2024-2025学年甘肃省兰州市某校八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市某校八年级下学期期末考试数学检测试卷，共35页。
八年级数学期末考试试卷
考试时间：120 分钟 总分：120 分
一．选择题（本大题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 ．随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见 人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
2 ．计算 的结果正确的是 ( )
A ．1 B ．-1 C ． D ．
3 ．下列是因式分解的是( )
A ．-2a2 + 4a = -2a (a - 2) B ．(x - y )2 = x2 - 2xy + y2
C ．2x2 + 3x3 + x = x (2x + 3x2 ) D ．m2 + 2m + 3 = m (m + 2) + 3
4 ．下列命题是真命题的是( )
A ．有一个角是60° 的三角形是等边三角形
B ．若a2 > b2 ，则 a > b
C ．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D ．用反证法证明：“已知△ABC ，AB = AC ，求证：上B < 90° . ”第一步应先假设上B > 90°
5 ．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是( )
A ．x < 1或x > -3 B ．-3 < x < 1 C ．-3 < x ≤ 1 D ．-3 ≤ x < 1
6 ．若关于x 的一元二次方程x2 - 5x + m = 0 有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( )
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
7 ．“读万卷书，行万里路．”走同样的路，每个人的感受却不尽相同．春日实践将学校传统 课堂延伸至户外的广阔天地，莘莘学子在感知历史、拥抱自然的过程中， 成长为有情怀、有
担当的社会主义建设者和接班人!某校举办了“寻迹古滇，趣动四月”主题研学活动．宣纸轻 覆雕版刻章，拓印千年古滇文明印记．小南以正八边形为边框，拓印了如图所示的作品，则 此正八边形作品一个外角的大小为( )
A ．135° B ．75° C ．45° D ．105°
8 ．如图，在矩形 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点 O，点 E 、F 分别是 AO、AD 的中点， 连接EF ，若 AB = 3 ，BC = 4 ，则 EF 的长是( )
A ．5 B ． C ． D ．3
9 ．如图，将Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转90° ,得到△A¢B ¢C ，连接 AA¢ ,若
上1 = 20° ,则 ÐB 的度数是( )
A ．70° B ．65° C ．60° D ．55°
10．某科技公司研发的物流无人机参与抗洪救灾物资运输．已知无人机运送一批物资到受灾 村庄，若比原计划搭载传统运输车的速度提高 25%，可提前 2 小时到达．若两地相距 150 公里，设传统运输车原计划的行驶速度是 x 千米/小时，则可列方程为( )
B ． =
11 ．如图，直线 和y = kx + 3 分别与 x 轴交于点 A(-3, 0)，点 B(2, 0) ，则不等式 组 的解集为 ( ).
A ．x > 2 B ．x < -3 C ．x < -3 或x > 2 D ．-3 < x < 2
二．填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分）
12 ．若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是 ．
13 ．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 平移后得到了线段CD ，点 A 、B 的对应点分 别是点 C、D，已知点 A(-6, 0) ，B (-4,3) ，D (3,1)，则点 C 的坐标为 ．
14 ．已知x1，x2 是一元二次方程x2 - 2x - 5 = 0 的两个实数根，则x1 + x2 + x1x2 = ．
15．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° , 以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC ，BA 于点 D ，E，再分别以点 D ，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在Ð ABC 的内部
相交于点 P，作射线 BP 交AC 于点 F．已知CF = 3 ，AF = 5 ，则 BC 的长为 ．
三．解答题（共 11 小题，满分 75 分）
16 ．用配方法解方程：x2 一6x+4 ＝0． ...
17 ．解方程
18 ．解不等式组
19．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，点 E 在CA 延长线上，EP 丄 BC ，垂足为 P ，EP 交AB 于点 F．求证： △AEF 是等腰三角形．
20 ．如图，在□ABCD 中，点 O 是对角线AC、BD 的交点，EF 过点 O 且垂直于 AD．
(1)求证：OE ＝OF；
(2)若 S。ABCD ＝63 ，OE ＝3.5，求 AD 的长．
21 ．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小明的思考过程是：
小明的作法如下：
请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，依作法在图 1 中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：:直线EF 是AC 的垂直平分线，
已知：如图，在Rt△ABC 中，上ABC = 90° .
