】
在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
9．C
【解析】
【分析】
算式可以看作两部分“1＋3＋5＋7＋9＋11”和“9＋7＋5＋3＋1”，都是连续奇数的和，它们的和分别等于第一个数加最后一个数，再乘数的个数除以2，据此计算即可。
【详解】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋11）×6÷2＋（9＋1）×5÷2
＝12×6÷2＋10×5÷2
＝6×6＋5×5
＝6²＋5²
＝36＋25
＝61
通过计算可知表示相同结果的算式是6²＋5²。
故答案选：C
【点睛】
本题需要学生熟练掌握连续奇数的求和方法，观察式子规律，灵活计算进行选择。
10．B
【解析】
【详解】
略
11．5050
【解析】
【分析】
从1一直加，加到100，用简便算法就是将这100个数分为50组，1和100为一组，2和99为一组，3和98为一组，4和97为一组……可以看到，这样的每一组的和都是101，共有50组，据此解答即可。
【详解】
1＋2＋3＋4＋…＋97＋98＋99＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）
＝50×101
＝5050
12．4444.422222
444444.222222
44444.442222222
【解析】
【详解】
观察上面乘法算式的因数和乘积可知，两个因数的整数部分都是依次多一个6，而乘积中4的个数和2的个数也在依次增加，并且整数部分的位数也在依次加一，因此可以得到结果
故答案为：
4444.422222
444444.222222
44444.442222222
【点睛】
本题考查算式的规律，其中比较各式子之间的规律是本题的关键。
13． 0.1414… 0.1717…
【解析】
【分析】
由题意可知，商的整数部分均为0，商都是循环小数，被除数为11时，循环节为1；被除数为12时，循环节为12；被除数为13时，循环节为12；以此类推，被除数为14时，循环节为14，商为0.1414…被除数为17时，循环节为17，商为0.1717…
【详解】
分析可知，14÷99＝（ 0.1414… ） 17÷99＝（ 0.1717… ）。
【点睛】
找出商的循环节和被除数的变化规律是解答题目的关键。
14．4545
【解析】
【分析】
算式的右边的因数中一个固定因数101，另一个因数是两位数，十位是第几个算式，就是几，个位是比十位上的数字大1的数字；积是四位数，是连续写两次左边的因数得出；由此规律解决问题。
【详解】
12×101＝1212
23×101＝2323
34×101＝3434
45×101＝4545
【点睛】
解答此题的关键是仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
15． 9999800001 九十九亿九千九百八十万零一 100
【解析】
【分析】
（1）观察这组算式，两个因数均有相同个数的9组成，积的位数是两个因数的位数和，从最高位起，有若干个9，9的个数比因数位数少1，然后是1个8，接着是若干的0，0的个数和9的个数相等，个位上是1，据此写出99999×99999的积。
（2）整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。
（3）省略亿后面的尾数，要看千万位上的数，根据四舍五入法的原则，若千万位上的数字大于等于5，就向亿位进1；若千万位上的数字小于5，就舍去千万位及其后面数位上的数。
【详解】
99×99＝9801
999×999＝998001
9999×9999＝99980001
99999×99999＝9999800001，这个乘积读作九十九亿九千九百八十万零一，把它四舍五入省略亿后面的尾数，约等于100亿。
【点睛】
根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。读整数时，从高位起，一级一级的读。灵活运用四舍五入法求整数的近似数。
16． 0.0454545…… 4
【解析】
【分析】
仔细观察题中的式子可以发现：除数不变，被除数乘几，商也乘几，据此求出0.5÷11＝0.0454545……；这个商的小数点后第2022个数字（总数位数循环节的位数。
【详解】
0.5÷0.1＝5
0.5÷11＝0.0090909……×5＝0.0454545……
0.5÷11的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是45，
（2022－1）÷2
＝2021÷2
＝101（组）……1（位）
余数1表示一个循环里的第1个数即4；所以这个商的小数点后第2022个数字是4。
【点睛】
能发现题中的规律并利用规律求出0.5÷11的结果以及熟练掌握求循环小数第几位上数字是多少的方法是解题的关键。
