2024-2025学年重庆市铜梁区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年重庆市铜梁区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共42页。试卷主要包含了选择题在每个小题的下面，等内容，欢迎下载使用。
题
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1 ．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3 ．作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成；
4 ．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，
都给出了代号为 A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1 ．下列根式中，是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A ．2 ，3 ，4 B ．1 ，2 ，1 C ．32 , 42 , 52 D ．
3 ．一组数据 2 ，5 ，4 的中位数是( )
A ．2 B ．4 C ．4.5 D ．5
4 ．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
A ．两组对边分别平行 B ．两组对角分别相等
C ．对角线互相平分 D ．一组对边平行，另一组对边相等
5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问 题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示， 在 △ABC 中，上ACB = 90°, AC + AB = 10，BC = 3 ， 求AC 的长， 如果设AC = x ，则可列
方程为( )
A ．x2 + (10 - x )2 = 32 B ．x2 + 32 = (10 - x )2
C ．x2 + 32 = 102 D ．(10 - x )2 + 32 = x2
6 ．已知m = × 则实数m 的范围是( )
A ．0 < m < 1 B ．1 < m < 2 C ．2 < m < 3 D ．3 < m < 4
7 ．如图，已知正方形ABCD 的边长为 3，点 E ，F，G ，H 分别为正方形ABCD 各边上一点， 若AE = DH = CG = BF = 1 ，则 EG 的长为( )
A ． ·、 B ．2 C ． 、/10 D ．、
8 ．关于一次函数y = 2x + 4 ，下列结论正确的是( )
A ．图象与x 轴的交点坐标为A(2, 0)
B ．图象经过一、三、四象限
C ．当x > -1 时，y > 2
D ．若点A(1, y1 ), B (-3, y2 ) 均在该函数图象上，则y1 < y2
9 ．如图，在矩形 ABCD 中，点E 是 CD 的中点，EF 丄 BE 交 BC 于点F ，连接 BF．若
上ABE = a ，则 上CBF 的度数为( )
A ．45° + a B ．45° - a C ． D ．90° - 2a
10 ．已知整式M = a2x2 + a1x + a0 ，其中a1, a0 为自然数，a2 为正整数，a2, a1, a0 互不相等， 且a2 + a1 + a0 = 6 ．下列说法：
。当a2 = 5 时，满足条件的整式M共有 2 个；
@满足条件的整式M 中，有 7 个是二次三项式；
③当x = -1 时，M 的值为y ，则y 的最小值为-4；
其中正确的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）请将每个小题的答案 直接填在答题卡中对应的横线上．
11 ．若 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 .
12 ．甲、乙两名同学在 5 次数学测验中，平均成绩均为 121 分，这两名同学成绩的方差分别
是S = 66, S = 28 ，甲、乙两人的成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．如图，数轴上点B 表示的数为 3，过点B 作BC 丄 OB 于点B ，且CB = 1 ，以原点O 为圆心， OC 为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点 A，则点 A 表示的实数是 ．
14 ．如图，直线y= -2x 与直线y = kx + b (k ≠ 0) 的交点的纵坐标为 2，则关于x 的不等式
-2x > kx + b 的解集为 ．
15 ．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，上BOC = 120°, AB = 4 ，则 AD 的长为 ．
16 ．若关于x 的一次函数y = (m + 2)x + m - 6 的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整 数m 的值之和为 ．
17．如图，在 △ABC 中，AE 平分ÐBAC, D 是BC 的中点，AE 丄 BE, AB = 9, AC = 5 ，则DE 的长度为 ．
18．对于任意一个四位正整数n ，若n 的各位数字都不为 0 且均不相等，那么称这个数为“相 异数” ．将一个“相异数” n 的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新 三位数的和与 3 的商记为F (n) ．例如，“相异数” n = 1234 ，去掉其中任意一位数后得到的四 个新三位数分别为：234 、134 、124 、123，这四个三位数之和为
234 +134 +124 +123 = 615, 615 ÷ 3 = 205 ，所以F(1234) = 205 ．（1）F(1236) 的值
为 ；（2）若“相异数” m 的千位上的数字是 7，百位上的数字是 8，且F(m) 能被 15 整除，则m 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，19 题 8 分，其余每小题 10 分，共 78 分．）解 答时，每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅 助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19 ．计算：
(1) ·、- |
(2) ( + 1)( -1) - ( - 2)2
20 ．某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE ，他 们进行了如下操作：
。测得水平距离BD 的长为 8 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为 17 米；
③牵线放风筝的小明的身高为 1.7 米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降 9 米（BD 的长度不变），则他应该往回收线多少米？
21．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接 一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂 线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得 出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点 A 作对角线BD 的垂线，垂足为点 E．（只保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AE 丄 BD 于点 E，CF 丄 BD 于点 F．求 证：AE = CF 且AE Ⅱ CF ．
证明：
∵四边形ABCD 为平行四边形， : AB = CD ，AB∥CD ．
:。___________． ∵ AE 丄 BD
:②___________．
同理可得， ÐCFD = 90° . : ÐAEB = ÐCFD ，
在 △ABE 和△CDF 中，
ï
íÐABF = ÐCDF
ì ÐAEB = ÐCFD
ïl AB = CD
: △ABE≌△CDF (AAS)
:③_________________． 又∵ AE 丄 BD ，
: 上AEF = 90 ° ,同理可得， 上CFE = 90° .
