2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学八年级下学期期中数学检测试卷

这是一份2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学八年级下学期期中数学检测试卷，共45页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
期中数学试卷
二、选择题
1 ．中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的 图案是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．x2 - 4x + 4 = x (x - 4) + 4 B ．(x + 1)2 = x2 + 2x -1
C ．2x2 - 2 = 2 (x +1)(x -1) D ．x2 -1 = (x -1)2
3 ．若要使分式 的值为0 ，则x 的值应为( )
A ．x = 3 B ．x = -3 C ．x = ±3 D ．x ≠ -3
4 ．已知a > b ，下列不等式成立的是( )
A ．-a > -b B ．2 - a < 2 - b C ．2a < 2b D ．a - b < 0
5．如图，在 △ABC 中，D 为△ABC 内一点，CD 平分 Ð ACB ，BE 丄 CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，上A = 上ABE．若AC = 6 ，BC = 4 ，则 BD 的长为( )
A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5
6 ．如图，函数y1 = x 和 的图象交于M(-1,1) ，N (2, 2) 两点，当y1 < y2 时，x 的取值范围是( )
A ．x < -1 B ．-1< x < 2
C ．x < -1或x > 2 D ．x > 2
7 ．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株 脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200 文， 如果每株椽的运费是4 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试 问7200 文能买多少株橡？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是( )
A ． B ．
C ． D ．
二、填空题
8 ．因式分解：m3 - 25m = ．
9 ．若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＞0，则 m 的取值范围是 ．
10 ．化简 ．
11 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 90° , AB = AC ，BC = 4．点D 在BC 上，且
BD : CD = 1: 3 ，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90° 得到线段AE ，分别连接BE ，DE ， 则 △BDE 的面积为 ．
12 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝4 ，BC ＝5，以点 C 为圆心，适当长为半径画弧， 交 BC 于点 P，交 CD 于点 Q，再分别以点 P ，Q 为圆心，大于PQ 的长为半径画弧，两弧 相交于点 N，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长是 ．
三、解答题
13 ．计算：
(1)解不等式组
(2)因式分解：(a2 + 4)2 -16a2
(3)解方程
(4)解方程
14 ．先化简，再求值 从 0 ，1 ，2 中选出合适的a 的值，代入求值．
15．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点 叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC 向上平移 4 个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1 和△D1E1F1 组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直 线的解析式．
16 ．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，上ABC = 上ADC ．
(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；
(2)点E 为BC 边的中点，连接AE ，过 E 作EF 丄 AE 交边CD 于点F ，连接 AF ，已知 AF = AB + CF ，若 AF 丄 CD ，CF = 3 ，DF = 4 ，求 AE 与CE 的值．
17 ．如图，在 △ABC 中，上ABC=45° , CD 丄 AB ，AE 丄 BC ，
(1)求线段BE 的长；
(2)如图 2，连接DE ，把线段DE 绕点E 逆时针旋转 90°到FE ，连接DF ，取线段DF 的中 点G ，连接 BG ，请判断线段 AC 与BG 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点 P 是线段CD 上一点，把线段PB 绕点B 逆时针旋转 45°得到MB ，连接DM ， 请直接写出线段DM 的最小值．
四、填空题
18 ．已知 x、y 满足 则8x3y - 8x2y2 + 2xy3 = ．
19 ．已知分式方程 无解，则m 的值为
20 ．如图，AC 是。ABCD 的对角线，延长BA 至E ，使 AE = AB ，点 O 是AC 的中点，连接 EO ，EC ．EC 与AD 相交于点F ，若 △CDF 是等边三角形，CD = 2 ，则OE 的长为 ．
21 ．如图，Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上CAB = 60° , BC = 6 ，P 为线段AC 上一动点，连 接BP ，BP 绕点 B 顺时针旋转60° 到BQ，连接 AQ ．设CP = x ，AQ = y ，y 与 x 的函数关 系式是 ．
22 ．在平面直角坐标系中，已知正方形OABC ，其中点 A(-4, 0) ，B(-4, 4) ，C(0, 4) ．给出 如下定义：若点 P 向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后得到P¢ , 点P¢ 在正方形OABC 的内部或边上，则称点 P 为正方形OABC 的“和谐点”，若在直线y = kx + 6 上存在点 Q，使得 点 Q 是正方形OABC 的“和谐点”，则 k 的取值范围是 ．