17． 5 888880
【解析】
【分析】
纵观察各式，第一个因数是9、98、987、9876…（即最高位是9，次高位，次次高位依次递减1），第二个因数都是9，减数是1、2、3、4……（从1开始，是相邻自然数），计算结果是80、880、8880、88880……（即从80开始依次递增800、8000、80000），据此即可写出的空缺的数。
【详解】
按规律填空：
9×9－1＝80
98×9－2＝880
987×9－3＝8880
9876×9－4＝88880
98765×9－5＝888880
【点睛】
解答此题的关键是找规律，找到规律后，再写出所空缺的数（式子）就比较容易了。
18．
【解析】
【分析】
根据题干可知，除数9不变，商是循环小数，都是零点几，小数部分是循环小数，被除数是几，循环节就是几；据此解答。
【详解】
1÷9＝，2÷9＝ ，3÷9＝，5÷9＝，8÷9＝
【点睛】
解答此题的关键是发现算式中被除数、除数和商的特点，从而得出规律。
19． 4444.2222 444444.222222
【解析】
【分析】
通过观察，第一个因数小数部分有几个6，第二个因数中整数部分就有几个6；积的整数部分各位上的数都是4，小数部分各位上的数字都是2，且4与2的个数同样多，其个数等于两个因数小数数位之和，据此解答即可。如6.66×66.7中，一共有三位小数，所以得数中就有3个4和3个2，4与2之间点上小数点。
【详解】
6.666×666.7＝4444.2222
6.66666×66666.7＝444444.222222
【点睛】
仔细观察算式，正确概括归纳出一般规律是解题关键。
20． 9876 4 98765 888888
【解析】
【分析】
第一个因数最高位上是9，后面数位上的数比前面数位上的数少1，第二个因数都是9，然后加上比第一个因数个位上数少2的数，等于各个数位上都是8，8的个数比第一个因数的位数多1。
【详解】
9×9＋7＝88
98×9＋6＝888
987×9＋5＝8888
9876×9＋4＝88888
98765×9＋3＝888888
【点睛】
本题主要考查学生的分析推理能力。
21． 11111 6 111111
【解析】
【分析】
通过观察前面3个式子，
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111，
得出规律，9×12…（n－1）＋n＝111……1（n个1），按照此规律得解。
【详解】
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝（11111）
12345×9＋（6）＝（111111）
【点睛】
认真分析，找出规律是解决此题的关键。
22．偶数
【解析】
【分析】
观察算式可知，1＋39＝40，3＋37＝40……，以此类推，总共有1，3，5……39这20个数相加，两两相加和为“40”，所以就有10个这样的“40”。据此计算出1＋3＋5＋…＋37＋39的和，再判断奇偶性。
【详解】
根据分析可得：
1＋3＋5＋…＋37＋39
＝（1＋39）×20÷2
＝40×20÷2
＝800÷2
＝400
400是偶数，所以1＋3＋5＋…＋37＋39的和是偶数。
【点睛】
本题考查了奇偶性的判断，关键是掌握1＋3＋5＋…＋37＋39这个算式的计算方法。
23．正确
【解析】
【详解】
规律：第一个数依次1、12、123、1234、12345、...，第二个数字8不变，第三个数字和第一个数字最后一个数字相等，结果是9、98、987、9876、98765、987654、...．。
24．√
【解析】
【详解】
略
25．错误
【解析】
【详解】
试题分析：x+2x可以看成1x+2x加号左右有一个共同的因数是x，由此变成了两个数的和与一个因数相乘，即（1+2）x，这是运用了乘法分配律．
解：x+2x=5变形为（1+2）x=5运用了乘法分配律；
故答案为错误．
点评：本题是考查了乘法分配律和乘法结合律的形式，记住它们的形式，并能灵活运用．
26．√
【解析】
【详解】
把〇＝△＋△＋△代入式子〇＋△＝28，可得：
△＋△＋△＋△＝28
4×△＝28
△＝7
把△＝7，代入式子〇＝△＋△＋△，可得：
〇＝7＋7＋7＝21
所以原题说法正确。
故答案为：√
27．√
【解析】
【详解】
如
1×9＝9
12×9＝108
123×9＝1107
…
根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果，这种说法正确．
故答案为：√．
28．正确
【解析】
【详解】
除法的除数扩大商缩小，被除数扩大商扩大．
29．5；4；3
5；4；3
一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积，也可以先除以第一个除数，再除以第二个除数．
【解析】
【详解】
①160÷（4×8）
＝160÷32
＝5
