2024-2025学年四川省成都市武侯区七年级下学期6月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年四川省成都市武侯区七年级下学期6月期末数学检测试卷，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的 32 位RISC -V架构微处理器“无极”， 使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有0.65 纳米（1纳米= 10-9 米）
厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了 5900 个晶体管的高密度集 成．将数据0.65 纳米用科学记数法表示为( )
A ．0.65 × 10-9 米 B ．6.5 × 10-10 米 C ．6.5 × 10-8 米 D ．65 × 10-7 米
3 ．下列计算正确的是( )
A ．(xy )4 ÷ (xy )4 = xy3 B ．(3x + y)(3x - y ) = 3x2 - y2
C ．2x2 . x3 = 2x6 D ．(2x - y )2 = 4x2 - 4xy + y2
4 ．直线 a ，b ，c ，d 如图所示，在下列条件中，能使c ∥ d 的是( )
A ．上1= 上2 B ．上3 + 上4 = 180° C ．上4 = 上6 D ．上5 = 上6
5 ．在下面各图中，可以近似地刻画一个篮球运动员投出去的球离地面的高度与时间的关系 的是( )
A．
B．
C．
D．
6．小颖想用三根木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别为11cm 和5cm ，则第三根 木棒的长度可以是( )
A ．5cm B ．10cm C ．16cm D ．20cm
7 ．如图，将直角三角形纸片 ABC 进行折叠，使得点 B 恰好落到纸片边缘 AC 上的点B¢ 处， 折痕为AD ，若 上C = 20° ,则 上B¢DC的度数为( )
A ．45° B ．50° C ．55° D ．60°
8 ．下列说法正确的是( )
A ．“买一张彩票，中奖”是随机事件
B ．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件
C ．小明做了 3 次抛瓶盖的试验，其中有 2 次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是
2
3
D ．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率 是
9 ．如图，在等边 △ABC 中，点 D ，E 分别是BC，AC 边的中点，点 F 是AB 边上一动点， 连接FD，FE ．当FD + FE 取得最小值时， Ð AFE 的度数为( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
10 ．已知 △ABC （ AC > AB ），用尺规作图的方法在 BC 边上确定一点 P，连接 AP ，使得 SΔABP = SΔACP ，则符合要求的作图痕迹是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．计算 ．
12 ．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共 10 只，这些球除颜色外都相同．某 数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重 复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率 是 ．（精确到 0.1）
摸球的次数 n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球次数 m
58
96
116
295
484
598
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.598
13 ．如图，将一个含有30。的三角尺和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，三角尺的30。 角的顶点落在直尺的一边上，若上1 = 10。，则 上2 的度数为 ．
14 ．如图，点 M 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点 M 向三边作垂线，垂足分别为 D， E，F．若 △ABC 的边长为 6，则 EM + DM + MF 的值为 ．
15．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时， 某同学设计了如下运算程序：任意写下 一个四位数（四位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最 小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程……；现小莉写下一个四位 数是1752，按照以上程序进行运算，则第 1 次得到的差为 ，第 100 次得到的差
为 ．
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 55 分）
16 ．计算
(2) (x - y )(x2 + 2xy + y2 ) ．
17 ．（1）先化简，再求值 其中x = -2 ，y = -4 ．
（2）已知：如图，AB ⅡDE ，AB = DE ，BF = CE ．求证：AC Ⅱ DF ．
18．周末，小亮和爸爸相约从家出发去附近的博物馆参观，小亮选择骑自行车前往，先行3min 后，爸爸才开车出发．爸爸行驶一段时间后，停车到商店购买用品，之后以原来1.5 倍的速
度继续前往目的地，结果二人同时到达博物馆，此时小亮共骑行24 min ．小亮和爸爸各自行 进的路程s （单位：m ）与时间 t（单位：min ）之间的关系如图所示，请结合图象解决下
列问题：
(1)分别求小亮骑行的速度和爸爸到商店购买用品之前行驶的速度；
(2)求图中 x 的值；