求作：矩形ABCD ．
（1）由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
矩形判定 1：对角线相等的平行四边形是矩形；
矩形判定 2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）条件给出了上ABC = 90° , 可以选矩形的定义或者矩形判定 2；经过思考，小明选择 了“矩形定义”．
（3）小明决定通过作线段 AC 的垂直平分线，作出线段AC 的中点 O，再倍长线段 BO ， 从而确定点 D 的位置．
作法：（1）分别以点 A ，C 为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点 E， F；
（2）作直线 EF ，直线 EF 交AC 于点 O；
（3）作射线 BO ，在 BO 上截取OD ，使得OD = OB ；
（4）连接 AD ，CD ．
: 四边形ABCD 就是所求作的矩形．
: AO = OC ， ∵ BO = DO ，
:四边形ABCD 是平行四边形( ① )（填推理的依据）． ∵ 上ABC = 90° ,
:四边形ABCD 是矩形( ② )（填推理的依据）．
(3)参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图 2 中完成． （温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
22 ．电影《哪吒之魔童闹海》热映后， 哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家 3 月 4 日销售玩偶共 200 个，5 日、6 日销售量持续增长，6 日销量达到 338 个．
(1)求 3 月 5 日、6 日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒 2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动 ．已知玩偶每个成本 30 元，售价 为每个 50 元时，日销量可达 320 个；每降价 1 元，日销量可增加 5 个．当每个玩偶降价多 少元时，当日总利润可达到 5940 元？
23 ．如图，在四边形ABCD 中 ，AD Ⅱ BC，BC = DC ，CA 平分上BCD ，过点 A 作 AE 丄 CB ， 交CB 延长线于点 E ．四边形ABCD 对角线AC，BD 交于点 O，连接 EO ．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若OE = 1, 上BCD = 60° ,求 △AEC 的面积．
24 ．小明从一张边长为acm 的正方形纸板上减掉一个边长为bcm的正方形（如图 1），然后 将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图 2）．
(1)上述过程揭示的因式分解的等式是______；
(2)若9x2 -16y2 = 30 ，3x + 4y = 6 ，求4y - 3x 的值；
(3)利用因式分解计算
25 ．已知正方形ABCD 和正方形CEFG ．
(1)如图 1，当正方形CEFG 在正方形ABCD 在外部时，连接BG ，DE ．求证：△BCG ≌△DCE ；
(2)如图 2，将（1）中正方形CEFG 绕点 C 旋转，使点 G 落在DE 上．
①若 求线段BG 的长；
@如图 3，连接 AC ，若点 O 是AC 的中点，连接OG ．判断线段OG 与AB 的数量关系并 说明理由．
26 ．如果两个分式 M 与 N 的和为常数 k，且 k 为正整数，则称 M 与 N 互为“和整分式”，常 数 k 称为“和整值” ．例：分式 ， ，M + N = 1 ，则 M 与 N 互为“和整分式”， “和整值”k = 1．
(1)已知分式 ，，判断 A 与 B 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由； 若是，请求出“和整值”k．
(2)已知分式 ， ，C 与 D 互为“和整分式”，且“和整值”k = 4 ． ①求 G；
@若 x 为正整数，分式 D 的值也为正整数，则 x 值为________．
1 ．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义， 熟练掌握相关概念是解题关键．中心对称图 形的定义是：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180 度，旋转后的图形能和原图 形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可 求解．
【详解】解：A、选项 A 的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项 B 的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意；
C、选项 C 的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项 D 的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意． 故选：B．
2 ．B
【分析】本题主要考查了异分母分式加法， 先把异分母分式加法化成同分母加法，然后求 解即可．
解 故选：B
3 ．A
【分析】本题考查因式分解，根据把一个多项式写成几个整式乘积是因式分解解答即可． 【详解】解：A. -2a2 + 4a = -2a (a - 2) ，是因式分解；
B. (x -y )2 = x2 - 2xy + y2 ，是整式的乘法，不是因式分解；
C. 2x2 + 3x3 + x = x (2x + 3x2 +1)，原式不是因式分解；
D. m2 + 2m + 3 = m (m + 2) + 3 ，不是因式分解；
故选：A．
4 ．C
【分析】本题主要考查了判断命题真假， 等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的 假设，根据等边三角形的判定定理可判断 A；根据a = -3，b = 0 时，满足a2 > b2 ，但不满足 a > b 可判断 B；根据角平分线的性质可判断 C；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设
上B ≥ 90° ,据此可判断 D．
【详解】解：A、有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题
意；
B、由a2 > b2 ，不能得到a > b ，例如a = -3，b = 0 时，满足a2 > b2 ，但不满足a > b ，原命题 是假命题，不符合题意；
C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意；
D、用反证法证明：“已知△ABC ，AB = AC ，求证：上B < 90° . ”第一步应先假设
上B ≥ 90° ,原命题是假命题，不符合题意； 故选：C．
5 ．C
【分析】根据数轴的不等号的方向,界点值的虚实,写出解集即可．
【详解】∵,
:不等式的解集为-3 < x ≤ 1, 故选 C．
【点睛】本题考查了解集的数轴表示,熟练掌握根据数轴表示写解集是解题的关键．
6 ．A
【分析】本题主要考查了根的判别式， 解题的关键是牢记“当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的 实数根” ．根据方程的系数结合根的判别式 Δ > 0 ，可得出关于k 的一元一次不等式，解之即 可得出k 的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程x2 - 5x + m = 0 有两个不相等的实数根，
: Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4m > 0 ， 解得： 故 A 符合题意． 故选：A．
7 ．C
【分析】本题考查了正多边形的外角问题，熟练掌握多边形的外角和为 360°360°是解题的关 键．根据多边形的外角和定理解答即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和是360° :正八边形的每一个外角是360° ÷ 8 = 45° .
