2024-2025学年山东省菏泽市定陶区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市定陶区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学期末样题
注意事项：
1 ．本试题满分 120 分，考试时间 120 分钟
2 ．请将答案填写在答题卡上
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项符 合题目要求．
1 ．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面 四副图片分别代表“芒种”“ 白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列计算正确的是( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．关于直线y = kx - k (k ≠ 0) ，下列说法错误的是( )
A ．图象与y 轴交于点(0, -k)
B ．点(-1, y1 ) ，(2, y2 ) 在图象上，当k < 0 时，y1 > y2
C ．图象经过第一、二、四象限
D ．图象经过定点(1, 0)
4 ．已知y 是x 的一次函数，y 与x 之间的部分对应值如表所示，则m 的值为( )
A ．6 B ．-6 C ．2 D ．-2
5 ．如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 边的中点 是坐标原点O ，将正方形绕点C 按逆时针方向旋转90° 后，点B 的对应点B¢ 的坐标是( )
x
…
-1
1
3
…
y
…
-6
m
2
…
A ．(-2, 4) B ．(6, 4) C ．(2,8) D ．(-2, 0)
6．直线y = kx + b 经过点A(-1, m) 和点B(-2,0)，直线y = 2x 经过点A ，则不等式2x > kx + b 的解集为( )
A ．x > -1 B ．x > -2 C ．x < -1 D ．x < -2
7 ．若将直线 向上平移 3 个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是 ( )
A ．y 随x 的增大而减小
B ．不经过第一象限
C ．平移后的直线可看作二元一次方程
D ．与y 轴交于点(0,3)
8 ．已知，矩形ABCD 中，AB = 10 ，AD = 4 ，E 为线段AD 中点，线段FG 在线段AB 上移 动，且FG = 2 ，连接 EF，CG ，则 EF + CG 的最小值为( )
C ．12 D ．
9 ．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 在第一象限，且BC//x 轴，直线y = 2x +1 沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD 截得的线段长为a ，直线在x 轴上平 移的距离为b ，a 、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 ABCD 的面积为( )
A ． B ．2 C ．8 D ．10
10 ．如图所示，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A¢B ¢C ， 点M是BC 的中点，点P 是A¢B¢ 的中点，连接PM ．若BC = 4 ，AC = 6 ，则线段PM 长度 的最小值是( )
A ．2 B ． - 2 C ．2 D ．2 -1
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11 ．已知 ．
12 ．若代数式 有意义，则x 的取值范围是 ．
13 ．已知一次函数y = (m +1)x - m的函数值随x 的增大而减小，那么对应的函数图像不经过 第 象限．
14 ．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 两边与坐标轴重合，OA = 2 ，OC = 1 ．将矩 形ABCO 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90° , 第2025 次旋转结束后，再将所得矩形向下平移 2 个单位．则变换后得到的点B 对应点的坐标为 ．
15 ．甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分钟）变化的图象 （全程）如图所示，①两人到达终点的时间相差 5 分钟；②本次比赛全程 12 千米；③比 赛开始 24 分钟时两人第一次相遇；④第 36 分钟两人第二次相遇．以上结论正确的是 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
16 ．计算：