160÷4÷8
＝40÷8
＝5
②96÷（3×8）
＝96÷24
＝4
96÷3÷8
＝32÷8
＝4
③105÷（5×7）
＝105÷35
＝3
105÷5÷7
＝21÷7
＝3
30．；
【解析】
【分析】
观察这组算式，被除数是一个分数，除数是一个整数，被除数中的分母比除数小1，分子＝除数×除数。算式等于被除数减去除数。据此解答即可。
【详解】
；
【点睛】
根据已知的算式得出算式的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
31．（1） ；
（2）；
（3） ；；
【解析】
【分析】
（1）根据前面的规律可以猜想，把化成小数时，它的循环节可能为“4”；把一化成小数时，它的循环节可能为“04”；把化成小数时，它的循环节可能为“14”。可以用除法进行计算，验证上述猜想的正确性；
（2）分数的分母比99多了一位，所以化成小数后，小数的循环节应该多加一位0，即＝，以此类推即可；
（3）根据循环节的情况分析，循环节有几位，分母就是几个9，分子就是循环节内的数字组成的数；注意进行化简。
【详解】
（1），，；
（2），，；
（3）观察上面两题中循环小数的循环节和相应分数的分母和分子的关系发现：循环节有几位，分母就是几个9，分子就是循环节内的数字组成的数；
；；
【点睛】
本题较难，关键是找到分数与小数之间的关系： 分母有几个9，循环节就有几位，，循环节内的数字就是由分子里的数组成的。
32． ；15
【解析】
【详解】
结合直观图形，归纳数的规律，找到数列中的递增规律。感受虽然图形和数的形式不同，但可以表示相同的规律，建立“数”与“形”之间的联系。观察图形可以知道第四幅图一共有（个）圆，那么第五幅图应该一共有（个）圆。
33．千克
【解析】
【详解】
第一次后：1×（1-）=（千克）
第二次后：+×=（千克）
第三次后：×（1-）=（千克）……
发现在进行奇数次后，第一瓶子个中剩下千克水。
34．（1）15；5；15；5
（2）见详解
（3）141.3平方厘米
【解析】
【分析】
（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。
（2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。
（3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。
【详解】
（1）
（2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。
（3）×3.14×14.52－×3.14×5.52
＝×3.14×（14.52－5.52）
＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5）
＝×3.14×20×9
＝3.14×45
＝141.3（平方厘米）
【点睛】
找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。
35．480
【解析】
【分析】
根据题意可知，乘数7＝1＋2＋4，积224＝31＋64＋128；利用古埃及的倍乘法乘数15＝1＋2＋4＋8，积＝32＋32×2＋32×4＋32×8；据此解答。
【详解】
32＋32×2＋32×4＋32×8
＝32＋64＋128＋256
＝480
答：32×15的积是480。
【点睛】
本题考查倍乘法的算法，关键依据给出的例子找规律。
36．两；积；37×101＝3737；99×101＝9999
【解析】
【分析】
32×101＝3232，则32与101相乘，乘积是连写两遍32。54×101＝5454，则54与101相乘，乘积是连写两遍54。则一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写两遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的积。根据这个规律解答即可。
【详解】
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写两遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的积。
37×101＝3737；99×101＝9999
【点睛】
根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
专项复习：算式的规律（试题）六年级下册数学 人教版（含答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________
评卷人
得分
一、选择题
1．123×66＝8118
123×666＝81918
123×6666＝819918
123×66666＝（ ）