五、解答题
23．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750 元，每台电 冰箱的进价比每台空调的进价多 400 元，商城用 80000 元购进电冰箱的数量与用64000 元购 进空调的数量相等．
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共 100 台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量 并且不能超过电冰箱数量的 2 倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 24 ．如图，在平面直角坐标系中，A (0, m) ，B (n, 0) ，且 m 、n 满足
. 在y 轴正半轴上取一点D ，在第一象限取一点C ，组成面积为16 的
平行四边形ABCD ．
(1)如图1，求点 D 的坐标；
(2)如图2 ，点F 为AB 中点，连接DF ，过点F 作EF 丄 DF ，垂足为F ，EF 交OB 于点E ， 连接CE 、DE ．求证：CE = DE ．
(3)如图3 ，点 N 在线段BD 上，点G 、H 分别在线段OD 、OB 上，连接GN，过点G 作 GM 丄 GN ，垂足为G ，GM 交NH 的延长线于点M ，且 DG = DN ，BH = BN ，若
M (a, -a ) ，求点 N 的坐标．
25 ．如图，在RtΔABC 中，上ACB = 90°, 上A = 60°, M 为AB 中点，D 为射线AB 上一动点， 在CD 右侧作等边△CDE, 直线DE 与直线CB 交于点F ．
（1）如图 1，当点 D 与点M重合时，求证： CE = BE ；
（2）如图 2，当点 D 在线段AM上（不包括端点A, M ）， CE = BE 是否仍然成立，请说明 理由；
（3）点 D 在射线AB 运动过程中，当 △BEF 为等腰三角形时，请直接写出 Ð ABE 的度数．
1 ．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形， 根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是 正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与 原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】A 、图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不 符合题意；
B 、图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C 、图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
D 、图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ．
2 ．C
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解 题的关键．
根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式．
【详解】解： A、右边为x (x - 4) + 4 ，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形 式，故此选项不符合题意．
B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
C、左边提取公因数 2 得2(x2 -1)，进一步分解为2(x +1)(x -1)，符合因式分解的定义，故 此选项符合题意．
D、左边x2 -1的正确分解应为(x +1)(x -1) ，而右边为(x -1)2 ，分解错误，故此选项不符合
题意．
故选：C．
3 ．A
【分析】本题考查分式值为 0 的条件，熟练掌握分式值为 0，则分子为 0 且分母不为 0 是银 师的关键．
要使分式 的值为 0，需满足分子为 0 且分母不为 0 ．据此求银好戏可．
【详解】解：由题意，得 x2 - 9 = 0，且 x + 3 ≠ 0
解得：x = 3 ，
故选：A．
4 ．B
【分析】本题考查了不等式的基本性质， 易错在不等式的基本性质 3，不等式两边同时乘以 或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质 1 ．不等式两边同时加上或 减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质 2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数， 不等号的方向不变．基本性质 3 ．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改 变．根据性质逐一分析即可．
【详解】解：A ．∵ a > b ， :-a < -b ，故不符合题意；
B ． ∵ a > b ， :-a < -b ，
: 2 - a < 2 - b ，故符合题意；
C ．∵ a > b ，
: 2a > 2b ，故不符合题意；
D ． ∵ a > b ，
: a - b> 0 ，故不符合题意．
故选：B．
5 ．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的 判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键．
根据CD 平分 Ð ACB ，BE 丄 CD ，证出△BDC≌△EDC ，得到 BC = BE ，BD = DE 即可． 【详解】解：QCD 平分 Ð ACB ，
:上BCD = 上ECD ， Q BE 丄 CD ，
:上BDC = 上EDC = 90° , QCD = CD ，
:△BDC≌△EDC (ASA )，
:BC = CE = 4 ，BD = DE ，
又Q 上A = 上ABE ，
: AE = BE ，
Q AC = 6 ，BC = 4 ，
: AE = AC - CE = 2 ，
:BE = AE = 2 ，
故选：AA ．
6 ．B
【分析】此题考查的是两条直线相交问题，由函数y1 = x 和 的图象相交于 M (-1,1) ，N (2, 2) 两点，根据y1 < y2 结合图象的位置关系，即可求出 x 的取值范围．
【详解】解：由图象可知：当 y1 < y2 时 x 的取值范围为：-1< x < 2 ． 故选：B．
7 ．A
【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为x 株，根据“这批椽的价钱为7200 文”、 “每株椽的运费为4 文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设这批椽的数量为x 株，根据题意得， ， 故选 A.