17 ．如图所示的是边长为 1 的小正方形组成的8 × 8 方格，线段AB 的端点在格点上，建立平 面直角坐标系，使点A，B 的坐标分别为(2,1) 和(-1, 3)．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段AB 关于原点O 成中心对称的线段A1B1 ，并写出点 A1 的坐标；
(3)请直接写出以点A，B，O 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．
计算
（2）解不等式 并写出它的所有非负整数解．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(2, m) 在直线 上，过点A 的直线交y 轴 于点B(0, 3) ．
(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式；
(2)若点P(t, y1 ) 在线段AB 上，点Q(t -1, y2 ) 在直线 上． 求：
① t 的范围；
@ y1 - y2 的最大值．
20 ．如图， ABCD 是一块正方形的土地，在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路， 把这土地分成面积相等的四部分．除了连接正方形的两条对线或两组对边的中点外，你还有 什么方案？请画出图形，并说明理由．
21 ．如图，矩形 OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、C 两点的坐标分别为（a ，0）、（0， b），且
（1）求出点 A 、B 、C 的坐标；
（2）若过点 C 的直线 CD 交矩形 OABC 的边于点 D，且把矩形 OABC 的面积分为 1 ：4 两 部分，求直线 CD 的解析式．
22 ．某商店计划购买A, B 两种教具共 200 个，购进A 教具的数量不超过B 教具数量的 2
倍．已知A 教具的进价为 30 元／个，B 教具的进价为 20 元／个，A 教具售价为 45 元／个， B 教具的售价为 30 元／个．
(1)求最多购进A 教具多少个？
(2)求售完这批教具可以获得的最大利润是多少？
(3)如果A 教具的进价上调m 元(0 < m < 6) ，B 教具的进价不变，但限定A 教具的数量不少于 B 教具的数量，两种教具的售价均不变．该商店将购进的两种教具全部卖出后获得的最大利 润是 2399 元，请求出m 的值．
23 ．一副三角板分别记作 △ABC 和 △DEF ，其中 上ABC = 上DEF = 90° , 上BAC = 45° , 上EDF = 30° , AC = DE ．作BM 丄 AC 于点M ，EN 丄 DF 于点N ，如图 1．
(1)求证：BM = EN ；
(2)在同一平面内，将图 1 中的两个三角形按如图 2 所示的方式放置，点C 与点E 重合记为 C ，点A 与点D 重合，将图 2 中的 △DCF 绕C 按顺时针方向旋转a 后，延长BM 交直线DF 于点P ．
①当a = 30° 时，如图3，求证：四边形 CNPM 为正方形；
@当30° < a < 60° 时，写出线段MP ，DP ， CD 的数量关系，并证明；当60° < a < 120° 时， 直接写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系．
1 ．D
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，分别判断如下：
A：把图形绕着某一个点旋转 180°, 旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不 是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B：把图形绕着某一个点旋转 180°, 旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不 是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C：把图形绕着某一个点旋转 180°, 旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不 是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D：符合中心对称图形的定义，所以该图形是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D ．
2 ．C
【分析】本题考查了二次根式运算、求立方根、算术平方根， 熟练掌握以上知识点是解题的 关键．
根据二次根式运算法则和求立方根、算术平方根的规则进行判断即可．
解 故该选项不符合题意；
B： 故该选项不符合题意；
C： ，同类二次根式可直接合并，故该选项符合题意；
D：( +1)2 = ( )2 + 2 . .1+12 = 2 + 2 +1 = 3 + 2 ，故该选项不符合题意． 故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐一分析各选项的正确性．