A．8119118 B．81199118 C．8199918
2．如果1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，那么算式：（ ）＝0.8181…。
A．5÷11 B．8÷11 C．9÷11
3．根据下面前三道算式，可以知道最后一道算式的得数是（ ）。
、、、
A．111105 B．11111105 C．1111113 D．11111103
4．3×0.5＝1.5
3.3×3.5＝11.55
3.33×33.5＝111.555
……
____________＝111111.555555
按照上面的规律，横线上应填（ ）。
A．3.3333×3333.5 B．3.33333×333333.5 C．3.33333×33333.5 D．33333.3×33333.5
5．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）。
A．98 B．85 C．72
6．已知1÷A＝0.09，2÷A＝0.18，3÷A＝0.27，4÷A＝0.36，那么（ ）÷A＝0.63。
A．8 B．7 C．6 D．5
7．根据21×9＝189，321×9＝2889，4321×9＝38889，可知54321×9＝（ ）。
A．488889 B．48889 C．4888889
8．探索规律，找出得数。
…（ ）。
A．44444.4444 B．55555.5555 C．66666.6666 D．77777.7777
9．与表示相同结果的算式是（ ）。
A． B． C． D．
10．如果999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，那么999×5结果是（ ）
A．4996 B．4995 C．5996
评卷人
得分
二、脱式计算
11．用合适的方法计算：
评卷人
得分
三、口算和估算
12．根据已有的结果找出规律，直接写得数．
6.6×6.7＝44.22 66.666×66.667＝
66.6×66.7＝4442.22 666.666×666.667＝
666.6×666.7＝444422.22 6.666666×6666.667＝
评卷人
得分
四、填空题
13．用计算器计算可知，11÷99＝0.1111…，12÷99＝0.1212…，13÷99＝0.1313…，不用计算运用规律直接填出得数：14÷99＝( ) 17÷99＝( )。
14．不用计算，你能直接写出得数吗？
12×101＝1212，23×101＝2323，34×101＝3434，45×101＝( )。
15．仔细观察，再填空。
99×99＝9801
999×999＝998001
9999×9999＝99980001
99999×99999＝( )，这个乘积读作( )，把它四舍五入省略亿后面的尾数，约等于( )亿。
16．找规律，写答案。
0.1÷11＝0.0090909……
0.2÷11＝0.0181818……
0.3÷11＝0.0272727……
0.5÷11＝( )
找一找，这个商的小数点后第2022个数字是( )。
17．根据前三题的计算规律，写出算式和结果。
( )＝( )。
18．已知，，，那么下面算式的（ ）里应填什么？
( ) ( )
19．不计算，用发现的规律填空。
6.6×6.7＝44.22，6.66×66.7＝444.222，6.666×666.7＝( )，6.66666×66666.7＝( )。
20．找规律，再填数。
9×9＋7＝88
98×9＋6＝888
987×9＋5＝8888
______×9＋_______＝88888
__________×9＋3＝_________
21．根据你发现的规律，在括号里填上正确的数。
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝( )
12345×9＋( )＝( )
22．1＋3＋5＋…＋37＋39的和是( )。（填“奇数”或“偶数”）
评卷人
得分
五、判断题
23．算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987
通过这三个算式不用计算可以得到1234×8＋4＝9876。( )
24．20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品．( )
25．x+2x=5变形为（1+2）x=5运用了乘法结合律． ．
26．若〇＝△＋△＋△，〇＋△＝28，则〇＝21____
27．根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果．_____
28．除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍．( )
评卷人
得分
六、解答题
29．计算下面三组题．
160÷（4×8）
