2024_2025学年_甘肃高二第一学期期中考试数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_甘肃高二第一学期期中考试数学试卷[附解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．1
3．过点，且法向量为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（ ）
A．4.5尺B．5.5尺C．6.5尺D．7.5尺
7．已知等比数列满足：，则的值为（ ）
A．20B．10C．5D．
8．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52
10．下列说法正确的是（ ）
A．是直线的一个方向向量；
B．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为；
C．点关于直线的对称点为；
D．已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是
11．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列为等差数列D．为奇数时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 .
13．已知，直线和垂直，则的最小值为 .
14．已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的三个顶点是，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的垂直平分线所在直线的方程.
16．甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，
(1)求乙、丙两人各自命中的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．
17．设函数，数列满足，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，若对一切成立，求最小正整数的值.
18．已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
19．已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，设数列的前项和为，求；
(3)证明.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由得：，设其倾斜角为，，
所以斜率， 故倾斜角为，
故选：C
2．【正确答案】B
【分析】
依题意根据计算可得；
【详解】
解：因为，，
则，所以事件与事件不相互独立，
．
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】由题意得，因为直线过点，
所以将代入各选项可得，
B，C选项直线不过，故排除B，C，
对于选项A，取直线上两点，，
可得直线的一个方向向量为，
由于，所以，
故是直线的法向量，故正确
对于选项D，取直线上两点，，
可得直线的一个法向量为，
由于，与不垂直，
所以不是直线的法向量，故错误.
故选：A.
4．【正确答案】A
【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，
那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为
故选：A.
5．【正确答案】B
【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
6．【正确答案】D
【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为
，且an是等差数列，设其公差为，
依题意有，
解得，则.
故选：D.
7．【正确答案】D
【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得.
所以．
故选：D
8．【正确答案】A
【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故选A.
一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.
9．【正确答案】BCD
【详解】记事件：顾客小王中奖，事件：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为；
易知；
由题意可知与相互独立，所以与，与，与均相互独立；
所以小王和小张都中奖的概率为，即A错误；
小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确；
小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确；
小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确.
故选：BCD
10．【正确答案】ACD
【详解】A选项，的斜率为，
故直线的一个方向向量为，A正确；
B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，，
故此时直线方程为，
当直线的截距不为0时，设直线方程为，
将点代入得，解得，故直线方程为，
综上，直线方程为或，B错误；
C选项，设点0,2关于直线的对称点坐标为，
则，解得，故对称点为，C正确；
D选项，画出图形如下：
则，
直线过点且与线段有公共点，则或，
则的取值范围是，D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】ABD
【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则，
对任意的，由可得，
上述两个等式作差可得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
综上所述，，B对；
对于C选项，，故数列不是等差数列，C错；
对于D选项，当为奇数时，设，则，
则
，D对.
故选：ABD.
12．【正确答案】0
【详解】因为公差，且成等比数列，
所以，即，解得，
所以．
故0
13．【正确答案】8.
【详解】由题意得，因为直线和垂直，
则，即，
所以，
因为，所以，，
所以根据基本不等式，，
所以，
所以的最小值为8，当且仅当时等号成立，
故答案为8.
14．【正确答案】2025
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列，
故，
由累加法可知当时，
，
所以，，又也符合该式，所以.
所以，
又时，，
又时，，此时，
所以的前2024项和为.
故2025.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）点的中点，
直线CD的斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即；
（2）点的中点坐标为，
直线的斜率为，
则边上的垂直平分线的斜率为，
所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，
即.
16．【正确答案】(1)乙、丙两人各自命中的概率分别为、
(2)
【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；
（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】（1）记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，
则，解得，
，解得，
所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、
（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率
，
甲、乙、丙三人中都命中的概率，
所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）结合题意可知，
两边取倒数可得：，即.
所以数列是以首项，公差为的等差数列.
（2）由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列，
所以，所以.
所以.
又，也满足上式，所以
由可得：
，
所以，因为对一切成立，
所以,解得.
最小正整数的值为.
18．【正确答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.
【分析】
（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；
（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.
【详解】
（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
19．【正确答案】(1)， .
(2) .
(3)详见解析.
【分析】（1）根据与的关系即可得到，根据得到，即可得到；
（2）首先根据得到，再计算即可；
（3）首先根据题意得到，再根据得到，即可证明.
（1）
由，
当时，，
当时，，
检验时，，所以；
因为，（），
所以，即（），
而，故满足上式，
所以是以，公比等于的等比数列，即；
（2）
因为，
所以，
所以
；
（3）
因为，
.
所以 ，
，
因为，，所以，
即，即证：；
综上，，， .