【详解】解： A：当x =0 时，y = -k ，故图象与y 轴交于(0, -k) ，正确，故该选项不符合题 意；
B：当k < 0 时，对于函数y = kx - k ，y 随x 的增大而减小，-1 < 2 ，故y1 > y2 ，正确，故该 选项不符合题意；
C. 当k > 0 时，-k < 0 ，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，错误，故该选项符 合题意；
D. 将x =1 代入函数，y = k - k = 0 ，故图象恒过定点(1, 0) ，正确，故该选项不符合题意． 故选：C．
4 ．D
【分析】本题考查待定系数求函数解析式，求函数值．根据一次函数的定义，设解析式为 y = kx + b ，利用已知两组对应值求出 k 和b ，得到该函数解析式，再代入 x =1 计算m ．
【详解】解：设该一次函数解析式为y = kx + b ， :当x = -1 时，y = -6 ；当 x = 3 时，y = 2 ，
解得 ， :该一次函数解析式为y = 2x - 4 ， 当x = 1 时，y = 2 - 4 = -2 ，
: m = -2 ．
故选：D．
5 ．B
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质， 正确的识别图形是解 题的关键．
根据旋转可得：CB ¢ = CB = 4 ，上BCB¢ = 90° ,可得B¢ 的坐标． 【详解】解：如图所示：
由旋转得：CB ¢ = CB = 4 ，上BCB¢ = 90° ,
:四边形ABCD 是正方形，且O 是AB 的中点， : OB = 2 ，
: B ¢ (2 + 4, 4)，即B¢ (6, 4)．
故选：B ．
6 ．A
【分析】本题考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关 键．
根据函数图象找到直线y = kx + b 的函数图象在直线y = 2x 的图象下方时，自变量的取值范 围即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由条件可知点A 是直线y = kx + b 与直线y = 2x 的交点，
:由函数图象可知，当直线y = kx + b 的函数图象在直线y = 2x 的图象下方时， 则x 的取值范围为x > -1 ，
:不等式kx + b < 2x 的解集为x > -1 ． 故选：A ．
7 ．D
【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数的图象及性质．根据一次函数图象的平移 规律得到新直线的解析式，再根据一次函数图象及性质逐一分析各选项是否正确即可．
【详解】解： 向上平移 3 个单位，得到
A：平移后的直线 y 随x 的增大而增大，故本选项描述错误；
B：平移后的直线经过第一、二、三象限，故本选项描述错误；
C：平移后的直线 可整理为 与选项中的 不符，故本选 项的描述错误；
D：对于直线 ，令x =0 ，得y = 3 ，则直线与y 轴交于点(0,3) ，故本选项的描述正 确．
故选：D
8 ．A
【分析】本题考查了轴对称的性质， 平移的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握性质的 解题的关键．作 E 关于AB 的对称点E¢ ,连接 E¢A ，E¢F ，将 CG 向左平移两个单位，使 C 到达C¢ 点，由FG = 2 可知 G 落在 F 点，可知EF + CG 的最小值为E¢C¢ ,根据矩形的性质结 合中点的定义求出C ¢D = 8 ，DE ¢ = 6 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作 E 关于AB 的对称点E¢ , 连接E¢A ，E¢F ，将CG 向左平移两个单位， 使 C 到达C¢ 点，由FG = 2 可知 G 落在 F 点，
: EF + CG = E ¢F + C ¢F ≥ E¢C ¢ ,
:当E¢ 、F 、C ¢ 三点共线时，EF + CG 取得最小值，最小值为E¢C¢ ; :矩形ABCD 中，AB = 10 ，AD = 4 ，E 为线段AD 中点，
: CC¢ = 2 ，
: C¢D = CD - CC ¢ = 10 - 2 = 8 ，DE ¢ = AD + AE ¢ = 4 + 2 = 6 ，
故选：A．
9 ．C
【分析】根据平移的距离b 可以判断出矩形 BC 边的长，根据a 的最大值和平移的距离b 可 以求得矩形 AB 边的长，从而求得面积
【详解】如图：根据平移的距离b 在 4 至 7 的时候线段长度不变，
可知图中BF = 7 - 4 = 3 ,
根据图像的对称性，AE = CF = 1， :BC = BF + FC = 3 +1 = 4
由图（2）知线段最大值为 即
根据勾股定理
:矩形ABCD 的面积为AB× BC = 2 × 4 = 8
故答案为：C
【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分 段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