:④_________________．
: AE Ⅱ CF ．
请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶 点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________．
22．为庆祝中国共产主义青年团成立 103 周年，某校团委在七、八两个年级同学开展了团知 识竞赛，现从两个年级分别随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、 描述、分析对竞赛成绩（成绩得分用 x 表示，数据分成 5 组：0 ≤ x < 60, 60 ≤ x < 70 ，
70 ≤ x < 80 ，80 ≤ x < 90 ，90 ≤ x < 100 ，其中 85 分及以上为优秀）下面给出了部分信息：
①七年级抽取学生成绩的频数分布直方图
②七年级学生在80 ≤ x < 90 这一组的成绩数据：83 ，85 ，85 ，85 ，85 ，86 ，87 ，89
③八年级 20 名学生成绩为：55 ，55 ，63 ，84 ，84 ，84 ，85 ，89 ，86 ，90 ，90 ，95 ，95，
97 ，97 ，98 ，98 ，99 ，100 ，100．
④七、八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的a = ______________ ，b = ______________ ，c = ______________；
(2)你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由．
年级
平均 数
众 数
中位 数
优秀 率
七年 级
87
85
a
b%
八年 级
87
c
90
70%
(3)该校七年级共有 1000 名学生，八年级共有 1200 名学生，全部参加了此次知识竞赛，请 估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？
23．2025 年 6 月 14 日是“文化和自然遗产日” ．今年活动主题为“让文物焕发新活力 绽放新 光彩”，宣传口号是“守护文化遗产 建设文化强国”．某商店为了抓住此次活动的商机，决定 购买一些纪念品进行销售，若购进A 种纪念品 16 件，B 种纪念品 8 件，需要 1760 元；若购 进A 种纪念品 9 件，B 种纪念品 3 件，需要 750 元．
(1)求购进 A 、B 两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A 种纪念品的售价为 60 元，每件B 种纪念品的售价为 180 元．考虑到市场需求， 商店决定购进这两种纪念品共 300 件，要求购进A 种纪念品的数量不多于B 种纪念品的数量 的 7 倍，设购进B 种纪念品m 件，总利润为w 元，请写出总利润w （元）与 m （件）的函 数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
24 ．在矩形ABCD 中，AB = 4, BC = 6 ，点 E 是边CD 的中点．动点M 以每秒 1 个单位的速 度从A 出发，按A → B → C 的顺序在边上运动．设运动时间为x 秒(0 < x < 10) ， △BME 的面 积为y ．
(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式；
(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出y > y¢ 时自变量x 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2 ）
25 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y = 3x + 3 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一直线交x 轴正半轴于C ，且△ABC 面积为 6．
(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；
(2)若M为线段BC 上一点，且 △ABM 的面积等于 △AOB 的面积，若 D 、E 为y 轴上的两个 动点（点D 在点E 的上方），且 DE = 1 ，求点 M 的坐标及MD + DE + AE 的最小值；
(3)在（2）的条件下，点G 为直线AM上一动点，在x 轴上是否存在点H ，使以点 H 、G 、 B 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理 由．
26 ．已知菱形ABCD ．
(1)如图 1，当7DAB = 60° 时，过点B 作BE 丄 AD 于点E ，连接CE ，点F 是线段CE 的中点， 连接BF ，若CD = 4 ，求线段 BE 、BF 的长度；