96÷（3×8）
105÷（5×7）
160÷4÷8
96÷3÷8
105÷5÷7
通过计算后我发现： ．
30．先找出下面各式的规律，再按规律写等式。
÷3＝－3 ÷4＝ －4
÷5＝ －5 ÷6＝ －6
31．（1）把分数化成小数时，已知，猜一猜再算一算：。
已知，那么。
（2）先猜想再验证：。
（3）观察上面两题中循环小数的循环节和相应分数的分母和分子的关系，并根据它们之间的关系把和化成分数并化简。
32．先仔细观察，再画一画、填一填。
33．有两个瓶子，第一个容器中有1千克水，第二个瓶子是空的。现将第一个瓶子中的水的倒入第二个瓶子中，然后将第二个瓶子里的水的倒回第一个瓶子中，然后再将第一个瓶子里的水的倒入第二个瓶子中，……如此倒下去，倒了2019次后，第一个瓶子里有多少水？
34．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。
（__________＋__________）×（___________－_________）
（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
（3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米）
35．古埃及纸书上记载着一种乘法——倍乘法，就是先加倍计算，然后再组合不同的倍数和，从而完成计算。（如下图所示）
上述计算的过程用现在的算理表达出来，就是：。
请你利用古埃及的倍乘法计算。
36．计算下面各题，发现规律。
32×101＝3232 54×101＝5454 78×101＝7878 89×101＝8989
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写（ ）遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的（ ）。
请你再写出两个这样的算式，并按规律直接写出结果。
参考答案：
1．C
【解析】
略
2．C
【解析】
【分析】
观察算式可知，除数相同都是11，被除数依次为1、2、3…，商的十分位数字依次是0、1、2…，比被除数小1，百分位依次是9、8、7……由此进行判断即可。
【详解】
商0.8181…的十分位是8，则被除数为9，算式为9÷11＝0.8181…；
故答案为：C。
【点睛】
解答本题的关键是找到被除数与商的十分位数字之间的关系。
3．D
【解析】
【分析】
纵观各式，第二个因数都是9，第一个因数依次是12、123、1234…积的位数等于两个因数位数之和，积的个十位数字是0，除个位外，其余位上都是1，且各位上的数字之和等于第二个因数9。
【详解】
11111103
故答案为：D
【点睛】
关键是看积是由哪些数字组成的；积的位数与两个因数位数的关系；积的积的十位数字；各位数字之是几。
4．C
【解析】
【分析】
算式中，乘数只含有数字3和数字5，乘积只含有数字1和数字5；积的整数部分有多少个1，第一个乘数就有多少位，且各位上都是3，其中整数部分只有1位，其余都在小数部分；积的小数部分有多少个5，第二个乘数就有多少位，其中小数部分只有1位，是5，其余都在整数部分，且都是3。
【详解】
3.33333×33333.5＝111111.555555，故答案为：C。
【点睛】
本题考查算式找规律，找准算式前后小数的位数以及各个数位上数的特征就能解决问题。
5．B
【解析】
【分析】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13，有几个加数就是几的平方，11＋9＋7＋5＋3＋1，有几个加数就是几的平方，据此计算。
【详解】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝7²＋6²
＝49＋36
＝85
故答案为：B
【点睛】
关键是掌握简算和巧算方法。
6．B
【解析】
【分析】
由题意可知，被除数是从1开始的自然数，除数都是A，商＝被除数×0.09，据此解答。
【详解】
1÷A＝0.09＝0.09×1
2÷A＝0.18＝0.09×2
3÷A＝0.27＝0.09×3
4÷A＝0.36＝0.09×4
5÷A＝0.45＝0.09×5
6÷A＝0.54＝0.09×6
7÷A＝0.63＝0.09×7
故答案为：B
【点睛】
找出商和被除数的变化规律是解答题目的关键。
7．A
【解析】
【分析】
第一个因数中，个位上的数是1，从个位起，其它位上的数依次比前一位上的数多1，第二个因数都是9，则它们的积的个位上是9，最高位上为第一个因数中最高位上的数减1，积的最低位和最高位之间为均为8，8的个数等于它们的积的最高位上的数，依此选择即可。
【详解】
54321的最高位上是5
5－1＝4
即54321×9＝488889
故答案为：A
【点睛】
此题考查的是算式的规律，应先根据题意找出算式之间的规律再解答。