8 ．m (m + 5)(m - 5)
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式 是解题关键．
直接提取公因式m ，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：m3 - 25m = m (m2 - 25)
= m (m + 5)(m - 5) ．
故答案为：m (m + 5)(m - 5)．
9 ．m ＞ -2
解
①+@得 2x+2y=2m+4，
则 x+y=m+2，
根据题意得 m+2＞0， 解得:m ＞ -2．
故答案为: m ＞ -2
10 ．- -x 1## -1- x
【分析】先通分去掉小括号，再按照分式除法的运算法则进行计算．
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算． 【详解】解：原式 = x -1+1 . (1+ x)(1- x)
x -1 x
x (1+ x)(1- x)
= - .
1- x x
= -x -1．
故答案为：- -x 1．
3
11 ．
2
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据旋转得到
△AEB≌△ADC ，然后得到上ACD = 上ABE = 45° , DC = EB = 3 ，利用三角形的面积公式计 算即可．
【详解】解：Q 上BAC = 90° , AB = AC ，
: 上ABC = 上ACB = 45° ,
Q BC = 4 ，BD : CD = 1: 3 ，
: BD = 1 ，CD = 3 ，
Q将线段AD 绕点A 顺时针旋转90° 得到线段AE ， : AE = AD ，上EAD = 90° ,
: 上EAD - 上BAD = 上BAC - 上BAD ，即 上EAB = 上DAC ， 在 △AEB 和 △ADC 中，
ìAB = AC
íï上EAB = 上DAC
ïlAE = AD
: △AEB≌ △ADC (SAS)，
:上ACD = 上ABE = 45° , DC = EB = 3 ，
:上EBD = 上ABE + 上ABC = 90° ,
故答案为： ．
12 ．1
【分析】根据基本作图，得到 EC 是∠BCD 的平分线，由 ABⅡCD，得到 ∠BEC=∠ECD=∠ECB，从而得到 BE=BC，利用线段差计算即可．
【详解】根据基本作图，得到 EC 是∠BCD 的平分线， :∠ECD=∠ECB，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
:ABⅡCD，
:∠BEC=∠ECD，
:∠BEC=∠ECB，
:BE=BC=5，
:AE= BE-AB=5-4=1， 故答案为：1．
【点睛】本题考查了角的平分线的尺规作图， 等腰三角形的判定，平行线的性质，平行四边 形的性质，熟练掌握尺规作图，灵活运用等腰三角形的判定定理是解题的关键．
13 ．(1) -3 < x ≤ 2
(2) (a +2)2 (a - 2)2
(3) x = -5
(4)无解
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，因式分解，熟练掌握解不等式组，解 方程及因式分解的方法是解题的关键．
（1）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x 的值后进行检验即可；
（4）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x 的值后进行检验即可． 解
解不等式 ① 得：x > -3 ，
解不等式 ② 得：x ≤ 2 ，
故原不等式组的解集为-3 < x ≤ 2 ；
（2）解：原式 = (a2 + 4 + 4a )(a2 + 4 - 4a )
= (a + 2)2 (a - 2)2 ；
（3）解：原方程去分母得：1+ x - 2 = -6 ，
解得：x = -5 ，
检验：当x = -5 时，2 (x - 2) ≠ 0 ， 故原方程的解为x = -5 ；
（4）解：原方程去分母得：x -1+ 2(x +1) = 4 ，
整理得：3x +1 = 4 ，
解得：x = 1 ，
检验：当x = 1 时，(x +1)(x -1) = 0 ，
则x =1 是分式方程的增根， 故原方程无解．
14 ． ，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内 的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从 0 ，1，2 中选出使得原分式有意 义的整数代入化简后的式子计算即可．
解
a2 +1- a2 + 2a -1 (a -1)(a +1)
= .