(2)如图 2，当 7DAB = 60° 时，过点B 作BE 丄 AD 于点E ，连接 CE ，过点D 作DM T DC ， 连接 MC，且 上MCE = 30° ,连接ME ，请探索线段 BE ，DM ，EM 之间的数量关系，并证 明；
(3)如图 3，当 上DAB = 30° 时，连接 AC ，点Q 是对角线 AC 上的一个动点，若 求QB + QC + QD 的最小值．
1 ．B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，将各选项逐个化简，再判断即可．
因为 所以 A 不符合题意；
因为 2 不能化简，是最简二次根式，所以 B 符合题意；
因为 所以 C 不符合题意；
因为 所以 D 不符合题意．
故选：B．
2 ．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方， 则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件，并排除无法构成三角形的选项 【详解】解： A：22 + 32 = 4 + 9 = 13, 42 = 16 ，而 13 ≠ 16 ，不满足条件；
B： 因为1+1 = 2 ，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形；
C： 92 +162 = 81+ 256 = 337 ≠ 625 ，不满足条件；
D： 满足条件； 故选 D
3 ．B
【分析】本题主要考查了中位数的计算， 熟练掌握将数据排序后，根据个数奇偶确定中位数 （奇数个时取中间位置数 ）是解题的关键．先将数据按从小到大（或从大到小）顺序排列， 再根据数据个数的奇偶性确定中位数，若数据个数为奇数，中位数就是中间位置的数 ．
【详解】解： 将数据2 ，5 ，4 按从小到大排列排序后为2 ，4 ，5 ，数据个数3 是奇数，中 间位置是第2 个，
: 中位数是4 ． 故选：B ．
4 ．D
【分析】根据平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可．
【详解】若一个四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，故 A 选项可以 判定；
若一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故 B 选项可以判定；
若一个四边形对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，故 C 选项可以判定；
若一个四边形一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形不一定是平行四边形，可能 是等腰梯形，故 D 选项不能判定．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解题关键．
5 ．B
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设AC= x ，则AB = 10 - x ，根据AC2 + BC2 = AB2 列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键
【详解】解：设 AC= x ，则 AB = 10 - x ，
∵ 上ACB = 90°, BC = 3， : AC2 + BC2 = AB2
: x2 + 32 = (10 - x)2 ， 故选：B
6 ．B
【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，先根据二次根式的运算法则得到
再估算出、 的范围即可求解．
解 即
即1< m < 2 ， 故选：B．
7 ．C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得
上A = 上B = 90° , AF = BG = 2 ，推出△AEF≌△BFG ，求得 上AFE = 上BGF ，再证明
上EFG = 90° ,再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为 3 ，AE = DH = CG = BF = 1 ， : 上A = 上B = 90° ,
: AF = BG = 3 - 1 = 2 ，
:△AEF≌△BFG ， : 上AFE = 上BGF ，
: 上AFE + 上GFB = 上BGF + 上GFB = 90° , : 上EFG = 90° ,
故选：C．
8 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与坐标轴交点求法、图 象经过象限规律及函数增减性是解题的关键．依据一次函数的性质（与坐标轴交点求法、图 象经过象限规律、函数增减性等 ），对每个选项逐一分析判断．
【详解】解：选项 A：求与x 轴交点，令y = 0 ，则 2x + 4 = 0 ， 解得x = -2 ，
: 交点坐标为(-2, 0) ，A 错误．