故选：C．
8 ．C
【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出BD = 5 ，从而求出 再根据三角 形中位线的性质即可求出
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
: AC = BD = 2OD ，上BAD = 90° , AD = BC = 4 ，
∵点 E、F 分别是AO、AD 的中点， : EF 为△AOD 的中位线，
故选 C．
【点睛】本题考查矩形的性质， 三角形中位线的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解 题关键．
9 ．B
【分析】此题考查旋转的性质， 等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋 转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得AC = A¢C ，则 △ACA¢ 是等腰直角三角形，得 出上CAA¢ = 45° ,再由旋转性质和三角形的外角性质可知上B = 上A¢B ¢C = 65° .
【详解】解：∵ Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90° , : AC = A¢C ，
: △ACA¢ 是等腰直角三角形， : 上CAA¢ = 45° ,
: 上A¢B ¢C = 上1+ 上CAA¢ = 20° + 45° = 65° , 由旋转性质可知：上B = 上A¢B ¢C = 65° ,
故选：B．
10 ．C
【解析】略
11 ．B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与 x 轴 的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集．根据图象求解即可．
解：解：∵直线 和y = kx + 3 分别与 x 轴交于点 A(-3, 0)，点 B(2, 0) ， 的解集为x < -3 ，
故选 B．
12 ．x ≠ 1
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解 题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义，
: x -1≠ 0 ，解得：x ≠ 1．
故答案为：x ≠ 1．
13 ．(1, -2)
【分析】本题考查了平移的性质， 根据对应点得出平移方式是解题关键．由B 、D 连点坐标 可知，线段AB 的平移方式为先向右平移 7 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，据此即 可得到点 C 的坐标．
【详解】解：由B(-4, 3) ，D (3,1) 可知，线段AB 的平移方式为先向右平移 7 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度，
QA(-6, 0) ，
:对应点C 的坐标为(-6 +7, 0 - 2) 即(1, -2)， 故答案为：(1, -2)．
14 ．-3
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得到x1 + x2 = 2 ，x1x2 = -5 即可解答．
【详解】解：∵ x1，x 2 是一元二次方程 x2 - 2x - 5 = 0 的两个实数根，
: x1 + x2 = 2 ，x1x2 = -5 ，
: x1 + x2 + x1x2 = 2 + (-5) = -3 ， 故答案为-3 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元 二次方程的根与系数关系是解题的关键．
15 ．6
【分析】本题考查了作图- 基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等 三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF 平分 Ð ABC ，过 F 作FG 丄 AB 于 G， 再利用角平分线的性质得到GF = CF = 3 ，根据勾股定理求出
证明Rt△CBF≌Rt△GBF ，得出BG = BC ，设 BG = BC = x ，则 AB = 4 + x ，AC = AF + CF = 5 + 3 = 8 ，根据勾股定理得出
82 + x2 = (4 + x )2 ，求解即可．
【详解】解：过 F 作FG 丄 AB 于 G，
由作图得：BF 平分 Ð ABC ，FG 丄 AB ，上C = 90° ,
: GF = CF = 3 ，
在Rt△AFG 中根据勾股定理得 Q FG = CF ，BF = BF ，
:Rt△CBF≌Rt△GBF (HL)，
:BG = BC ，
设BG = BC = x ，则 AB = 4 + x ，AC = AF + CF = 5 + 3 = 8 ， 在Rt△ABC 中，根据勾股定理得：
AC2 + BC2 = AB2 ，
即：82 + x2 = (4 + x )2 ，
解得：x = 6 ， :BC = 6 ，
故答案为：6 ．
16．x1 ＝3 + ，x2 ＝3 -、
【详解】
解：移项得 x2﹣6x =﹣ 4，
配方得 x2﹣6x+9 =﹣ 4+9，即（x﹣3）2 ＝5，
开方得 x﹣3 = ± 、 ，
∴x1 ＝3 + · , x2 ＝3 -、 ．
17 ．x = 4 .