a -1 4a 2a (a -1)(a +1)
= .
a -1 4a
a +1
=
2
当a = 0 ，1 的时候，原分式无意义，
∴ a = 2 ，则原式
15 ．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x
【分析】（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点 A1 、B1 、C1 位置顺次连 接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点 D1 、E1 、F1 位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式． 【详解】解：（1）见下图；
（2）见下图；
（3）△A1B1C1 和△D1E1F1 组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x 和直线y=-x-2．
16 ．(1)见解析
(2) AE 的长是5 ，CE 的长是I29
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1） 由 AB∥CD ，得 上ABC + 上BCD = 180° , 而上ABC = 上ADC ，所以上ADC + 上BCD = 180° , 则AD ⅡBC ，所以四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）延长 AE、DC 交于点 G，由 AB∥CD ，得上BAE = 上G ，而BE = CE，上AEB = 上GEC ， 所以 △ABE≌△GCE ，则 AE = GE，AB = GC ，进而得 AF = GF ，由 CF = 3，DF = 4 ，得
AB = CD = CF + DF = 7 ，所以AF = AB + CF = 10 ，根据勾股定理求出BC = AD = 2 ，所
以 再解直角三角形求解即可．
【详解】（1）解：证明：Q AB Ⅱ CD ， :上ABC + 上BCD = 180° ,
Q 上ABC = 上ADC ，
:上ADC + 上BCD = 180° ,
: ADⅡBC ，
: 四边形ABCD 是平行四边形；
（2）解：延长 AE 、DC 交于点G ，
Q AB Ⅱ CD ，
:上BAE = 上G ，
Q 点E 为BC 边的中点，
:BE = CE ，
在 △ABE 和 △GCE 中，
:△ABE≌ △GCE (AAS)，
: AE = GE ，AB = GC ，
: AB + CF = GC + CF = GF ， Q AF = AB + CF ，
: AF = GF ，
Q CF = 3 ，DF = 4 ，四边形 ABCD 是平行四边形， : AB = CD = CF + DF = 3 + 4 = 7 ，
: AF = AB + CF = 7 + 3 = 10 ，
Q AF 丄 CD ，
:上AFD = 90° ,
Q AE = GE ，ADⅡBC ，
Q AF = GF ，EF 丄 AG ，上AFG = 90° , : AE = FE ，
Q AF = AF = = AE = 10 ，
: AE = 5 ，
:AE 的长是5 ，CE 的长是 ．
17 ．
(2) AC = 2BG ，理由见详解 (3) 2 -
由CD 丄 AB ，可得 根据上ABC=45° ,可得 BD = CD = 2 ，AB = AD + BD = 3 ，又 △ABE 是等腰直角三角形，即得
（2）连接 BF ，证明 △AED≌△BEF（SAS），得 上EAD = 上EBF，AD = BF ，从而
上DBF = 上EBA + 上EBF = 90° , 根据G 为DF 的中点，有DF = 2BG ，证明 △DBF≌△CDA（SAS）， 得DF = AC ，故 AC = 2BG ；
（3）在 BC 上取一点 H，使 DB = BH = 2 ，连接DH，PH ，证明 △DBM≌△HBP ，可得 DM = PH ，当 PH 最小时，DM 最小，此时PH丄 CD ，故DM 的最小值为2 - 2 ．
【详解】（1）解：∵ CD 丄 AB ， : 上ADC = 上BDC = 90° ,
∵ 上ABC=45° ,
: 上DCB = 90° - 上ABC = 90° - 45° = 45° , : BD = CD = 2 ，