选项 B：一次函数y = 2x + 4 中，k = 2 > 0 ，b = 4 > 0 ， Q 当k > 0 且b > 0 时，图象过一、二、三象限 ，
: B 错误．
选项 C：当 x = -1 时，y = 2 × (-1) + 4 = 2 ，
又Q 一次函数k = 2 > 0 ，y 随x 增大而增大，当x > -1 时， : y > 2 ，C 正确．
选项D：把A(1, y1 ) 代入得y1 = 2 × 1+ 4 = 6 ，把B(-3, y2 ) 代入得y2 = 2 × (-3) + 4 = -2 ，Q 6 > -2 ， 即y1 > y2 ，
: D 错误． 故选：C ．
9 ．D
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性 质．延长FE ，交BA 的延长线于点G ，根据矩形的性质可得上BAD = 上ADC = 上ABC = 90° ,
ABⅡCD ，可证 △DEF≌△AEG (ASA )，根据全等三角形的性质可得EF= GE ，可知 BE 垂 直平分FG ，根据线段垂直平分线的性质可得 上GBE = 上FBE = a ，据此求解即可．
【详解】解：如图，延长 FE ，交 BA 的延长线于点G ，
∵四边形ABCD 是矩形，
: 上BAD = 上ADC = 上ABC = 90° , ABⅡCD ， : 上EAG = 90° ,
∵ E 为AD 边中点， : DE = AE ，
在 △ADE 和 △GCE 中，
: △DEF≌△AEG (ASA )，
: EF = GE ，
∵ EF 丄 BE ，
: BE 垂直平分FG ， : BF = BG ，
: 上BFE = 上G ，上GBE = 上FBE ， ∵ 上ABE = a ，
: 上GBE = 上FBE = a ，
: 上CBF = 90° - 上ABF = 90° - 2a ， 故选：D．
10 ．B
【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等
式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定a2 ，
a1 ，a0 的取值组合，进而对关于整式 M 的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案．
【详解】解：①∵ a2 + a1 + a0 = 6 ，a2 = 5 ，
: a1 + a0 = 1，
∵a1, a0 为自然数，a2, a1, a0 互不相等，
: a1 = 1 ，a0 = 0 或a1 = 0 ，a0 = 1 ，
:满足条件的整式M共有 2 个．故①正确；
@∵a1, a0 为自然数，a2 为正整数，a2, a1, a0 互不相等，且a2 + a1 + a0 = 6 ．
或 ， ， ， ， ， íï ， í ， íï ，
: a2, a1, a0 都为非零的有 6 组，
:满足条件的整式M 中，有 6 个是二次三项式．故@错误； ③当x = -1 时，y = a2 - a1 + a0 ，
∵ a2 + a1 + a0 = 6 ，
: a1 = 6 - a2 - a0 ，
: y = a2 - (6 - a2 - a0 + a0 ) = 2a2 + 2a0 - 6 ， ∵a2 为正整数，a0 为自然数，
:当a2 = 1 ，a0 = 0 时，y 有最小值，为y = 2 × 1 + 2 × 0 - 6 = -4 ．故③正确．
综上，①和③正确，共 2 个．
故选：B．
11 ．x ≥ 6
【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.
【详解】要使 ·有意义，则需要x-6 ≥ 0 ，解出得到 x ≥ 6 .
【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.
12 ．乙
【分析】本题主要考查方差的意义， 掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越 大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小成为解题的关键．根据方差的意义即可解答．
【详解】解：∵ S = 66, S = 28 ， : S > S ，
:乙的成绩更稳定．
故答案为：乙．
13 ．
【分析】本题主要考查了数轴与实数， 勾股定理，准确识图，熟练掌握相关内容是解题的关 键；
先根据勾股定理求出 进而得出OA = OC ，即可得出答案．
【详解】解：∵OB = 3, BC = 1 ，上ABC = 90° ,
所以点 A 表示的实数是- ·、 ．
故答案为： ．
14 ．x < -1
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关 键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