10 ．B
【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出AB ，然后由三角形三边关系进行计算．
【详解】解：由 上ACB = 90° , BC = 4 ，AC = 6 ，
△ABC 旋转得到△A¢B ¢C ，M 是BC 的中点，P 是A¢B¢ 的中点，
故选：B ．
11 ． ±2
【分析】本题考查了平方根，把 两边同时平方，可得： a2 = 4 ，根据平方根的定义 可知a = ±4 ．
解
: a2 = 22 ，
: a2 = 4 ，
故答案为： ±2 ．
12 ．x ≥ 1且x ≠ 2
【分析】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为 0，要使二次根式有意义，被开方数为非负数，据此列不等式求解即可得答案．
【详解】解： ∵代数式 有意义，
∴ x -1 ≥ 0 且x - 2 ≠ 0 ， 解得：x ≥ 1且x ≠ 2 ．
故答案为：x ≥ 1且x ≠ 2
13 ．三
【分析】根据一次函数y = (m +1)x - m的函数值随x 的增大而减小，得到m +11，从而得到图象分布第二，一，四象限，解答即可．
本题考查了一次函数的性质及其图象分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数y = (m +1)x - m的函数值随x 的增大而减小， 得到m +11 ，
从而得到图象分布第二，一，四象限， 故图象不经过第三象限．
故答案为：三．
14 ．(-1, 0)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律， 旋转和平移的性质，先根据矩 形的性质可知B(2,1) ，再作出旋转后的图形，进而找到B 点的坐标规律即可，掌握知识点的 应用是解题的关键．
【详解】解：∵ OA = 2 ，OC = 1 ， : B (2,1) ，
:将矩形ABCO 绕点O 逆时针旋转，如图，
可知：B1 (-1, 2) ，B2 (-2, -1) ，B3 (1, -2) ，B4 (2,1)，
…
,
则每旋转4 次则回到原位置，
: 2025 - 4 = 506……1 ， 即第2025 次旋转结束时，完成了506 次循环，与B2025 (-1, 2) 的位置 相同 ，
:第2025 次旋转结束后，再将所得矩形向下平移2 个单位，
:变换后得到的点B 对应点的坐标为(-1, 0) ， 故答案为：(-1, 0) ．
15 ．①②③
【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
①. 由图象即可得出答案；③. 先求出线段AB 所在直线的解析式，将y = 6 代入，即可得 出答案；②. 先求出乙的速度，再根据路程= 速度× 时间，即可得出答案；④. 分别求出线 段BC 所在直线的解析式和线段OD 所在直线的解析式，联立方程组即可得出答案．
【详解】解：①. 两人到达终点的时间相差为48 - 43 = 5 （分钟），故本选项符合题意； ③. 设线段AB 所在直线的解析式为y = kx + b ，
将(15, 5) ，(33, 7) 代入，
即 ， 解得： ，
则线段AB 所在直线的解析式为
解得：x = 24 ．
故比赛开始 24 分钟时第一次相遇，故本选项符合题意； ②. 乙的速度为
则本次比赛全程为 （千米），故本选项符合题意；
④. 设线段BC 所在直线的解析式为y = k1x + b1 ，
将(43,12) ，(33, 7) 分别代入， 即
解得：
则线段BC 所在直线的解析式为 ， 设线段OD 所在直线的解析式为y = k2x ，
将(24, 6) 代入，即6 = 24k2 ， 解得：
则线段OD 所在直线的解析式为y = x ， 联立
解得：x = 38 ，
即第 38 分钟两人第二次相遇，故本选项不符合题意． 故选：①②③.
16 ．(1) 2
(2) -37 + 2
【分析】（1）先进行二次根式的乘除法运算，再利用二次根式的性质化简后合并即可；
（2 ）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可；
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 解：原式
= 2 ；
解：原式
= -30 - (7 - 2)
= -30 - 7 + 2
17 ．(1)图见解析
(2)图见解析，A1 (-2, -1)
(3)点D 的坐标为(1, 4) 或(-3, 2) 或(3, -2)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，作图-旋 转变换，熟练掌握各性质是解题的关键．
（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置，建立坐标系即可；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段 A1B1 ；