【分析】方程先两边同时乘以(x + 2)(x -1) ，去分母化为整式方程，解得x =4 ，再检验即可 解答.
解
方程两边同时乘以(x +2)(x -1) ，得 2(x -1) + (x + 2)(x -1) = x(x + 2) ，
∴ x = 4 ，
将检验x = 4 是方程的解；
∴方程的解为x = 4 .
【点睛】本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同 大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解 ， 由①得x > -2 ，
由②得x ≤ ,
∴原不等式组的解集是-2 < x ≤ .
19 ．见详解
【分析】根据 AB = AC 得上B = 上C ，再根据垂直定义得 上EPB = 上EPC = 90° ,进而根据直角 三角形的两个锐角互余得上B + 上1 = 90° , 上C + 上E = 90° ,由此得 上1= 上E = 上2 ，则
AF = AE ，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练 掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键．
【详解】解： Q AB = AC ，
:上B = 上C ，
QEP 丄 BC ，
:上EPB = 上EPC = 90° ,
:△FPB 和△EPC 是直角三角形， :上B + 上1 = 90° , 上C + 上E = 90° , 又有上B = 上C ，
:上1= 上E ， “ 上1= 上2 ，
:上E = 上2 ，
:AF = AE ，
:△AEF 是等腰三角形．
20 ．(1)证明见解析 (2)9
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到 AO=CO，ADⅡBC，则匕OAE=匕OCF， 匕OEA=匕OFC，即可证明△AOE≥△COF 得到 OE=OF；
（2）由（1）得 OE=OF=3.5，得到 EF=7，再由 ADⅡBC，EF丄AD，得到 EF 的长即为平行 四边形 ABCD 中 AD 边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解．
【详解】（1）解：“四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 与 BD 的交点， :AO=CO，ADⅡBC，
:匕OAE=匕OCF，匕OEA=匕OFC， :△AOE≥△COF（AAS），
:OE=OF；
（2）解：由（1）得 OE=OF=3.5，
:EF=7，
:ADⅡBC，EF丄AD，
:EF 的长即为平行四边形 ABCD 中 AD 边上的高， :四边形 ABCD 的面积为 63，
: AD . EF=63 ， :AD=9．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质， 全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解 题的关键．
21 ．(1)见解析
(2)①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(3)见解析（方法不唯一）
【分析】（1）根据小明同学设计的尺规作图过程作图即可；
（2）根据平行四边形、矩形的判定定理，结合所给证明过程，即可写出依据；
（3）利用直尺和圆规作CD = AB ，AD = BC ，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边 形可知四边形ABCD 是平行四边形，结合上ABC = 90° 可知四边形ABCD 是矩形．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：补充后的证明过程如下：
证明：:直线EF 是AC 的垂直平分线，
: AO = OC ，
: BO = DO ，
:四边形ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． : 上ABC = 90° ,
:四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边形叫
做矩形．
（3）解：作图如下：
作图方法：
以 C 点为圆心，AB 长为半径作弧，以A 点为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于 D 点，连 接 AD ，CD 即可；
证明：由作图方法可知，CD = AB ，AD = BC ，
:四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． : 上ABC = 90° ,
:四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点， 熟练掌握几种基本 的尺规作图方法是解题的关键．
22 ．(1)日平均增长率为30%
(2)每个玩偶降价 2 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设日平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每个玩偶降价y 元，根据当日总利润可达到5940 元，列出一元二次方程，解之取符 合题意的值即可．
【详解】（1）解：设日平均增长率为 x ，由题意得：200（1+ x）2 = 338
解得：x1 = 0.3，x2 = -2.3 （舍）
答：日平均增长率为30%
（2）解：设每个玩偶降价y 元，由题意得：(50 -y - 30)(320 + 5y) = 5940