(3)试问：到达博物馆之前，当 t 为何值时，小亮和爸爸行进的路程相等？
19．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一 般性的问题，这就是特殊化策略．有一个边长为3 的正方形ABCD 和腰足够长的等腰直角三 角形EFG ，其中等腰直角三角形的直角顶点 E 与正方形的中心重合．现将等腰直角三角形 EFG 绕着点E 进行旋转，请采用特殊化策略探究两个图形重叠部分的面积．
(1)先考虑特殊情形，如图（1），当点C ，D 分别在边EF ，EG 上时，求重叠部分的 △CDE 的面积；
(2)再探究一般情形，如图（2 ），当边EF ，EG 分别交边BC ，CD 于点M ，N 时，求重叠 部分的四边形EMCN 的面积．
20．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式 的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘 法公式．
【初步感知】
（1）如图（1），我们可以通过构造该图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 在该公式中，若a2 + b2 = 97 ，ab = 36 (a > 0，b > 0)，求 a + b 的值； 【类比探究】
（2）如图（2），已知线段 m，n，我们可以根据线段 m，n 构造几何图形数形结合进行分析， 用等面积法推理得到公式(m - n)2 = m2 - 2mn + n2 请把你构造的几何图形画在虚线框内，并 结合该几何图形完成公式的推理过程；
【拓展应用】
（3）如图（3），将两块大小不等的等腰直角三角形尺 ABC 和等腰直角三角尺ADE 重叠摆 放，其中 D ，E 分别落在直角边AB，AC 上，若BD = 2 ，S△ABC + S△ADE = 50 ，设 AB = x ，
AD = y ，求xy 的值及图中阴影部分的面积．
21 ．在 △ABC 中，AC=BC ，上ACB = 120。．
(1)如图（1），在边 AB 上取两点 D ，E（点 D 在点 E 的左侧），连接CD ，CE ．当 △CDE 是 等边三角形时，求证：AD = BE ；
(2)在（1）的条件下，在线段BE 上取一点D¢ （点 D¢ 不与 B，E 重合），在直线CD¢ 的右侧作 等边 △CD ¢E ¢ ,连接 BE¢ . 若AD¢ = nBD¢ , S△ABC = 10 ．
i）如图（2），当 n =5 时，求四边形CEBE¢ 的面积；
ⅱ)请用含 n 的代数式直接表示出S△BCE¢ 和S△BD ¢E¢ ,不必写解答过程．
1 ．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别， 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如 果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图 形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查了科学记数法， 将数据0.65 纳米用科学记数法表示，需将其转化为a ×10n 米的形式，其中1 ≤ a < 10 ，n 为负整数，据此进行作答即可．
【详解】解：∵1 纳米= 10-9 米．
: 0.65 纳米= 0.65 × 10-9 米= 6.5 × 10-10 米，
即将数据0.65 纳米用科学记数法表示为6.5 × 10-10 米， 故选：B
3 ．D
【分析】本题主要考查了整式的运算， 熟练掌握运动法则是解题的关键．根据同底数幂乘法 运算法则可以判断 A 选项；用平方差公式可以判断 B 选项；用同底数幂乘法运算法则可以 判断 C 选项；用完全平方公式可以判断 D 选项．
【详解】解：A. (xy )4 ÷ (xy )4 = 1 ，但选项结果为 xy3 ，错误，故 A 不符合题意；
B. (3x + y)(3x -y ) = (3x)2 - y2 = 9x2 - y2 ，但选项结果为3x2 - y2 ，错误，故 B 不符合题意；
C. 2x2 . x3 = 2x2+3 = 2x5 ，但选项结果为 2x6 ，错误，故 C 不符合题意；
D. (2x -y )2 = (2x)2 - 2 . 2x . y + y2 = 4x2 - 4xy + y2 ，与选项一致，正确，故 D 符合题意． 故选：D．
4 ．C
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 上1 = 上2 ，判定 a P b ，不符合题意；
B. 上3 + 上4 = 180° ,判定 a P b ，不符合题意；
C. 上4 = 上6，判定 c ∥ d ，符合题意；
D. 上5 = 上6 ，不能判定任何直线的平行，不符合题意， 故选：C．
5 ．D
【分析】根据篮球的运动轨迹近似是抛物线解答即可．
本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是 随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小 的快慢．
【详解】解：根据题意，篮球的运动轨迹近似是抛物线， 故选：D．
6 ．B
【分析】设第三边长为 x，根据题意，得11- 5＜x＜5 +11 即6＜x＜16 ，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边长为 x，根据题意，得11- 5＜x＜5 +11 即6＜x＜16 ， 故选：B．
7 ．B
【分析】根据上BAC = 90°, 上C = 20° 得到上B = 70° ,根据折叠的性质，得 上AB¢D = 70° ,结 合上AB¢D = 上B ¢DC + 上C ，解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是阶梯的关键． 【详解】解：∵上BAC = 90°, 上C = 20° ,
: 上B = 70° ,
根据折叠的性质，得上AB¢D = 70° , ∵ 上AB¢D = 上B ¢DC + 上C ，
: 上B¢DC = 上AB¢D - 上C = 50° .
