2024_2025学年_甘肃环县高二第一学期期中考试数学试卷（附解析）

这是一份2024_2025学年_甘肃环县高二第一学期期中考试数学试卷（附解析），共24页。试卷主要包含了 已知向量，点，，且，则等内容，欢迎下载使用。
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解.
【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为，
点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为，
点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为，
所以点关于y轴对称点的坐标为.
故选：C.
2. 数列的一个通项公式可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.
故选：D．
3. 已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率公式可求得实数的值.
【详解】因为直线的方向向量为，则直线的斜率为，
又因为直线过点、，由斜率公式可得，解得.
故选：D.
4. 已知向量，点，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用空间向量共线的坐标表示直接运算即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，，，
故选：D.
5. 在等差数列中，已知，公差，，则等于（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【正确答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解.
【详解】由数列为等差数列，且，公差，，
可得，解得.
故选：D.
6. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D. (0,+∞)
【正确答案】B
【分析】
方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．
【详解】方程化为标准方程为，有，∴．.
故选：B
7. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.
【详解】因为，即为的中点，所以，
因为，所以，
.
故选：C
8. 数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正确答案】A
【分析】由题意得，，然后结合等比数列的通项公式可求出公比.
【详解】设等比数列的公比为，
依题意，，，
故，
故，
故选：A
9. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.
【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，
于是，
所以在上的投影向量的模为.
故选：B
10. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下，个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环最少移动的次数为（ ）
A. 7B. 14C. 5D. 16
【正确答案】A
【分析】根据递推关系逐步求解即可.
【详解】由条件可得，
所以解下4个圆环需最少移动7次，
故选：A.
11. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】因为点、、，
则，，，
所以，正三角形，如下图所示：
设、、分别为边、、的中点，则、、，
则，，，
过点分别作、，垂足分别为点、，
因为，，则，
因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点，
设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、，
易得、、、、、，
由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心，
且，
同理可得，
因此，等边的泰勒圆的方程为，
故选：C.
12. 已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：如图，因为过点的直线与线段有公共点，
所以直线的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间，
因为点在直线上，
所以点是直线与直线的交点，
由图可知点的轨迹为线段，
由于，故直线的方程为，与联立得，即
所以实数的取值范围为
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
13. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ）
A. y=xB. x+y-2=0
C. x+2y-3=0D. 3x-y-2=0
【正确答案】AB
【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.
【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：，
则，所以；
当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，
把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,
所以直线方程为.
故满足条件的直线方程为：或.
故选：AB.
14. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AB
【分析】作圆关于轴对称的圆，根据对称关系，结合三角形三边关系可确定最小值为，由此可得结果.
【详解】由题意知：圆是以为圆心，为半径的圆；圆是以为圆心，为半径的圆；
作圆关于轴对称的圆，则圆；
则（当且仅当三点共线时取等号），
，，
，，AB的取值不可能，CD的取值可能.
故选：AB.
15. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 点到平面的距离为2
【正确答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假.
【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
对A.
，A项正确；
对B.
设n=x,y,z为平面的一个法向量，则，
即，令，得，则，
因为，不在平面内，所以平面，则B项正确；
对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，
则，
故二面角的大小不是，所以C项不正确.
对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确；
故选：ABD
16. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据递推关系可知数列an是以为周期的周期数列，根据周期性依次推导各个选项即可.
【详解】，
，
数列an是以为周期的周期数列；
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，，
，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
17. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
【正确答案】
【详解】考点：两条平行直线间的距离．
分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．
解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．
故答案为．
18. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.
【正确答案】2
【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果.
【详解】由题意画出图形，如图所示，

因为，且是向量在上的投影，
所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.
故2
关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键.
19. 已加数列满足，若恒成立.则a取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】由数列的单调性列式求解
【详解】由题意得数列单调递减，则
解得，
故
20. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.
【详解】如下图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
21. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）求出线段的中点和斜率，根据直线垂直的斜率关系，可得线段的垂直平分线的方程；
（2）由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解.
【详解】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，整理为.
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知得，则直线的斜率为.
22. 如图，已知平行六面体中，，，，.
（1）证明：；
（2）求的长度.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取空间的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律计算推理即得.
（2）由（1）中信息，利用空间向量数量积及运算律计算模即可.
【小问1详解】
平行六面体中，设，，，
，，
由，，
得，，
则，
因此，所以.
【小问2详解】
依题意，
，
因此
，
所以的长度为.
23. 在前项和为的等差数列中，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）当时，求的最大值．
【正确答案】（1）首项为18，公差为
（2）7
【分析】（1）设数列an的公差为，由已知条件得到的方程组，再解方程组可得答案；
（2）由（1）知，令，结合可得答案．
【小问1详解】
设数列an的公差为，由题意有，
解得，
故数列an的首项为18，公差为；
小问2详解】
由（1）知，
由，得，
又，则的最大值为7．
24. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.

（1）求直线与所成角的大小；
（2）判断直线与平面的关系.
【正确答案】（1）
（2）垂直
【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小；
（2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直．
【小问1详解】
在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,，
,0,，,2,，
设直线与所成角为，
则，，
直线与所成角的大小为；
【小问2详解】
直线与平面垂直，理由如下：
由（1）知,2,，,0,，
，，
，，
，、平面，
直线与平面垂直．
25. 已知数列{an}满足，．
（1）设，求证:数列{bn}是等比数列;
（2）求数列{an}的前项和．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）将变形为，得到{bn}为等比数列，
（2）由（1）得到{an}的通项公式，用错位相减法求得
【详解】（1）由，，可得，
因为则，，可得{bn}是首项为，公比为的等比数列，
（2）由（1），由，可得，
，
，
上面两式相减可得：
，
则．
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
26. 如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）易证，再结合勾股定理可证，进而可证平面，即可求证；
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用二面角的向量法确定点，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为底面底面，
所以.
因为，所以.
取的中点，则，所以.
由得，，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：由（1）及条件可知，两两垂直.
以坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以
设P0,0,aa>0，则，所以
.
设平面的一个法向量为，
由得取，
设平面的一个法向量为，
由得取，
所以，
令，则，整理得，
解得.
由，解得（负值舍去），
即.
27. 设正项数列an的前项之和，数列bn的前项之积，且.
（1）求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析，，
（2）
【分析】（1）利用已知关系可得，代入，化简可证为等差数列，从而求得an，bn的通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消可得，利用数列的单调性求出，解不等式即可求出正实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意知：当时，，代入得，
所以.
由，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
当时，，
当时，也符合上式，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
.
显然单调递增，所以.
由题意得，即，
又，所以的取值范围为.
28. 已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.
（1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；
（2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值.
【正确答案】（1）或（2）1
【分析】(1)根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出；
(2)联立方程，消 y可得
设，整理后代入根与系数关系求解实数k的值.
【详解】圆N的圆心为(-4, 0)，故可设圆M的方程为(x+4) 2+y2=r2,
则
圆M的标准方程为(x+4) 2+y2=1,
直线被圆M截得的弦长为 ，
M到直线的距离 ，
或.
（2）联立方程，消 y可得，
设，
则
，
解得或（不满足，舍去），
关键点点睛：直线与圆相交时，涉及弦长问题，一般可考虑弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解，一般可起到事半功倍的效果，属于中档