湖北省孝感市汉川市2025年九年级学业水平调研考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省孝感市汉川市2025年九年级学业水平调研考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1. 下列计算结果为7的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、 ，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 如图是由四个大小相同的立方体组成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从左边看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，， 交于点 ， ， ， 则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，解得：，在2处实心圆点且折线向左，
故选：A．
6. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ）
A. 确定性事件B. 随机事件
C. 不可能事件D. 必然事件
【答案】B
【解析】“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件．故选：B．
7. 第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设有鸡、兔各为x，y只，
根据题意，可列方程组为，
故选：D．
8. 如图，为上一点，按以下步骤作图：
①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；④连接．则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，∴，∴．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上，，将绕点O旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】依题意，当将绕点O逆时针旋转，得，如图：
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
当将绕点O顺时针旋转，得，如图：
∴，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
综上：点B的对应点的坐标为或，
故选：D．
10. 如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，．
【答案】D
【解析】A、由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为直线，所以，所以，
，选项错误，不符合题意；
B、二次函数的图象与轴交于，两点，
，，选项错误，不符合题意；
C、，，
当时，，，
，选项错误，不符合题意；
D、对称轴为直线，当时，
∴当时，，∴时，，选项正确，符合题意．
故选D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 请写出的一个同类项：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的一个同类项为.
12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．聪聪购买了“二十四节气”主题邮票，其中“立春”，“雨水”和“惊蛰”各一张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是______．
【答案】
【解析】“立春”，“雨水”和“惊蛰”各一张，其中恰好抽到“立春”结果有1种，
从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是．
13. 化简：的结果为________．
【答案】2
【解析】．
14. 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为______．

【答案】
【解析】∵在和中，
∴，∴，
∵为水平线，∴，
∵，，∴，
∴为平行四边形，∴，
∴．
15. 如图，矩形中，，，，分别是边，的中点，连接，过点作于点，连接并延长交于点．则
（1）______；
（2）______．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，连接，
点是的中点，，
又，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）过点作于，于，
，，，分别是边，的中点，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：原式．
17. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，∴AO﹣AE＝CO﹣FO，∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE＝DF．
18. 某数学兴趣学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
（参考数据：，，，，，）请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）则坡面的水平距离______，垂直距离______；
（2）求山高度的长．
解：（1）在中，，，
，
，
故答案为：94，34；
（2），，
是等腰直角三角形，
．
设山的高度为，
∵，
∴，
，，
，
即，，
解得，
检验：经检验知是原方程的解，
所以山的高度约为．
19. 某中学是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”．为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组（组：；组：；组：；组：），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，89，93，96，99，99，99，100．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：91，92，94，94．
七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在上述图表中：______，______；______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有300人参加了此次围棋知识竞赛活动．请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数？
解：（1）八年级学生成绩在组的人数所占百分比为，
所以，即，
八年级学生成绩在、组的人数为（人），
所以八年级学生成绩从小到大排列中第5、6个数据分别92、94，
所以其中位数，
七年级学生成绩中99分出现次数最多，
所以其众数，
故答案为：30、93、99；
（2）八年级的学生掌握的围棋知识较好．理由如下：
∵七、八年级的平均数均都是93，且八年级的众数100大于七年级的众数99，
∴八年级的学生掌握的围棋知识较好；
（3）根据题意，得七年级10名学生的竞赛成绩大于90分的人数为：6人，
八年级10名学生的竞赛成绩大于90分的人数为：（人），
∴七、八年级抽取的20人中，优秀的人数占比为：，
∴该校七、八年级共有300人参加，估计成绩被评为优秀的总人数为：（人），
答：估计成绩被评为优秀的总人数为195人．
20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）求的面积．
解：（1）把点代入，得，
∴反比例函数的表达式为，
∵把代入得：，
∴点坐标为（1，4）．
（2）∵点与点关于原点对称，点，∴点，
设与轴交于点，直线的函数关系式为，
把点、分别代入得：，解得，
∴直线的函数关系式为，
∴点的坐标（0，3），
∴．
21. 在中，，以为直径作交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若为线段的中点，连接，求证：直线与相切．
解：（1）∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵在中，为线段的中点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵点上，
∴直线与相切．
22. 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为．
（1）请直接写出与，与的函数关系式；
（2）当时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
解：（1）∵，，
∴；
∴；
（2）当时，，解得，，
∵，
∴，
答：垂直于墙的一边长为；
（3）∵，解得，∴，
，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴当时，，
答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为．
23. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，，．
（1）如图1，．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）如图2，延长，交于点，若点是的中点，，请写出与的数量关系，并说明理由．
（1）①证明：∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②解：∵四边形是正方形，，
∴，．
∵，，
∴，．
设，则．
由①可知，，，
∴，
∴，即，
解得，即；
（2）解：．理由如下：
在中，∵，
∴设，则，，
∵点是的中点，∴，
∴，
∴．
24. 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点．
（1）则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______；
（2）如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．
①当点在第四象限，且时，求点的横坐标；
②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
（3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围．
解：（1）根据题意，当时，，
解得：或，
∴，
当时，，∴点，设直线，
代入点，则，解得：，
∴直线的解析式为；
故答案为：；；；
（2）①如图，
∵点为直线上的一点，其横坐标为，点在二次函数图象上，且轴，
∴，，∴，
∵抛物线，∴该抛物线的对称轴为直线，
又∵轴，且点在二次函数图象上，∴，
∵，∴，
∴或 ，
解得（舍）或或或（舍），
∴点横坐标为或；
②由①知，，
设，其开口向上，对称轴为，
当时，，解得，，
画出其函数图象，如图所示：
如图可知，当或时，；当时，；
当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，如图所示：
观察图象可知，当或时，的长度随的增大而增大；
（3）在中，令得，
解得或，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，
∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为，
∴翻折上来的部分抛物线解析式为，
直线向上平移个单位长度得到直线，
当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图：
①当直线经过点时， 把代入得，，
解得；
②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解，
即方程的判别式，
∴，
解得；
综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为．活动主题
测算某景区山的高度
测量工具
皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象
如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息
1．在山脚处测出山顶的仰角；
2．沿着山坡前进到达处，于点；于点；
3．在处测出山顶的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内）
年级
平均数
中位数
众数
七年级
93
94.5
C
八年级
93
100