8．C
【解析】
【分析】
将乘号右边的因数进行分解，是几个9，积的各个数位上的数就是几，整数部分有五位数，小数部分有四位数，据此分析。
【详解】
54＝6×9，所以1234.5679×54＝66666.6666。
故答案为：C
【点睛】
在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
9．C
【解析】
【分析】
算式可以看作两部分“1＋3＋5＋7＋9＋11”和“9＋7＋5＋3＋1”，都是连续奇数的和，它们的和分别等于第一个数加最后一个数，再乘数的个数除以2，据此计算即可。
【详解】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋11）×6÷2＋（9＋1）×5÷2
＝12×6÷2＋10×5÷2
＝6×6＋5×5
＝6²＋5²
＝36＋25
＝61
通过计算可知表示相同结果的算式是6²＋5²。
故答案选：C
【点睛】
本题需要学生熟练掌握连续奇数的求和方法，观察式子规律，灵活计算进行选择。
10．B
【解析】
【详解】
略
11．5050
【解析】
【分析】
从1一直加，加到100，用简便算法就是将这100个数分为50组，1和100为一组，2和99为一组，3和98为一组，4和97为一组……可以看到，这样的每一组的和都是101，共有50组，据此解答即可。
【详解】
1＋2＋3＋4＋…＋97＋98＋99＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）
＝50×101
＝5050
12．4444.422222
444444.222222
44444.442222222
【解析】
【详解】
观察上面乘法算式的因数和乘积可知，两个因数的整数部分都是依次多一个6，而乘积中4的个数和2的个数也在依次增加，并且整数部分的位数也在依次加一，因此可以得到结果
故答案为：
4444.422222
444444.222222
44444.442222222
【点睛】
本题考查算式的规律，其中比较各式子之间的规律是本题的关键。
13． 0.1414… 0.1717…
【解析】
【分析】
由题意可知，商的整数部分均为0，商都是循环小数，被除数为11时，循环节为1；被除数为12时，循环节为12；被除数为13时，循环节为12；以此类推，被除数为14时，循环节为14，商为0.1414…被除数为17时，循环节为17，商为0.1717…
【详解】
分析可知，14÷99＝（ 0.1414… ） 17÷99＝（ 0.1717… ）。
【点睛】
找出商的循环节和被除数的变化规律是解答题目的关键。
14．4545
【解析】
【分析】
算式的右边的因数中一个固定因数101，另一个因数是两位数，十位是第几个算式，就是几，个位是比十位上的数字大1的数字；积是四位数，是连续写两次左边的因数得出；由此规律解决问题。
【详解】
12×101＝1212
23×101＝2323
34×101＝3434
45×101＝4545
【点睛】
解答此题的关键是仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
15． 9999800001 九十九亿九千九百八十万零一 100
【解析】
【分析】
（1）观察这组算式，两个因数均有相同个数的9组成，积的位数是两个因数的位数和，从最高位起，有若干个9，9的个数比因数位数少1，然后是1个8，接着是若干的0，0的个数和9的个数相等，个位上是1，据此写出99999×99999的积。
（2）整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。
（3）省略亿后面的尾数，要看千万位上的数，根据四舍五入法的原则，若千万位上的数字大于等于5，就向亿位进1；若千万位上的数字小于5，就舍去千万位及其后面数位上的数。
【详解】
99×99＝9801
999×999＝998001
9999×9999＝99980001
99999×99999＝9999800001，这个乘积读作九十九亿九千九百八十万零一，把它四舍五入省略亿后面的尾数，约等于100亿。
【点睛】
根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。读整数时，从高位起，一级一级的读。灵活运用四舍五入法求整数的近似数。
16． 0.0454545…… 4
【解析】
【分析】
仔细观察题中的式子可以发现：除数不变，被除数乘几，商也乘几，据此求出0.5÷11＝0.0454545……；这个商的小数点后第2022个数字（总数位数循环节的位数。
【详解】
0.5÷0.1＝5
0.5÷11＝0.0090909……×5＝0.0454545……
0.5÷11的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是45，
（2022－1）÷2