故选：B．
8 ．A
【分析】本题考查事件的分类及概率的理解，逐一分析各选项即可得出结果 【详解】解：A、买一张彩票，中奖是随机事件，正确，符合题意；
B、将花生油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件，这是必然事件，不符合题意；
C、小明通过 3 次抛瓶盖试验（2 次盖口向上）得出概率为 ，概率需要通过大量重复试验 才能估计，仅 3 次试验的结果无法准确反映真实概率，且瓶盖的结构可能导致正反面概率不 均等， 不符合题意；
D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的概率均为 ，虽然结果只有两种，但两种结果发生 的概率不一定相等，实际概率与运动员水平等因素相关，不符合题意；
故选：A
9 ．C
【分析】取AB 的中点 H，连接EH ，过点 D 作DI 丄 AB 于点 I，交EH 的延长线于点 G，连 接HD ，证明点 G 是点 D 关于AB 的对称点，当 F 与 H 重合时，FD + FE 取得最小值，此 时上AFE = 上AHE = 60° ,解答即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题 的关键．
【详解】解：如图，取 AB 的中点 H，连接 EH ，过点 D 作DI 丄 AB 于点 I，交 EH 的延长 线于点 G，连接HD ，
∵等边△ABC ，
: AB = BC = CA, 上A = 上B = 上C = 60° ,
点 D ，E 分别是BC，AC 边的中点，AB 的中点 H，
: △AHE,△BHD 都是等边三角形，
: 上AHE = 上GHI = 上B = 上BDH = 60° , DH = BD ，
∵ DI 丄 AB ，
: 上HGI = 上HDI = 上BDI = 30° , HG = HD ， : IG = ID ，
:点 G 是点 D 关于AB 的对称点，
:当 F 与 H 重合时，FD + FE 取得最小值，此时上AFE = 上AHE = 60° , 故选：C．
10 ．A
【分析】根据SΔABP = SΔACP 得BP = CP ，点 P 是BC 得中点，根据作图意义解答即可． 本题考查了中线与三角形的面积，尺规作图，熟练掌握性质和作图是解题的关键．
【详解】解：根据题意，SΔABP = SΔACP ，得 BP = CP ，点 P 是BC 的中点，
的中点，符合题意；
A.
作图是BC 的垂直平分线，点 P 是BC
作图是
B.
BA = BP ,点 P 不是BC 的中点，不符合题意；
作图是AP 是 ÐBAC
C.
的平分线，点 P 不是BC 的中点，不符
合题意；
D.
作图是上PBA = 上PAB ，点 P 不是BC 的中点，不符合题意；
故选：A．
2
11 ．
3
【分析】本题主要考查含乘方的有理数的运算， 根据 和 互为倒数，可以运用简便算法得 到答案；
【详解】解：(çè 3 × çö,÷2 ， = (çè 2 × ç2 × ,
故答案为： ．
12 ．0.6
【分析】本题考查了利用频率估计概率： 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置 左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来 估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实 验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在 0.6 左 右，由此可估计摸到白球的概率为 0.6．
【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在 0.6 左右， 所以摸一次，摸到白球的概率为 0.6．
故答案为：0.6． 13 ．50° ##50 度
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质， 熟练掌握平行线的性质是解题关键．如 图（见解析），过点 B 作BH∥FG ，先根据平行线的性质可得 上CBH = 上1 = 10° ,再根据平 行公理推论可得BH Ⅱ DE ，然后根据平行线的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点 B 作BH∥FG ，
: 上CBH = 上1 = 10° ,
由题意得：上ABC = 90° - 30° = 60° , DE Ⅱ FG ， : BH Ⅱ DE ，上ABH = 上ABC - 上CBH = 50° ,
: 上2 = 上ABH = 50° ,
故答案为：50° .