: AB = AD + BD = 2 +1 = 3 ， ∵ AE 丄 BC，上ABC = 45° , : △ABE 是等腰直角三角形，
:线段BE 的长为 ；
（2）AC = 2BG ，理由如下：
连接BF ，如图：
:把线段DE 绕点 E 逆时针旋转90° 到FE ， : DE = FE，上DEF = 90° = 上AEB ，
: 上AED = 上BEF ，
: AE = BE ，
: △AED≌△BEF（SAS），
: 上EAD = 上EBF，AD = BF ， : △ABE 是等腰直角三角形， : 上EAD = 45° = 上EBA ，
: 上EBF = 45° ,
: 上DBF = 上EBA + 上EBF = 90° , :G 为DF 的中点，
: DF = 2BG ，
: BD = CD，上DBF = 上CDA = 90°, BF = AD ， : △DBF≌△CDA（SAS），
: DF = AC ， : AC = 2BG ；
（3）在 BC 上取一点 H，使 DB = BH ，连接PH，如图：
∵ 上CDB = 90°, BD = CD = 2 ， :△BCD 是等腰直角三角形，
: BC = = = 2 ，上DBH = 45° , CH = 2 - 2 ∵把线段PB 绕点 B 逆时针旋转45° 得到MB ，
: 上PBM = 45°, PB = MB ， : 上PBM = 上DBH = 45° , : 上DBM = 上HBP ，
: △DBM≌△HBP ， : DM = PH ，
:当PH 最小时，DM 最小，此时PH 丄 CD ，如图：
:△PCH为等腰直角三角形， ,
: DM 的最小值为2 - ．
【点睛】本题考查几何变换综合应用， 涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定 与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
18 ．6
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】解：Q xy = 3 ，2x -y = -1，
8x3y - 8x2y2 + 2xy3
= 2 × 3 × (-1)2
= 6 × 1 = 6 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公 因式，必须先提公因式．
19 ．2 或 7##7 或 2
【分析】先去分母，方程两边同时乘以(x-1)化成整式方程：7-m=(m-2)(x-1)，然后再分整式 方程无解或整式方程有解，但是该解使得分式方程分母为 0 两种情况讨论即可．
【详解】解：方程两边同时乘以(x-1)得到整式方程：7-m=(m-2)(x-1)， 当 m=2 时，上述整式方程无解，此时分式方程必无解；
当 m≠2 时，上述整式方程的解为 ∵分式方程无解，
解得 m=7,
经检验，7 是方程的解， 综上所述，m 的值为 2 或 7．
故答案为：2 或 7
【点睛】本题考查了分式方程的解法及分式方程无解时求参数的值， 本题属于基础题，熟练 掌握分式方程无解的概念是解题的关键．
20 ． /7
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的 性质是解题的关键．由等边三角形的性质可得CD = CF = DF = 2 ，上D = 上DCF = 60° ,由 平行四边形的性质AB = CD = 2 ，AB ⅡCD ，可证△AEF 是等边三角形，可得
AE = EF = AF = 2 = CF ，由勾股定理可求 AO ，OE 的长． 【详解】解：Q△CDF 是等边三角形，
: CD = CF = DF = 2 ，上D = 上DCF = 60° , Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD = 2 ，AB ⅡCD ，
:上EAD = 上D = 60° , 上AEF = 上DCF = 60° , :△AEF 是等边三角形，
: AE = EF = AF ，
Q AE = AB ，
: AE = EF = AF = 2 ，
: AF = EF = CF = 2 ，
:EC = 4 ，上EAC = 90° ,
