预习课第15讲 乘法公式 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

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1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 对平方差公式的理解
【题型二】 平方差公式的计算与应用
【题型三】 对完全平方公式的理解与简单计算
【题型四】 完全平方公式的应用
【题型五】 综合运用
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握平方差公式及其应用；
2.掌握完全平方公式及其应用；
1 平方差公式
a+ba-b=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2 完全平方公式
(1)a+b2=a2+2ab+b2，a-b2=a2-2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(2)拓展
a+b2-a-b2=4ab，a+b2+a-b2=2(a2+b2).
【题型一】 对平方差公式的理解
相关知识点讲解
1 引入
计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？
（1）x+1x-1= ; （2）a+2a-2= ;
（3）2m+12m-1= .
2 平方差公式
a+ba-b=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
证明 a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
【例】m+2m-2=m2-22=m2-4；x-2yx+2y=x2-2y2=x2-4y2.
【典题1】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．-x+yx+yB．x+yx+y
C．x+22+xD．2x+33x-2
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．根据平方差公式的特点直接可得到答案．
【详解】解：A中，-x+yx+y两个二项式有相同项y，和相反项-x、x，故可以用平方差公式，故选项符合题意；
B中，x+yx+y两个二项式都是相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意；
C中，x+22+x=x+2x+2两个二项式都是相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意；
D中，2x+33x-2两个二项式没有相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意；
故选：A．

变式练习
1（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．-x+5x-5B．-x+5-x-5
C．x+5x+5D．x+5-x-5
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可．
【详解】解：A．-x+5x-5无相同的项，故不能用平方差公式计算；
B．-x+5-x-5=-x2-25=x2-25故能用平方差公式计算；
C．x+5x+5无相反的项，故不能用平方差公式计算；
D．x+5-x-5无相同的项，故不能用平方差公式计算；
故选B．
2（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A．x+22+xB．2x+33x-2C．-x+yx+yD．-x+yx-y
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：x+yx-y=x2-y2．
【详解】解：A、x+22+x不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、2x+33x-2不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、-x+yx+y=-x2+y2能用平方差公式计算，符合题意；
D、-x+yx-y=-x-yx-y不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：C．
3（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列算式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．2a+b2a-bB．-3a+bb-3a
C．-x-4yx-4yD．-m+3n-m-3n
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：a+ba-b=a2-b2，左边需满足两数的和与这两数的差的积，即相乘两式有相同项和相反项，逐项分析判断即可．
【详解】解：A中2a+b2a-b，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意；
B中-3a+bb-3a，相乘两式只有相同项，不符合公式特征，故选项符合题意；
C中-x-4yx-4y，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意；
D中-m+3n-m-3n，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意；
故选：B．
【题型二】平方差公式的计算与应用
【典题1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算-2x+1-2x-1的结果是（ ）
A．4x2-1B．-4x2-1C．4x2+1D．-4x2+1
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式计算求解即可．
【详解】解：-2x+1-2x-1=-2x2-1=4x2-1，
故选：A．
【典题2】（24-25七年级上·上海·期中）三个连续偶数，中间一个数为k，则这三个数的积为（ ）
A．k3-4kB．8k3-8kC．4k3-kD．8k3-2k
【答案】A
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．根据三个连续偶数，中间一个是k，则另外两个分别为k-2，k+2，再求出之积即可．
【详解】解：根据三个连续偶数，中间一个是k，则另外两个分别为k-2，k+2；
∴kk-2k+2=kk2-4=k3-4k．
故选：A．
变式练习
1（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）(-m-n)(-m+n)的化简结果是（ ）
A．m2+n2B．m2-n2C．n2-m2D．-m2-n2
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可．
【详解】解：(-m-n)(-m+n)=(-m)2-n2=m2-n2，
故选：B．
2（23-24八年级上·海南海口·期中）已知x+y=6，x-y=1，则x2-y2等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：x2-y2=x+yx-y=6×1=6．
故选：D．
3（2025七年级下·全国·专题练习）计算29.6×30.4的结果是（ ）
A．900.16B．899C．900D．899.84
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可．
【详解】解：29.6×30.4=30-0.4×30+0.4=900-0.16=899.84；
故选D．
4（2025七年级下·全国·专题练习）若92-1112-1=8×10×12k，则k的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式的计算是解题的关键．
根据题意，运用平方差公式将等于左边因式分解后计算得8×10×120，再与等式右边比较，即可求解．
【详解】解：等式左边=92-1112-1
=9+19-111+111-1
=10×8×12×10
=8×10×120，
∴120=12k，
∴k=10，
故选：B ．
5（24-25八年级上·河南开封·期中）如果x2-y2=4，则x-y2x+y2的值为（ ）
A．4B．16C．24D．32
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式整理，然后代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵x2-y2=4，
∴x+yx-y=4，
∴x-y2x+y2=x+yx-y2=42=16．
故选：B．
【题型三】对完全平方公式的理解与简单计算
相关知识点讲解
1 引入
计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？
（1）x+12=x+1x-1= ;
（2）a-22= ;
（3）m-12=m-1m-1= ;
（4）x-22= .
2 完全平方公式
(1)a+b2=a2+2ab+b2，a-b2=a2-2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
证明 a+b2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
a-b2=a-ba-b=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
【例】x+22=x2+2×x×2+22=x2+4x+4；
2a-3b2=(2a)2-2×2a×3b+3b2=4a2-12ab+9b2。
(2)拓展
a+b2-a-b2=4ab，a+b2+a-b2=2(a2+b2).
【典题1】（2023七年级下·全国·专题练习）-12m+12的计算结果为（ ）
A．1-14m2B．1-m+14m2C．14m2+1D．1+m+14m2
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可．
【详解】解：-12m+12
=1-12m2
=1-m+14m2，
故选：B．
变式练习
1（2025七年级下·湖南·专题练习）运用乘法公式计算a-22的结果是（ ）
A．a2-4a+4B．a2-2a+4C．a2-4D．a2-4a-4
【答案】A
【分析】
本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
原式利用完全平方公式化简即可得到结果．
【详解】
解：原式=a2-4a+4．
故选：A．
2（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算3a-b2的结果是（ ）
A．9a2-b2B．9a2+b2
C．9a2-6ab+b2D．9a2+6ab+b2
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：3a-b2=3a2-2×3a×b+b2=9a2-6ab+b2，
故选：C．
3（24-25七年级下·全国·课后作业）-x2-y2运算结果等于（ ）
A．-x2-2xy+y2B．-x4-2x2y-y2
C．x4+2x2y+y2D．x4-2x2y-y2
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：-x2-y2=x2+y2=x22+2x2y+y2=x4+2x2y+y2，
故选：C．
【题型四】完全平方公式的应用
【典题1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知x+y=3, xy=2，则x2+y2的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
根据完全平方公式得出x2+y2=(x+y)2-2xy，再代入求出即可．
【详解】解：∵x+y=3，xy=2，
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2×2=5．
故选：C．
【典题2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b2=23，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）