14 ．3
【分析】本题主要考查勾股定理和等面积法， 等边三角形的性质，解题的关键是用两种不同
的方法表示三角形的面积即可解决问题；
【详解】解：如图所示，过点 A 作AN 丄 BC 于点N ，连接BM , AM , CM ，
又∵△ABC 是等边三角形，
: 上ACN = 30° , 上ANC = 90° , ∵ AC = 6 ，
在Rt △ANC ， AC = 6
: AN = = 3 ，
∵S△ABC = S△ABM + S△MBC + S△AMC
= 3 (EM + DM + FM ) ，
:3(EM + DM + FM ) = 9 ，
即：EM + DM + FM = 3 ．
故答案为：3 ．
15 ． 6264 6174
【分析】本题考查了有理数的新定义， 及有理数的运算．直接根据题意即可求出第 1 次得到 的差，不断运算，可知从第 3 次开始，每次得到的差均为6174 ．
【详解】解：重新排列1752，则最大的数为： 7521 ，最小的数为：1257 ， :第 1 次得到的差为7521-1257 = 6264 ；
重新排列6264 ，则最大的数为：6642 ，最小的数为：2466 ， :第 2 次得到的差为6642 - 2466 = 4176 ；
重新排列4176 ，则最大的数为：7641 ，最小的数为：1467 ，
:第 3 次得到的差为7641-1467 = 6174 ；
重新排列6174 ，则最大的数为：7641 ，最小的数为：1467 ， :第 4 次得到的差为7641-1467 = 6174 ；
……
:第 100 次得到的差为6174 ；
故答案为：6264 ，6174 .
16 ．(1) -1，
(2) x3 + x2y - xy2 - y3 ．
【分析】本题主要考查零次幂， 负指数幂的混合运算和整式乘法运算，解题的关键是注意计 算的正确性；
（1）先算 -1的乘方，去绝对值，零次幂和负指数幂一一计算，最后得到结果即可；
（2）根据整式乘法法则，用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，把积加在一起即 可；
解
= -1- 5 +1+ 4 ，
= -1 ；
（2）解：(x - y )(x2 + 2xy + y2 ) ，
= (x - y )(x2 + 2xy + y2 )，
= x3 + 2x2y + xy2 - x2y - 2xy2 - y3 ， = x3 + x2y - xy2 - y3 ．
证明见解析
【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式、多项式除以单项式、三角形全等的判定与 性质等知识，熟练掌握乘法公式和三角形全等的判定方法是解题关键．
（1）先计算平方差公式与完全平方公式，再计算括号内的加减法，然后计算多项式除以单 项式，最后将x, y 的值代入计算即可得；
（2）先根据平行线的性质可得 上B = 上E ，再证出 △ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性 质可得上ACB = 上DFE ，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】（1）解：原式 = 4x2 - y2 - (4x2 -12xy + 9y2 ) ÷ (-4y)
= (4x2 - y2 - 4x2 +12xy - 9y2 ) ÷ (-4y)
= (-10y2 +12xy) ÷ (-4y)
= -10y2 ÷ (-4y) +12xy ÷ (-4y)
将x = -2 ，y = -4 代入得：原式
（2）证明：∵ AB ⅡDE ，
: 上B = 上E ，
∵ BF = CE ，
: BF + CF = CE + CF ，即 BC = EF ， 在 △ABC 和 △DEF 中，
: △ABC≌△DEF (SAS) ， : 上ACB = 上DFE ，
: AC Ⅱ DF ．
18 ．(1) 300m/min ，800m/min
(2)x 的值为
当 或 时，小亮和爸爸行进的路程相等
【分析】本题考查一次函数的应用，函数图像，掌握时间、速度和路程的关系及一元一次方 程的解法是解题的关键．
