甘肃省环县第一中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第 6 章，必修第二册第 1，3，4，5 章．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知球的半径为 ，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由球的表面积公式，代入计算，即可求解.
【详解】 .
故选：C.
2. 已知复数 （ 是虚数单位），则 的虚部是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解.
【详解】 ， 虚部是 1.
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故选：A.
3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满 188 元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A. 某人抽奖 100 次，一定能中奖 15 次 B. 某人抽奖 200 次，至少能中奖 3 次
C. 某人抽奖 1 次，一定不能中奖 D. 某人抽奖 20 次，可能 1 次也没中奖
【答案】D
【解析】
【分析】中奖 概率为 ，只能说有 中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即
可.
【详解】中奖的概率为 ，与抽的次数无关，只是有 中奖的可能性，
故选：D．
4. 某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有 50 人，二年级有 40 人，三年级有 30 人．现用分层抽样的方法
在这 120 名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了 15 人，则这个样本中共有（ ）
A. 24 人 B. 36 人 C. 48 人 D. 60 人
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样比例可得答案.
【详解】设这个样本中共有 人，
则 ，解得 ．
故选：B．
5. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的 倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式可求得 ，代入圆柱侧面积公式即可求得结果.
【详解】设圆柱的高为 ，底面半径为 ，则其体积 ，侧面积为 ；
设体积扩大 倍后的底面半径为 ，则 ， ，
其侧面积变为 ， ，即侧面积扩大为原来 倍.
故选：B.
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6. 已知 ， 是不共线的向量，且 ， ， ，若 B，C，D 三点共线，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用向量的减法运算得 ，B，C，D 三点共线，即 ，根据向量平行求出 .
【详解】因为 ，且 B，C，D 三点共线，即 ,
又 ，所以 ，解得 .
故选：C.
7. 如图，有一古塔，在 点测得塔底位于北偏东 方向上的点 处，在 点测得塔顶 的仰角为 ，
在 的正东方向且距 点 的 点测得塔底位于西偏北 方向上（ ， ， 在同一水平面），则塔
的高度 约为（ ） ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在 中，根据正弦定理可求出 ，在 中，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】由已知可得，在 中，有 ， ， ，
根据正弦定理 ，
可得 .
在 中，有 ， ， ，
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所以 .
故选：B.
8. 如图，在正方体 中，E，F 分别为棱 ， 的中点，则直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将异面直线通过平移转化为平面角，构造三角形，将三条边长求出来，用余弦定理求出即可.
【详解】连接 ， ，如图所示.
易得 ，所以直线 与 所成的角为 （或其补角）.
不妨设 .
在 中，易得 ， ， ，
由余弦定理得 ，
即直线 与 所成角的余弦值为 .
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故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 满足 ，则（ ）
A. 的实部是 B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，即可判断 A、B、C，再根据复
数代数形式的乘法运算判断 D.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的实部是 ，虚部为 ， ， ，故 A、B、C 正确；
，故 D 错误.
故选：ABC
10. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面，面面位置的判定方法逐一判断即可得.
【详解】对 A：若 ， ，则 或 ，故 A 错误；
对 B：若 ， ，则 ，又 ，故 ，故 B 正确；
对 C：若 ， ， ，则 与 可能平行，可能相交，也可能异面，故 C 错误；
对 D：若 ， ，则 ，又 ，则 ，故 D 正确.
故选：BD.
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11. 已知事件 与事件 ， 是事件 的对立事件， 是事件 的对立事件，若 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若事件 与事件 是互斥事件，则
C. 若事件 与事件 相互独立，则
D. 若 ，则事件 与事件 相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对立事件可判断 A；根据互斥事件和独立事件的的概率公式即可判断 BCD.
【详解】 ，故 A 正确；
因为事件 与事件 是互斥事件，所以 ，故 B 错误；
若事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 相互独立，
所以 ，故 C 正确；
因为 ，所以 ，
所以事件 与事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立，故 D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 的夹角的大小为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
又因为 ， ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
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故答案为： .
13. 在 中， ， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得 ，再结合同角三角关系分析求解.
【详解】由正弦定理 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
14. 若一组数据 m，n，9，8，10 的平均数为 9，方差为 2，则 ________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据平均数，方差的公式列出方程求解即可.
【详解】根据题意得平均数 ，
方差 ，
所以 ，且 ，解得 或
所以 .
故答案为：4.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球 10 次，其中甲投进 5 个，乙投进 个．
注：用此次投进球的频率去估计概率．
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（1）若乙投球 2 次均未命中的概率为 ，求 ；
（2）若 ，甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；
（2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.
【小问 1 详解】
由题意知， ，故 ；
【小问 2 详解】
用 表示“两人共命中 2 次”，
．
16. 为了了解学生的物理学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了物理测试.
根据测试成绩（总分 100 分），将所得数据按照 ， ， ， ， ，
分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求 的值，并估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前 的为优异）的学生进行嘉奖，
则受嘉奖的学生分数应不低于多少？（精确到 0.001）
【答案】（1） ，估计本次物理测试成绩的平均分为 分
（2）
【解析】
【分析】（1）由直方图区间频率和为 1 求参数 a，再根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
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（2）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为 对应分数即可.
【小问 1 详解】
由题意可知：每组的频率依次为 ，
则 ，解得 ，
所以估计本次物理测试成绩的平均分为
（分）.
【小问 2 详解】
设受嘉奖的学生分数应不低于 ，
因为 ，则 ，
可得 ，解得 ，
所以受嘉奖的学生分数应不低于 .
17. 如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形， 是线段 上的一点．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若 ，求证：平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证明线面平行，只需在平面 内找到一条直线与 平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可.
【小问 1 详解】
连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示．
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因为底面 为菱形，所以 是 的中点，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
在直四棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又底面 为菱形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
18. 在 中，内角 ， ， 对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理求出 ，再由 ，得 ；
（2）由已知条件及正弦定理得 ，根据余弦定理得 ，求出 ，最后根
据面积公式 计算即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
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所以由正弦定理得
，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 ，则 ，
故 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，整理得 ，
则 ，
解得 ，
所以 的面积为 ．
19. 如图，四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形， 底面 ， ， ，
分别是 ， 的中点， .
（1）求四棱锥 的体积；
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（2）求 与底面 所成角的正切值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 是 的中点，可知点 到底面 的距离为 ，由平面知识可求出四边形 的面积，
再根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥 的体积；
（2）由（1）可知， 与底面 形成的角为 ， 为 与 的交点，解三角形即可求出
与底面 所成角的正切值．
【详解】（1）∵ ， ，四边形 为菱形
∴ ，
如图，连 ， 相交于点 ，连 ．
∵ ， ，∴
∵ 平面 ，∴ 平面 ，且 .
∴ .
（2）∵ 平面 ，∴ 与底面 形成的角为 ．
∵ ，
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∴ ．故 与底面 所成角的正切值为 .
【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，
属于基础题．
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