山东省济南市高新区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份山东省济南市高新区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了 下列图形中，与一定相等的是， 下列运算错误的是， 如图所示，．若，，则， 下列说法等内容，欢迎下载使用。
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共4页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题共48分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，与一定相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的定义，平行线的性质．根据对顶角相等，平行线的性质可得答案．
【详解】解：A，与是邻角，不一定相等，不符合题意；
B，与是对顶角，一定相等，符合题意；
C，与是邻补角，不一定相等，不符合题意；
C，两直线不一定平行，则与不一定相等，不符合题意；
故选：B
2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据0.0000004用科学记数法表示为．
故选：A．
3. 下列运算错误的是（ ）
A. b2•b3＝b5B. （a﹣b）（b+a）＝a2﹣b2C. a5+b5＝a10D. （﹣a2b）2＝b2a4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、b2•b3＝b5，运算正确，不合题意；
B、（a﹣b）（b+a）＝a2﹣b2，运算正确，不合题意；
C、a5+b5＝2a5，原式计算错误，符合题意；
D、（﹣a2b）2＝b2a4，运算正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的除法及分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
4. 如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
如图，先求出，然后根据平行线的性质可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
∵
∴
∵，
∴．
故选：B．
5. 掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是（ ）
A. 不可能次正面朝上B. 不可能次正面朝上
C. 必有次正面朝上D. 可能次正面朝上
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握随机事件的概念是解题的关键．随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，由此即可求解．
【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币次，
A、可能次正面朝上，故原选项错误，不符合题意；
B、可能次正面朝上，故原选项错误，不符合题意；
C、可能次正面朝上，故原选项错误，不符合题意；
D、可能次正面朝上，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
6. 如果是个完全平方式，那么n的值是（ ）
A. 11B. C. 11或D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出n的值．
【详解】解：完全平方式，
，
解得：或，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键．
7. 如图所示，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
根据全等三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
8. 下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④因为，，所以．其中正确的是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线的概念、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的概念、平行线的判定与性质判断求解即可．
【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③正确，符合题意；
④因为，，所以，故④正确，符合题意．
故选：A．
9. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵点D是边的中点，的面积等于8，
∴，
∵E是的中点，
∴，
故选：A．
10. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为2的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，关键是由正方形，矩形的面积公式来解决问题．
根据大正方形的空白部分的面积矩形的面积，由此即可得到答案．
【详解】解：图1大正方形的空白部分的面积，图2矩形的面积，
．
故选：C．
11. 已知，，若，则的值为（ ）
A. 4B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算．逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【详解】解：∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：D．
12. 2024年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安．长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个“中”字图案．他以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（ ）
A. B. C. 7D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18可得，
，，
即①，②，
由①得，③，
得，
所以，
即长方形的面积为，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题共102分）
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13. 已知，则_________．
【答案】16
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】∵
∴．
故答案为：16．
14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
15. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①；
②；
③；
④
能判定的有①④
故答案为：①④．
16. 如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算：由全等得到，再由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
17. 如图，把长方形沿按图那样折叠后，点A，B分别落在G，H点处，若，则的度数是________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质．
根据平角和折叠性质求出，然后由平行线性质得到，，然后由折叠性质和角的和差求解即可．
【详解】∵
∴
由折叠得，
∵
∴，
由折叠得，
∴．
故答案为：．
18. 如图,AB//CD,点G在直线AB上, 点H在直线CD上,点K在AB、CD之间且在G、H所在直线的左侧, 若 ∠GKH=60°,点P为线段KH上一点(不和K、H重合)，连接PG并延长到M, 设∠KHC=n∠KGP，要使得为定值，则n=_____
【答案】3
【解析】
【分析】延长MP交CD于点O，设∠KGP=x，则∠KHC=nx，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠GPH=60°+x，∠AGM=∠COM=120°+（n-1）x，由 为定值可得n的值.