＝2021÷2
＝101（组）……1（位）
余数1表示一个循环里的第1个数即4；所以这个商的小数点后第2022个数字是4。
【点睛】
能发现题中的规律并利用规律求出0.5÷11的结果以及熟练掌握求循环小数第几位上数字是多少的方法是解题的关键。
17． 5 888880
【解析】
【分析】
纵观察各式，第一个因数是9、98、987、9876…（即最高位是9，次高位，次次高位依次递减1），第二个因数都是9，减数是1、2、3、4……（从1开始，是相邻自然数），计算结果是80、880、8880、88880……（即从80开始依次递增800、8000、80000），据此即可写出的空缺的数。
【详解】
按规律填空：
9×9－1＝80
98×9－2＝880
987×9－3＝8880
9876×9－4＝88880
98765×9－5＝888880
【点睛】
解答此题的关键是找规律，找到规律后，再写出所空缺的数（式子）就比较容易了。
18．
【解析】
【分析】
根据题干可知，除数9不变，商是循环小数，都是零点几，小数部分是循环小数，被除数是几，循环节就是几；据此解答。
【详解】
1÷9＝，2÷9＝ ，3÷9＝，5÷9＝，8÷9＝
【点睛】
解答此题的关键是发现算式中被除数、除数和商的特点，从而得出规律。
19． 4444.2222 444444.222222
【解析】
【分析】
通过观察，第一个因数小数部分有几个6，第二个因数中整数部分就有几个6；积的整数部分各位上的数都是4，小数部分各位上的数字都是2，且4与2的个数同样多，其个数等于两个因数小数数位之和，据此解答即可。如6.66×66.7中，一共有三位小数，所以得数中就有3个4和3个2，4与2之间点上小数点。
【详解】
6.666×666.7＝4444.2222
6.66666×66666.7＝444444.222222
【点睛】
仔细观察算式，正确概括归纳出一般规律是解题关键。
20． 9876 4 98765 888888
【解析】
【分析】
第一个因数最高位上是9，后面数位上的数比前面数位上的数少1，第二个因数都是9，然后加上比第一个因数个位上数少2的数，等于各个数位上都是8，8的个数比第一个因数的位数多1。
【详解】
9×9＋7＝88
98×9＋6＝888
987×9＋5＝8888
9876×9＋4＝88888
98765×9＋3＝888888
【点睛】
本题主要考查学生的分析推理能力。
21． 11111 6 111111
【解析】
【分析】
通过观察前面3个式子，
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111，
得出规律，9×12…（n－1）＋n＝111……1（n个1），按照此规律得解。
【详解】
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝（11111）
12345×9＋（6）＝（111111）
【点睛】
认真分析，找出规律是解决此题的关键。
22．偶数
【解析】
【分析】
观察算式可知，1＋39＝40，3＋37＝40……，以此类推，总共有1，3，5……39这20个数相加，两两相加和为“40”，所以就有10个这样的“40”。据此计算出1＋3＋5＋…＋37＋39的和，再判断奇偶性。
【详解】
根据分析可得：
1＋3＋5＋…＋37＋39
＝（1＋39）×20÷2
＝40×20÷2
＝800÷2
＝400
400是偶数，所以1＋3＋5＋…＋37＋39的和是偶数。
【点睛】
本题考查了奇偶性的判断，关键是掌握1＋3＋5＋…＋37＋39这个算式的计算方法。
23．正确
【解析】
【详解】
规律：第一个数依次1、12、123、1234、12345、...，第二个数字8不变，第三个数字和第一个数字最后一个数字相等，结果是9、98、987、9876、98765、987654、...．。
24．√
【解析】
【详解】
略
25．错误
【解析】
【详解】
试题分析：x+2x可以看成1x+2x加号左右有一个共同的因数是x，由此变成了两个数的和与一个因数相乘，即（1+2）x，这是运用了乘法分配律．
解：x+2x=5变形为（1+2）x=5运用了乘法分配律；
故答案为错误．
点评：本题是考查了乘法分配律和乘法结合律的形式，记住它们的形式，并能灵活运用．
26．√
【解析】
【详解】
把〇＝△＋△＋△代入式子〇＋△＝28，可得：
△＋△＋△＋△＝28
4×△＝28
△＝7
把△＝7，代入式子〇＝△＋△＋△，可得：
〇＝7＋7＋7＝21
所以原题说法正确。
故答案为：√
27．√
【解析】
【详解】
如
1×9＝9
12×9＝108
123×9＝1107
…
根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果，这种说法正确．
故答案为：√．
28．正确
【解析】
【详解】
除法的除数扩大商缩小，被除数扩大商扩大．
29．5；4；3