A．5B．7C．9D．11
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，全等的性质，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
由题意ED=a，AE=b，由面积法得到17=4×12ab+a-b2，则a2+b2=17，由a-b2=2a2+b2-a+b2求出a-b2，即小正方形的面积．
【详解】解：如图所示，由题意ED=a，AE=b，

∵大正方形的面积为17，
∴AD2=17，
∵17=4×12ab+a-b2
∴a2+b2=17，
∵a+b2=23，
∴a-b2=2a2+b2-a+b2=2×17-23=11，
∵EF=ED-DF=a-b，
∴小正方形的面积为EF2=a-b2=11，
故选：D．
变式练习
1（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知a+b2=25，ab=6，则a2+b2的值为（ ）
A．13B．19C．26D．31
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键．
根据完全平方公式的变形计算即可求解．
【详解】解：a+b2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=a+b2-2ab=25-2×6=13，
故选：A ．
2（24-25八年级上·青海海东·期末）若m+n2=9，m-n2=1，则mn的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出方程组是解题的关键．
【详解】m+n2=m2+2mn+n2=9，
m-n2=m2-2mn+n2=1，
联立方程组m2+2mn+n2=9①m2-2mn+n2=1②，
①-②得，mn=2．
故选：C．
3（24-25七年级下·全国·课后作业）若(a+2b)2=16,ab=2，则(a-2b)2的值为（ ）
A．8B．2C．0D．-8
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2并灵活运用．
把(a-2b)2用含a+2b、ab的式子表示出来，再整体代入求值即可．
【详解】解：(a-2b)2
=a2-4ab+4b2
=a2+4ab+4b2-8ab
=(a+2b)2-8ab，
∵(a+2b)2=16,ab=2，
∴原式=16-8×2=0，
故选：C．
4（24-25八年级上·四川巴中·期中）若a-b2=3，a+b2=7，则a2+b2-3ab-2的值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此可得ab的值，进而根据a2+b2-3ab-2=(a-b)2-ab-2整体代入求值．
【详解】解：∵(a+b)2-(a-b)2=4ab，
即4ab=7-3=4，
解得ab=1，
∴a2+b2-3ab-2=(a-b)2-ab-2=3-1-2=0，
故选：A．
5（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a,b，如果a-b=3,ab=3，那么阴影部分的面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，利用分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：∵a-b=3,ab=3，
∴阴影部分的面积为：12a2+b2-12a+bb
=12a2+b2-12ab-12b2
=12a2-12ab+12b2
=12a2-12ab+12b2
=12a-b2+12ab，
=12×32+12×3=6；
故选A．
【题型五】综合运用
【典题1】（2025·陕西渭南·二模）先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2÷2y，其中x=3，y=2．
【答案】2x-4y；-2
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据平方差公式和完全平方公式化简，然后代值计算．
【详解】解：原式=x2-4y2-x2-4xy+4y2÷2y
=x2-4y2-x2+4xy-4y2÷2y
=4xy-8y2÷2y
=2x-4y；
当x=3，y=2时，原式=2×3-4×2=-2．
【典题2】 （2024·安徽池州·三模）观察以下等式：
第1个等式：1×4+12=1×2×3×4+1，
第2个等式：2×5+12=2×3×4×5+1，
第3个等式：3×6+12=3×4×5×6+1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)4×7+12=4×5×6×7+1；
(2)nn+3+12=nn+1n+2n+3+1，证明见解析．
【分析】本题考查数字的变化类、整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第4个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）第4个等式是：4×7+12=4×5×6×7+1，
故答案为：4×7+12=4×5×6×7+1；
（2）第n个等式：nn+3+12=nn+1n+2n+3+1．
证明：右边=nn+3n+1n+2+1，
=n2+3nn2+3n+2+1，
=n2+3n2+2n2+3n+1，
=n2+3n+12，
=nn+3+12，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
变式练习
1（23-24七年级下·全国·课后作业）已知M=613x-1,N=x2-713x（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（ ）
A．MND．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，完全平方，掌握完全平方是解题的关键．求出N-M的结果，再判断即可．
【详解】解：∵N-M=x2-713x-613x-1=x2-x+1=x-122+34>0，
∴M