（3）根据平行四边形的性质即可画出图形即可得出答案．
【详解】（1）解：Q 点A，B 的坐标分别为(2,1) 和(-1, 3)，建立坐标系如下图：
（2）如图所示，线段 A1B1 即为所求，A1 (-2, -1) ；
（3）如图，点 D 的坐标为(1, 4) 或(-3, 2) 或(3, -2) ． 18 ．（1）9
（2）-1 < x ≤ 3，它的非负整数解为0,1, 2,3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解不等式组；
（1）先化简括号里面的，再合并同类二次根式，最后算除法即可；
（2）按解不等式的步骤计算即可．
解
去分母得-32 ≤ -24 - (3x -1) < -20 ， 去括号得-32 ≤ -24 - 3x +1< -20 ， 移项合并同类项得-9 ≤ -3x < 3 ，
系数化 1 得-1< x ≤ 3，
∴它的非负整数解为0,1, 2,3．
19 ．
【分析】（1）待定系数法解答即可；
（2）①根据 A ，B 的横坐标，解答即可．
②用含 t 的代数式表示出y1 - y2 ，根据一次函数的增减性确定最值即可．
本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键．
解：把A(2, m) 代入 得 ．
设直线AB 的函数表达式为y = kx + b ，把 代入，得
解得
:直线AB 的函数表达式为 ．
（2）解：① Q 点P(t, y1 ) 在线段AB 上，
故t 的范围0 ≤ t ≤ 2 ；
@解：Q 点Q(t -1, y2 ) 在直线 上，
:y1 - y2 随 t 的增大而减小，
: 当t = 0 ，y1 - y2 的最大值为 ．
20 ．见解析
【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得到正方形中， 过中心的两条垂直线段把正方形平均分成四份，再根据全等三角形和正方形的性质证明即可； 【详解】解：过正方形的对称中心O ．任意作两条互相垂直的直线 GE ，HF ，分别交BC ， AD 于点 E，G ．交AB ，CD 于点 H，F，则EG 与HF 可作为小路的位置．如图所示，理由 如下：
将四边形OGAH ，OHBE ，OECF ，OFDG 的面积分别记为S1, S2, S3, S4 正方形ABCD 的面积 记为 S．
因为EG 经过正方形ABCD 的对称中心O ．所以四边形GABE 与四边形ECDG 全等． 所以
同理S2 + S3 = S1 + S4 = S ，所以S1 = S3 ，S2 = S4
连接OA, OB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
: OA = OB ，上GAO = 上HBO = 45° , 上AOB = 90° ∵ 上HOG = 90° = 上AOB ，
: 上AOG = 上BOH ．
在 △AOG 和 △BOH 中，
上GAO = 上HBO ，OA = OB ，上AOG = 上BOH ， :△AOG≌△BOH ．
同理△AOH≌△BOE ．
: S1 = S△AOG + S△AOH = S△BOH + S△BOE = S2 ，
: S1 = S2 = S3 = S4 ，
即HF 和GE 把正方形ABCD 分成面积相等的四部分．
【分析】（1）根据平方与算术平方根的和为 0，可得平方与算术平方跟同时为 0，可得 a、b 的值，根据矩形，可得点 A 、B 、C 的坐标；
（2）根据面积的比，可得 D 点的坐标，但要分 S△ODC=3 ，S△CBD=3 这两种情况，根据待定 系数法求解析式，可得答案．
【详解】解：（1）由（a -3）2+=0．
可知（a -3）2+|b -5|=0，
:a=3 b=5，
∵矩形 OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、C 两点的坐标分别为（a ，0）、（0 ，b）， :A（3 ，0）B（3 ，5）C（0 ，5）；
（2）S 矩形 OABC=OA•OC=3×5=15
由题意知 CD 分矩形 OABC 的两部分面积为 3 和 12
①CD 与OA 交于点 D
S△ODC=3 即•OD•OC=3
OD=，
即 D（ ，0）C（0 ，5）
y= -x+5
②CD 与 AB 交于点 D
S△CBD=3
×3×BD=3
BD=2
即 D（3 ，3）
y= -x+5．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，（1）发现平方、根式的非负性，求出 a 、b 的值是 解答此题的关键；（2）先根据面积的比求出 D 点的坐标，再发现需要分情况讨论是解决此 题关键．
22 ．(1)最多购进A 教具 133 个
(2)售完这批教具可以获得的最大利润是 2665 元 (3)2
【分析】(1) 设购进A 教具 x 个，则购进B 教具(200 - x)个，根据题意，得x ≤ 2(200 - x)， 解不等式，求整数解即可．
(2)设售完这批教具可以获得的总利润为 y 元，则y = (45 - 30)x +(30 - 20)(200 - x) ，整 理后，利用一次函数的性质解答即可．