详解】解：延长MP交CD于点O，
设∠KGP=x，则∠KHC=nx，
∵∠GKH=60°，
∴∠GPH=60°+x，
∠OPH=180°-（60°+x）=120°-x，
∵AB∥CD，
∴∠AGM=∠COM=∠OPH+∠KHC=120°-x+ nx=120°+（n-1）x，
∴=
∵n-1=2时， 为定值，即==2，
∴n-1=2，解得：n=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角性质， 正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题:（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减．
此题考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
【详解】解：
．
20. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】先根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行化简，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键．
21. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键．
根据多项式除以单项式可直接进行求解．
【详解】解：
．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．先根据完全平方公式及平方差公式进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
；
当，时，原式．
23. 推理填空：
如图，，，点E在线段上，点F在射线上，若，则平分，请说明理由．
解：理由如下：
∵，
∴．（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴ ，（ ）
∴．（等量代换）
又∵，
∴．
∵，
∴ ，（两直线平行，同位角相等）
∴ ．（等量代换）
∴平分．
【答案】；两直线平行，同位角相等；；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．根据平行线的性质证明出即可得证．
【详解】解：理由如下：
∵，
∴．（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴，（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
又∵，
∴．
∵，
∴，（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
∴平分．
24. 如图在中，，，平分，于点E，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，
又∵平分，
∴．
∴，
又∵
∴·
∴．
25. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，

（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）30°．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴AD∥EF；
（2）∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC=∠1=30°，
∵AB∥DG，
∴∠B=∠GDC=30°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键．
26. 口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2，3，4，5和6，口袋外面有2张卡片，分别写有4和6，现随机从口袋中取出一张卡片，与口袋外面的两张卡片放在一起，以卡片上的数分别作为三条线段的长，回答下列问题：
（1）写出三条线段长的所有可能结果；
（2）求这三条线段能组成三角形的概率；
（3）求这三条线段能组成等腰三角形的概率
【答案】（1）有5种：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）从袋中任取出一张卡片，与袋外两张卡片放在一起，分别作为三条线段的长度，共有5种情况：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6）；
（2）5种结果中，只有（2，4，6）不能组成三角形，其余4种结果能组成三角形，所以；
（3）5种结果中，能组成等腰三角形的有（4，4，6）和（6，4，6）共2种结果，所以．
【小问1详解】
解：三条线段长的所有可能结果有5种：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6）；
小问2详解】
∵所有等可能的结果有5种，只有（2，4，6）不能组成三角形，能组成三角形的有4种，
∴；
【小问3详解】
∵所有等可能的结果有5种，能组成等腰三角形的有（4，4，6）和（6，4，6）共2种，
∴．
【点睛】本题主要考查了概率，三角形，及等腰三角形，熟练掌握概率定义及求法，三角形三边关系，等腰三角形的定义，是解答此题的关键．
27. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．

（1）用含有、的代数式表示绿化的总面积；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，求完成此项绿化任务所需的费用．（用含、的代数式表示）
【答案】（1）平方米
（2）元
【解析】
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案；
（2）先求出该队需要多少小时绿化完，再乘以每小时的费用即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
平方米，
答：绿化的面积是平方米；
【小问2详解】
解：根据题意得
元，
答：完成此项绿化任务所需的费用为元．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则解题关键．
28. （1）填空：
；
；
．
（2）猜想：
．（其中n为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①
②
【答案】（1），，；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）按照多项式乘多项式即可完成；
（2）根据（1）中的结果，可以猜想得到结论；
（3）根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果．
【详解】（1）；
；
；
故答案分别为：，，；
（2）由（1）的规律可得：原式，
故答案为：；
（3）①
；
②∵
即
．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算，它是一类特殊的多项式的乘法，其结果为两项式；以及这类特殊多项式的应用，关键是特殊到一般得出一般性的结论，对学生的观察及归纳能力提出了较高的要求．
29. 【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若满足，则的值为 ．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
（1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）设，，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）设，，
，
，
，
，
，
的值为2.5；
（3）正方形的边长为，，，
，，
设，，
，
长方形的面积是24，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
30. 如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合．
（1）对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数．
（2）对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示．
①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；
②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值．
【答案】（1）30° （2）①定值，45°；②t＝6，15，24秒
【解析】
【分析】对于（1），根据“两直线平行内错角相等”得∠CED=90°，再根据∠FAC＝∠CED－∠FAD得出答案；
对于（2）①，先作直线HLMN，得HLPQ，根据平行线得性质得∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，再根据∠BGF＝∠HGF＋∠BGH，推导得出答案；
对于②，共分三种情况：DEBC，DEAB，DEAC，再结合速度和角度之间关系求出答案.
【小问1详解】
∵DEBC
∴∠CED＝∠BCA＝90°
∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30°
【小问2详解】
①是，45°.理由如下：
过点G作直线HLMN，则HLPQ．
∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC
∴∠BGF－∠EFN＝∠ABC＝45°
②共分三种情况：
情况1：DEBC时，5t＝30，t＝6；
情况2：DEAB时，5t＝75，t＝15；
情况3：DEAC时，5t＝120，t＝24.
∴综上，t＝6，15，24秒．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．解答本题时注意：分情况讨论．