: AC = = = 2 ， Q 点O 是AC 的中点，
: AO = 、 ，
:EO = = = ，
故答案为： 、 ．
21 ．y = x + 2(0 ≤ x ≤ 2)
【分析】延长 AC 到 M，使 AM = AB ，连接 BM ，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出
AB = 4 ，AC = 2 ，证明 △PBM≌△QBA (SAS)，得出 AQ = MP = AM - AP ， 最后求出y 与 x 的函数关系式即可．
【详解】解：延长 AC 到 M，使 AM = AB ，连接 BM ，如图所示：
∵ Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上CAB = 60° , : 上ABC = 90° - 60° = 30° ,
: AB = 2AC ，
: AC2 + BC2 = AB2 ，BC = 6 ，
: AC2 + 62 = (2AC)2 ，
解得：AC = 2 ，AC = -2 （舍去）， : AB = 4 ，
: AM = AB ，上CAB = 60° , : △ABM 为等边三角形，
: 上ABM = 60° , AB = BM ，
根据旋转可知，BP = BQ ，上PBQ = 60° , :上ABM = 上PBQ ，
:上ABM - 上ABP = 上PBQ - 上ABP ，
即上PBM = 上ABQ ，
: △PBM≌△QBA (SAS)， : AQ = MP = AM - AP ，
: CP = x ，AQ = y ，
: AP = AC - CP = 2 - x ，
: y = 4 - (2 - x) = x + 2 ，
即y = x + 2 ．
故答案为：y = x + 2(0 ≤ x ≤ 2)．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的 性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明
△PBM≌△QBA ．
22 ．k ≥ 4 或k ≤ -
【分析】由在直线y = kx + 6 上存在点Q ，使得点Q 是正方形OABC 的“和谐点”，可知Q¢ 在直 线y = k(x +3) + 8 上，求得直线经过点B 和C 时的k 的值，即可求得k 的取值范围．
【详解】解：直线 y = kx + 6 向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后得到y = k(x +3) + 8 ， 把B(-4, 4) 代入得-k + 8 = 4 ，解得 k = 4 ，
把C(0, 4) 代入得3k + 8 = 4 ，解得 ，
:k ≥ 4 或 ．
故答案为：k ≥ 4 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图 形变化- 平移，能够理解题意是解题的关键．
23 ．(1)每台电冰箱与空调的进价分别是 2000 元和 1600 元．
(2)该商城购进电冰箱 34 台、空调 66 台时利润最大，最大利润是 13300 元． 【分析】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设每台电冰箱的进价是x 元，则每台空调的进价是(x - 400) 元，根据“用 80000 元购进 电冰箱的数量与用 64000 元购进空调的数量相等”可列出分式方程，故可求解；
（2）设购进电冰箱a 台，则购进空调的数量是(100 - a )台，这 100 台家电的销售总利润为y 元，列出不等式组，求得a 的范围，再求得y 关于a 的一次函数，根据一次函数的性质即可 求解．
【详解】（1）解：设每台电冰箱的进价是x 元，则每台空调的进价是(x - 400) 元，
根据题意，得 ， 解得x = 2000 ．
经检验，x = 2000 是原方程的解，且符合题意
x - 400 = 2000 - 400 = 1600 ．
:每台电冰箱与空调的进价分别是 2000 元和 1600 元；
（2）解：设购进电冰箱a 台，则购进空调的数量是(100 - a )台，这 100 台家电的销售总利 润为y 元，
ì 100 - a ≥ a
根据题意，得 íl100 - a ≤ 2a ，
解得 为整数）．