5；4；3
一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积，也可以先除以第一个除数，再除以第二个除数．
【解析】
【详解】
①160÷（4×8）
＝160÷32
＝5
160÷4÷8
＝40÷8
＝5
②96÷（3×8）
＝96÷24
＝4
96÷3÷8
＝32÷8
＝4
③105÷（5×7）
＝105÷35
＝3
105÷5÷7
＝21÷7
＝3
30．；
【解析】
【分析】
观察这组算式，被除数是一个分数，除数是一个整数，被除数中的分母比除数小1，分子＝除数×除数。算式等于被除数减去除数。据此解答即可。
【详解】
；
【点睛】
根据已知的算式得出算式的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
31．（1） ；
（2）；
（3） ；；
【解析】
【分析】
（1）根据前面的规律可以猜想，把化成小数时，它的循环节可能为“4”；把一化成小数时，它的循环节可能为“04”；把化成小数时，它的循环节可能为“14”。可以用除法进行计算，验证上述猜想的正确性；
（2）分数的分母比99多了一位，所以化成小数后，小数的循环节应该多加一位0，即＝，以此类推即可；
（3）根据循环节的情况分析，循环节有几位，分母就是几个9，分子就是循环节内的数字组成的数；注意进行化简。
【详解】
（1），，；
（2），，；
（3）观察上面两题中循环小数的循环节和相应分数的分母和分子的关系发现：循环节有几位，分母就是几个9，分子就是循环节内的数字组成的数；
；；
【点睛】
本题较难，关键是找到分数与小数之间的关系： 分母有几个9，循环节就有几位，，循环节内的数字就是由分子里的数组成的。
32． ；15
【解析】
【详解】
结合直观图形，归纳数的规律，找到数列中的递增规律。感受虽然图形和数的形式不同，但可以表示相同的规律，建立“数”与“形”之间的联系。观察图形可以知道第四幅图一共有（个）圆，那么第五幅图应该一共有（个）圆。
33．千克
【解析】
【详解】
第一次后：1×（1-）=（千克）
第二次后：+×=（千克）
第三次后：×（1-）=（千克）……
发现在进行奇数次后，第一瓶子个中剩下千克水。
34．（1）15；5；15；5
（2）见详解
（3）141.3平方厘米
【解析】
【分析】
（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。
（2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。
（3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。
【详解】
（1）
（2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。
（3）×3.14×14.52－×3.14×5.52
＝×3.14×（14.52－5.52）
＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5）
＝×3.14×20×9
＝3.14×45
＝141.3（平方厘米）
【点睛】
找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。
35．480
【解析】
【分析】
根据题意可知，乘数7＝1＋2＋4，积224＝31＋64＋128；利用古埃及的倍乘法乘数15＝1＋2＋4＋8，积＝32＋32×2＋32×4＋32×8；据此解答。
【详解】
32＋32×2＋32×4＋32×8
＝32＋64＋128＋256
＝480
答：32×15的积是480。
【点睛】
本题考查倍乘法的算法，关键依据给出的例子找规律。
36．两；积；37×101＝3737；99×101＝9999
【解析】
【分析】
32×101＝3232，则32与101相乘，乘积是连写两遍32。54×101＝5454，则54与101相乘，乘积是连写两遍54。则一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写两遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的积。根据这个规律解答即可。
【详解】
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写两遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的积。
37×101＝3737；99×101＝9999
【点睛】
根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
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