（1）分别根据速度= 路程 ÷ 时间计算即可；
（2）求出爸爸到商店购买用品之后行驶的速度，利用时间= 路程 ÷ 速度，根据图象列关于 x
的一元一次方程并求解即可；
（3）爸爸购买用品之前和买物品时，根据路程= 速度× 时间列关于 t 的一元一次方程并求解 即可．
【详解】（1）解：小亮骑行的速度为7200÷ 24 = 300 (m/min ) ，
爸爸到商店购买用品之前行驶的速度为3200 ÷ (7 - 3) = 800 (m/min )．
（2）爸爸到商店购买用品之后行驶的速度为800× 1.5 = 1200 (m/min )， 根据图象，得
解得
:x 的值为 ；
（3）爸爸到商店购买用品之前： 根据题意，得300t = 800 (t - 3) ， 解得 ，
爸爸到商店购买用品之时：
根据题意，得300t = 3200 ， 解得：
:到达博物馆之前，当 或 时，小亮和爸爸行进的路程相等．
19 ．(1)重叠部分的 △CDE 的面积是 ．
(2)重叠部分的四边形EMCN 的面积为 ．
【分析】（1）连接AE 、BE ，由正方形ABCD 的边长为3 ，求出正方形的面积，再由点E 是 正方形 的 中心得 出 DE = CE = BE = AE ， 上DEC = 上CEB = 上AEB = 上 则此时重叠部分的 △CDE 的面积是正方形面积的四分之一；
（2）连接DE 、CE ，由DE = CE ，上DEC = 90° 得出上EDN = 上ECD = 45° , 结合正方形的 性质推出上ECM = 上EDN ，再由上NEM = 90° = 上DEC 推得上DEN = 上CEM ，进而可利用“角 边角”证明 △DEN≌△CEM ，则可得S四边形EMCN = S△NEC + S△CEM = S△NEC + S△DEN = S△DEC ．
【详解】（1）解：如图1，连接 AE 、BE ，
Q 正方形ABCD 的边长为3 ，
:S正方形ABCD = 32 = 9 ，
Q 等腰直角三角形的直角顶点E 与正方形ABCD 的中心重合，点C 、D 分别在边EF 、EG 上，
:DE = CE = BE = AE ，上DEC = 上CEB = 上AEB = 上
:重叠部分的 △CDE 的面积是 ．
（2）解：如图 2 ，连接DE 、CE ，
由 得，S△ 上DEC = 90° , :上EDN = 上ECD = 45° ,
又正方形ABCD 中，上BCD = 90° ,
:上ECM = 90° - 上ECD = 45° = 上EDN ，
Q 等腰直角三角形EFG 中，上NEM = 90° = 上DEC ， :上NEM - 上NEC = 上DEC - 上NEC ，
即上DEN = 上CEM ，
在 △DEN 和 △CEM 中，
ï
ì上EDN =
ïl上DEN =
上ECM
上CEM
,
íDE = CE
:△DEN≌△CEM (ASA)
:S△DEN = S△CEM ，
: S = S + S = S + S = S = 9 四边形EMCN △ △ △ △ △NECCEMNECDEN DEC 4 ，
故重叠部分的四边形EMCN 的面积为 ．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、等边对等角、全等三角形的判定与 性质，解题关键是正确地添加辅助线．
20 ．（1）13；（2）见解析；（3）xy = 48 ，阴影部分的面积为 14
【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用， 平方差公式的运用，算术平方根的求解，等 腰直角三角形的定义，熟练掌握相关性质，准确计算为解题关键．
（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）画出图形表示出 (m - n)2 = m2 - 2mn + n2 即可；
（3）用 x，y 先表示出两个三角形的面积，结合题意利用完全平公式求出xy 的值即可求出 结果，再利用完全平方公式得到x + y 的值，求出最后结果即可．
【详解】解：（1）Qa2 + b2 = 97 ，ab = 36 (a > 0，b > 0)， :(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 97 + 2 × 36 = 169 ，