（3）根据题意，分类解答即可．
本题考查了不等式的应用，一次函数性质的应用，熟练掌握解不等式，一次函数的性质是解 题的关键．
【详解】（1）解：设购进 A 教具 x 个，则购进B 教具(200 - x)个，
根据题意，得x ≤ 2(200 - x)， 解得 ，
又Q x 为正整数，
:x 的最大值为 133．
答：最多购进A 教具 133 个．
（2）解：设售完这批教具可以获得的总利润为 y 元，则y = (45 - 30)x +(30 - 20)(200 - x) ， 即y = 5x + 2000 ，
Q 5 > 0 ，:y 随 x 的增大而增大，
: 当x =133 时，y 取得最大值，最大值为5× 133 + 2000 = 2665 （元）． 答：售完这批教具可以获得的最大利润是 2665 元．
（3）解：根据题意，得 x ≥ 200 - x ， 解得x ≥100，
又 且x 为正整数， :100 ≤ x ≤ 133 且 x 为整数．
当0 < m < 5 时，y = (45 - m - 30)x + (30 - 20)(200 - x) ， 即y = (5 - m)x + 2000 ，
Q 5 - m > 0 ，
:y 随 x 的增大而增大，
: 当x =133 时，y 取得最大值， 此时133(5 - m) + 2000 = 2399 ， 解得m = 2 ；
当m = 5 时，y = (45 - 5 - 30)x + (30 - 20)(200 - x) ， 即y = 2000 ，不符合题意，舍去；
当5 < m < 6 时，y = (45 - m - 30)x + (30 - 20)(200 - x) ， 即y = (5 - m)x + 2000 ，
Q 5 - m < 0 ，
:y 随 x 的增大而减小，
: 当x =100 时，y 取得最大值，此时100(5 - m) + 2000 = 2399 ， 解得m = 1.01（不符合题意，舍去）．
:m 的值为 2
23 ．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②当30° < a < 60° 时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为
；当 60° < a < 120° 时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含 30 度角的直角三角形的性质可得结论；
（2）①证明上CND = 90° , 上DCN = 90° - 30° = 60° ,可得 上ACN = 90° ,证明
上PMC = 上BMC = 90° ,可得四边形 PMCN 为矩形，结合BM = EN ，即 BM = CN ，
而BM = CM ，可得CM = CN ，从而可得结论；②如图，当30° < a < 60° 时，连接CP ，证明
△PMC≌△PNC ，可得PM = PN ，结合上D = 30° , 可得 如图，当 60° < a < 120° 时，连接CP ，同理 △PMC≌△PNC ，结合 上CDF = 30° ,可得
【详解】（1）证明：设 AC = DE = a ， : 上ABC = 上DEF = 90° , 上BAC = 45° ,
: 上A = 上C = 45° , : AB = BC ，
: BM 丄 AC ，
1 1
: BM = AM = CM = AC = a ，
2 2 : 上EDF = 30° , EN 丄 DF ，
: BM = EN ；
（2）证明：①: 上D = 30° , CN 丄 DF ， : 上CND = 90° , 上DCN = 90° - 30° = 60° , : a = 上ACD = 30° ,
: 上ACN = 90° , : BM 丄 AC ，
: 上PMC = 上BMC = 90° ,
:四边形PMCN 为矩形，
∵ BM = EN ，即 BM = CN ， 而BM = CM ，
: CM = CN ，
:四边形PMCN 是正方形；
②如图，当30° < a < 60° 时，连接CP ，
由（1）可得：CM = CN ，上PMC = 上PNC = 90° ,
∵ CP = CP ，
: △PMC≌△PNC ， : PM = PN ，
: MP + DP = PN + DP = DN ， ∵ 上D = 30° ,
②如图，当60° < a < 120° 时，连接CP ，
由（1）可得：CM = CN ，上PMC = 上PNC = 90° , ∵ CP = CP ，
: △PMC≌△PNC ， : PM = PN ，
: DN = PN - DP = MP - DP ， : 上CDF = 30° ,
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，直角三角 形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角 函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.