结合函数图象，写出直线y= -2x 在直线y = kx + b (k ≠ 0) 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵两条直线相交于点(-1, 2) ， :当x < -1时， -2x > kx + b ，
即关于-2x > kx + b 的不等式的解集为x < -1． 故答案为：x < -1．
15 ．4
【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的运算， 熟练掌 握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到上BAD = 90° , OA = OD ，由
上AOD = 上BOC = 120° 得到上 ，则有 BD = 2AB = 8 ，在 Rt△ABD 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：:矩形ABCD ，
: 上 ， ， : OA = OD ，
又: 上AOD = 上BOC = 120° ,
:在Rt△ABD 中，上ADB = 30° , : BD = 2AB = 2 × 4 = 8 ，
: AD = = = 4 ．
故答案为：
16 ．20
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式组，对于一次函数 y = kx + b （k 为常数，k ≠ 0 ），当k >0, b >0, y = kx + b 的图象在一、二、三象限；当
k > 0, b y¢ 时，0 < x < 2.8 或6.0 < x < 10 ．
25 ．(1)C(3, 0) ，直线 BC 的解析式为y = -x + 3
(3)Q 点的坐标为 或
【分析】（1）先求出 A、B 的坐标，然后根据三角形的面积求出 C，求出直线BC 的表达式；
（2）根据 △ABM 的面积等于 △AOB 的面积求出点 M 的坐标，将 向下平移 1 个单 位长度得 ，连接 AM ¢ 交y 轴于点E，再根据两点之间距离公式求解即可；
（3）求出直线AM 的表达式，然后分三种情况：①当BC 为平行四边形的边，四边形BCHG 为平行四边形时；②当BC 为平行四边形的边，四边形BHGC 为平行四边形时；③当BC 为 平行四边形的对角线时，讨论求解即可．
【详解】（1）解：令 y = 3x + 3 中x =0 ，得 y = 3 ，令 y = 0 得x = -1 : B (0, 3) ，OB = 3 ，A (-1, 0)，OA = 1
: AC = 4 ， : OC = 3
: C(3, 0) ，
设直线BC 的解析式为y = kx + b ， 解得
直线BC 的解析式为y = -x + 3 ；
（2）解：: △ABM 的面积等于 △AOB 的面积，
: 6 - × 4 × yM = × 1 × 3 ，解得 yM = ，
( 3 9 ö
: M çè 4 , 4 ,÷ ,
( 3 9 ö ¢ ( 3 5 ö
将Mçè4 , 4 ,÷ 向下平移 1 个单位长度得：M çè4 , 4 ,÷ , 连接AM ¢ 交y 轴于点 E，
:MD + DE + AE 的最小值= AM ¢ + DE = + 1；
4
( 13 ö ( 5 ö ( 19 ö
（3）存在，H 点的坐标为 çè 3 , 0,÷ 或 çè3 , 0,÷ çè - 3 , 0,÷ .
解：: A(-1, 0)，M (çè , ，
设直线AM 的表达式为y = k1x + b1 ，
将点 A、M 的坐标代入一次函数表达式得：
解得：
:直线AM 的表达式为 ．
①当BC 为平行四边形的边，四边形BCHG 为平行四边形时，如图：
: B (0, 3) ，BG Ⅱ CH, BG = CH ， :点 G 的纵坐标是 3，
:点 G 为直线AM上一动点，直线AM 的表达式为： ．
解得： ，
: C (3, 0) ，
②当BC 为平行四边形的边，四边形BHGC 为平行四边形时，如图：过点 G 作GF 丄 x 轴于
F，
∵四边形BHGC 为平行四边形，
: BC = GH, 上HBC = 上CGH, BH = GC ， : △BHC≌△GCH (SAS)，
: S△BHC = S△GCH ，
: GF = OB ， ∵ B (0, 3) ，
: GF = OB = 3 ，
:点 G 的纵坐标是-3 ，
∵点 G 为直线AM上一动点，．
解得 ，
在Rt△BOC 和Rt△GFH 中，
: Rt △BOC≌Rt△GFH (HL) ，
: HF = OC ，
∵C (3, 0)，
: HF = OC = 3 ，
10 19
: OH = 3 + = ，
3 3
③当BC 为平行四边形的对角线时，
∵ B (0, 3) ，BG Ⅱ CH, BG = CH ， :点 G 的纵坐标是 3，
∵点 G 为直线AM上一动点， 解得：
( 4 ö
: G çè 3 , 3,÷ ,
∵C (3, 0) ，
( 13 ö ( 5 ö ( 19 ö
综上，存在，满足条件的点 H 的坐标为çè 3 , 0,÷ 或 çè3 , 0,÷ 或 çè - 3 , 0,÷ .