Qa > 0，b > 0 ，
:a + b = = 13 ；
（2）如图：
:(m - n)2 = m2 - 2mn + n2 ；
（3）设 AB = x ，AD = y ，
Q BD = 2
: AB - AD = BD ，即 x - y = 2 ，
Q△ABC 与△ADE 为等腰直角三角形，
: AD = AE = y，AB = AC = x，上A = 90° ,
QS△ABC + S△ADE = 50 ，
:(x - y )2 = 100 - 2xy
Q x - y = 2 ，
:4 = 100 - 2xy ， :xy = 48 ，
:(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 100 + 2 × 48 = 196 ， Qx > 0，y > 0 ，
:x + y = = 14
21 ．(1)见解析
i）10；ⅱ) S△△
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质， 三角形的面积，分式的运算，掌握在两个等高 三角形中，面积之比等于底边长之比是解题的关键．
（1）由CA = CB 得到上A = 上B ，由 △CDE 是等边三角形得到上CDA = 上CEB ，即可证明
△CAD≌△CBE (AAS) ，从而根据全等三角形的性质即可得证结论；
i）证明 又 得到 从而 S△△ABC = 5 ．连接EE¢ ,证明 △DCD¢≌△ECE ¢ (SAS) ，得到S△ECE ¢ = S△DCD ¢ = 5 ，证明
△CEE ¢≌△BEE ¢ (SAS) ，得到S△BEE ¢ = S△CEE ¢ = 5 ，从而S四边形CEBE ¢ = S△BEE ¢ + S△CEE¢ 即可解答；
ⅱ) 由AD¢ = nBD¢ , 得到 因此DD¢ = AD ¢ - AD = 32( ) AB ，从而
S四边形CEBE ¢ = S△BEE ¢ + S△ 因此S△BCE ¢ = S四边形CEBE ¢ - S△BCE ．由 可得
【详解】（1）证明：: CA = CB ， : 上A = 上B ，
: △CDE 是等边三角形，
: 上CDE = 上CED = 60° ,
:180° - 上CDE = 180° - 上CED ， 即上CDA = 上CEB ，
: △CAD≌△CBE (AAS) ，
: AD = BE ．
（2）解：i）: 上ACB = 120。，
: 上A + 上ABC = 180° - 上ACB = 60° , : CA = CB ，
:∠A = ∠ABC = 30° ,
: 上ACD = 上CDE - 上A = 60° - 30° = 30° ,
上BCE = 上CED - 上ABC = 60° - 30° = 30° ,
: 上A = 上ACD ，上CBE = 上BCE ， : AD = CD ，CE = BE ，
: △CDE 是等边三角形，
: CD = DE = CE ，
: AD¢ = 5BD¢ ,
连接EE¢ ,
∵ △CD¢E ¢ 是等边三角形，
: CD¢ = CE¢ , 上D¢CE ¢ = 60° ,
∵在等边 △CDE 中，上DCE = 60° ,
: 上DCE + 上ECD¢ = 上D¢CE ¢ + 上ECD¢ ,
即上DCD¢ = 上ECE¢ ,
∵ CD = CE ，
: △DCD¢≌△ECE ¢ (SAS) ，
: S△ECE ¢ = S△DCD ¢ = 5 ，
上CEE¢ = 上CDD¢ = 60° ,
∵ 上CEB = 180° - 上CED = 120° ,
: 上E¢EB = 上CEB - 上CEE ¢ = 60° , : 上CEE¢ = 上BEE¢ ,
∵ CE = BE ，EE ¢ = EE ¢ , : △CEE ¢≌△BEE ¢ (SAS) ，
: S△BEE ¢ = S△CEE ¢ = 5 ，
: S四边形CEBE ¢ = S△BEE ¢ + S△CEE ¢ = 5 + 5 = 10 ．
ⅱ) ∵ AD¢ = nBD¢ ,
由 i）可知 △DCD¢≌△ECE ¢≌△EBE ¢ ,
AD ¢ = nBD¢ , 即 ，