解得：y1 = 2，y2 = -46 （舍）
答：每个玩偶降价 2 元
23 ．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识， 证明四边形 ABCD 是菱形是解题的关键．
（1）证明AD = BC ，得到四边形ABCD 是平行四边形；由BC = DC 即可证明四边形ABCD 是菱形；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到AC = 2 ，根据勾股定理得到CE = 、 ，即可求 出答案．
【详解】（1）解：∵ ADⅡBC
: 上CAD = 上ACB ， ∵ CA 平分上BCD ， : 上ACD = 上ACB ，
: 上ACD = 上CAD : AD = CD
∵ BC = DC ， : AD = BC ， ∵ ADⅡBC
:四边形ABCD 是平行四边形； ∵ BC = DC
:四边形ABCD 是菱形；
（2）∵四边形ABCD 是菱形
: AC 丄 ∵ AE 丄 CB ，
: 上AEC = 90° ,
: OE = AO = CO = AC = 1， : AC = 2 ，
: CE = = = ，
: △AEC 的面积= 1 CE . AE = 1 × × 1 = ．
2 2 2
24 ．(1)a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(2) -5
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据图形面积相等即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，a2 - b2 = (a + b)(a - b) ， 故答案为：a2 - b2 = (a + b)(a - b) ；
（2）解：∵ 9x2 -16y2 = 30 ， : (3x + 4y)(3x - 4y) = 30 ，
∵ 3x + 4y = 6 ， : 3x - 4y = 5 ， : 4y - 3x = -5 ；
（3）解：原式
= ç(è 1- ÷× ç1+ ö,÷ × èç(1- ö,÷ × (çè1+ ö,÷ × ç(è 1- ,ö÷ × çè(1+ ö,÷ × … × 1- ÷ ç1+ ÷× ç1- ö,÷ × çè(1+ ö,÷
= 1 × 3 × 2 × 4 × 3 × 5 × … × 2022 × 2024 × 2023 × 2025 2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024
= 1 × 2025 2 2024
2025
=
.
4048
25 ．(1)见解析
理由见解析
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；
（1）由正方形可得 BC = CD ，CE = CG ，上BCG = 上DCE 即可利用SAS 证明
△BCG ≌△DCE ；
（2）①作CP 丄 DE 于点 P，由正方形性质可得PC = PE = PG = EG = 1 ，再由勾股定理求 出PD = 3 ，得到 DE = PD + PE = 4 ，最后由△BCG ≌△DCE 得到BG = DE = 4 ；
②连接BD ，由正方形性质和△BCG ≌△DCE 得到上CGB = 上CEG = 45° , 上BGD = 90° ,
再由点 O 是AC 的中点得到点 O 是BD 的中点，最后根据斜边中线性质得到 即
可得到 ．
【详解】（1）证明：在正方形 ABCD 和正方形CEFG 中，
上BCD = 上ECG = 90° , BC = CD ，CE = CG ，
: 上BCD + 上DCG = 上ECG + 上DCG ， 即上BCG = 上DCE ，
: △BCG≌△DCE (SAS) ；
（2）解：①如图 2，作 CP 丄 DE 于点 P，
在正方形ABCD 和正方形CEFG 中
: CP 丄 DE ，CE = CG = 、 ，
: DE = PD + PE = 4 ，
由（1）可得△BCG ≌△DCE ， : BG = DE = 4 ；
理由如下：
如图，连接BD ，
在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，上CGE = 上CEG = 上ABD = 上ADB = 45° , AB = AD ，
∵点 O 是AC 的中点， :点 O 是BD 的中点．
由（1）可得△BCG ≌△DCE ， : 上CGB = 上CEG = 45° ,
: 上BGE = 上CGB + 上CGE = 90° , : 上BGD = 180° - 上BGE = 90° ,
26 ．(1)A 与 B 是互为“和整分式” ，“和整值”k = 3
(2)①G = -10x - 30 ；②1或2
【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程， 熟练掌握运算法则并理解 题意是解此题的关键．
（1）根据分式的加法运算法则得出 A + B = 3 ，结合题意判断即可；
根据题意可得 再去分母，整理即可得解；②由①可得
结合题意得出x - 3= -1或-2 ，分别求解即可．
:A 与 B 是互为“和整分式” ，“和整值”k = 3 ；
解：①∵分式 与 D 互为“和整分式”，且“和整值”k = 4 ．
去分母可得：(4x - 2)(x + 3) + G = 4 (x - 3)(x + 3) ， : G = -10x - 30 ；
②: G = -10x - 30 ，
:x 为正整数，分式 D 的值也为正整数， : x - 3 = -1或-2 ，
当x - 3 = -1时， x = 2 ，
当x - 3 = -2 时，x = 1 ，
综上所述，x 的值为1或2 ．