y = (2100 - 2000)a + (1750 -1600)(100 - a) = -50a +15000 ， Q -50 < 0 ，
:y 随a 的增大而减小，
Q ≤ a ≤ 50 （a 为整数），
: 当a = 34 时，y 值最大，y最大 = -50× 34 +15000 = 13300 ， 此时购进空调的数量是100 - 34 = 66 台，
:该商城购进电冰箱 34 台、空调 66 台时利润最大，最大利润是 13300 元．
24 ．(1) (0, 3)
(2)见解析
【分析】（1）根据条件可知m = -1 ，n = 4 ，可求OB = 4 ，OA = 1 ，由面积公式可求AD = 4 ， 即可求解；
（2）过点 A 作AK Ⅱ x 轴交EF 的延长线于点K ，连接DK ，可证 △AFK≌△BFE (AAS )，可 得AK = BE ，FK = FE ，根据平行四边形的性质，可证 △DAK≌△CBE (SAS ) ，根据全等三 角形的性质即可得证；
（3）先证明上GNM = 45° , 再构造全等三角形 △NRG≌△GSM (AAS ) ，根据全等三角形的性 质表示出点N 坐标，代入BD 得直线解析式，即可求出点N 的坐标．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，A (0, m) ，B (n, 0) ，且 m 、n 满足
(m + 1)2 + = 0 ．
= 0
= 0
ìm +1
ln - 4
依题意得： í
,
ìm = -1
ln = 4
解得： í ,
:点A(0, -1)，点B(4, 0) ， : OB = 4 ，OA = 1，
:平行四边形ABCD 的面积为16 ，
: AD× 4 = 16 ， : AD = 4 ，
: OD = 3，
:点D(0, 3)
（2）证明：过点 A 作AK Ⅱ x 轴，交EF 的延长线于点K ，连接DK ，如图 2 ， : 上AKF = 上FEB ，上EFB = 上KFA ，
: F 为AB 的中点，
: AF = BF ，
: △AFK≌△BFE (AAS )，
: AK = BE ，FK = FE ， : DF 丄 EF ，
: DF 是EK 的垂直平分线， : DK = DE ，
在平行四边形ABCD 中，AD = BC ，ADⅡBC ， : 上DAK = 上CBE = 90° ,
: △DAK≌△CBE (SAS ) ， : DK = CE ，
: CE = DE
（3）解：: DG = DN ，BH = BN ，
: 上BHN = 上BNH ，上DGN = 上DNG ，
: 上DOB = 90° ,
: 上ODB + 上OBD = 90° ,
: ÐGNM = 45° , : GM 丄 GN ，
: ÐGMN = 45° , : GM = GN ，
: △GMN 是等腰直角三角形，
过点N 作NR 丄 y 轴于点R ，过点 M作MS 丄 y 轴于点S ，如图 3 ， : ÐNRG = ÐMSG = 90° ,
: ÐNGR + ÐGNR = 90° , : ÐNGM = 90° ,
: ÐNGR + ÐMGS = 90° , : ÐGNR = ÐMGS ，
: MG = NG ，
: △NRG≌△GSM (AAS ) ，
: NR = GS ，RG = SM ， : M (a, -a ) ，
: MS = a ，OS = a ，
设OG = b ，则N(a + b, a + b)，
设BD 的解析式y = kx + b ，代入(4, 0) ，D (0, 3)，得：
í ,
ì4k + b = 0
lb = 3
解得： ，
:直线BD 的解析式为
将N 点坐标代入BD 的解析式，得 解得
( 12 12 ö
: N çè 7 , 7 ,÷ .
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和 判定，等腰直角三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．
25 ．（1）见解析；（2）结论不变，证明见解析；（3）10°或 50°或 70°或 110° 【分析】（1）想办法证明 DF丄BC，CF=BF，可得结论．
（2）结论不变，证明 ME 垂直平分线段 BC 即可．
（3）分四种情况种情形：如图 3-0，当 EF=BF 时，设