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的 性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26 ．(1) BE = 2 ，BF =
(2) BE = DM + EM ，见解析
(3)QB + QC + QD 的最小值为6
【分析】（1）根据菱形的性质，含30° 的直角三角形的性质可求出AB = 2AE ，在 Rt△ABE 中，根据勾股定理可求出BE = 2 ，在Rt△CBE 中，根据勾股定理可求出CE = 2 ，然后 根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可；
（2）法 1：（截长法）在 BE 上截取BN = DM ，连接CN ，证明 △CBN≌△CDM ，再证
△CEM≌△CGM 即可；
法 2：（补短法）延长 DM 至点 G，使 DG = BE ，连接 CG ，证明△CBE≌△CDG ，再证
△CEM≌△CGM 即可
（3）过点 C 在直线AC 的上方作上ACK = 30° , 分别过点 D、Q 作DH 丄 CK 于点 H， QG 丄 CK 于点 G ，BH 交AC 于点Q¢ ,连接 BG ，则 ，根据对称性得出QB = QD ，则可求 QB + QC + QD = 2(QG + QD) ，故当Q 与Q¢ 重合时，QG + QB 的值最小，最小值为DH ，根 据菱形的性质，轴对称的性质等可求出上DCK = 45° , 然后根据等腰直角三角形的性质求出 DH ，即可求解．
【详解】（1）解：Q 四边形ABCD 是菱形，
:上AEB = 上CBE ，AB = BC = CD = 2 ．
Q BE 丄 AD ，
:上AEB = 90° ,
在Rt△ABE 中， ÐDAB = 60° , : AB = 2AE,
在Rt△ABE 中，AE2 + BE2 = AB2 ，
在Rt△CBE 中，BE2 + BC2 = CE2 ，
Q 点F 是线段CE 的中点，
（2）解：BE = DM + EM ．
法 1：（截长法）证明：如图 2，在 BE 上截取BN = DM ，连接CN ，
Q 四边形ABCD 是菱形，
: CB = CD, 上BCD = 上DAB = 60° , 在△CBN 和△CDM 中，
:△CBN≌△CDM (SAS)，
:上BCN = 上DCM , CN = CM ， Q 上BCN+ 上DCN = 60° ,
:上DCM + 上DCN = 60° ,即 上MCN = 60°
Q 上MCE = 30° ,
:上NCE = 上MCN- 上MCE = 60° - 30° = 30° ,
:上NCE = 上MCE ，
在 △CEN 和 △CEM 中，
:△CEN≌△CEM (SAS)， :EN = EM ，
Q BE = BN + EN ， :BE = DM + EM ；
法 2：（补短法）证明：如图 2，延长 DM 至点 G，使 DG = BE ，连接 CG ，
Q 四边形ABCD 是菱形，
: CB = CD, 上BCD = 上DAB = 60° , BC ∥ AD ， 又BE 丄 AD ，
:BE 丄 BC ，
又DM 丄DC ，
: 上CBE = 上CDG = 90° ,
又CB = CD ，BE = DG ， : △CBE≌△CDG ，
: EC = GC ，上BCE = 上DCG ， 又上ECM = 30° ,
: 上DCG = 上BCE = 上BCD - 上DCE = 上BCD - (上ECM - 上DCM) = 30° + 上DCM ，
: 上MCG = 上DCG - 上DCM = 30° + 上DCM - 上DCM = 30° ,
: 上ECM = 上GCM ，
又EC = GC ，CM = CM ， : △CEM≌△CGM ，
:EM = GM ，
QDG = DM + MG ，BE = DG ， :BE = DM + EM ；
（3）解：QB + QC + QD 的最小值为6
理由：如图 3，过点 C 在直线AC 的上方作上ACK = 30° ,分别过点 D 、Q 作DH丄 CK 于点 H，QG 丄 CK 于点 G ，BH 交AC 于点Q¢ ,连接 BG ，则 ，
QB、D 关于直线AC 对称， :QB = QD ，
:QB + QC + QD = QC + 2QD = 2 (çè QC + QD = 2(QG + QD) ， 当点Q 与Q¢ 重合时，QG + QB 的值最小，
当点Q 与Q¢ 重合时，QG + QD = Q ¢H +DQ ¢ = DH ．
当点Q 与Q¢ 不重合时，QG + DQ > DG > DH ． Q 四边形ABCD 是菱形，上BCD = 30° ,
又Q 上ACK = 30° ,
:上DCK = 上DCA + 上ACK = 45° , Q 上DHC = 90°, DC = AB = 3 ，
即QG + QD 的最小值是3 ．
:QB + QC + QD 的最小值是6 ．
【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称-最短路径问题、点到直线的距离-垂线段最短， 菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称-最短 路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．