2024_2025学年_福建厦门泉州高二第一学期11月期中联考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建厦门泉州高二第一学期11月期中联考数学试卷[附解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ）
A．5B．6C．4D．12
3．“”是“直线与圆：相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件
4．下列命题中，不正确的命题是（ ）
A．空间中任意两个向量一定共面
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）
A．B．C．3D．
6．在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A．B．点关于平面对称的点的坐标为
C．若，则D．若，，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ）
A．直线与所成角的余弦值为B．点F到直线的距离为1
C．平面D．点到平面的距离为
11．已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得B．椭圆C的弦MN被点平分，则
C．，则的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为 ．
13．已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为 ．
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求顶点的坐标.
16．已知空间三点，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)求的面积.
17．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
18．已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.
19．已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)若．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
(2)是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为.
故选：B
2．【正确答案】C
【详解】由，则，所以，
根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】圆：的圆心为，半径为，
若直线与圆相切，则，解得或，
且是的真子集，
所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件．
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，
所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确.
B选项，若，可能是非零向量，是零向量，
此时不存在，使，所以B选项错误.
C选项，对于，有，所以四点共面，
所以C选项正确.
D选项，若是空间的一个基底，，
假设，，
则共面，与已知矛盾，所以不共面，
所以是基底，所以D选项正确.
故选：B
5．【正确答案】A
【详解】由题意可知：，
则
，
所以.
故选：A.
6．【正确答案】C
【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可.
【详解】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，
故选：C
7．【正确答案】C
【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
8．【正确答案】C
【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形，
在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2，
则，，，设，
，，
则直线DE与直线AF所成角的余弦值，
而，故，，

故选： C.
9．【正确答案】ACD
【详解】由题意，A正确；
关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错，
若，则，所以，C正确；
若且，则，解得，D正确，
故选：ACD．
10．【正确答案】BC
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，
且E，F，G分别为棱，，的中点，可知，
可得，
对于选项A：因为，
所以直线与所成角的余弦值为，故A错误；
对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且，
点F到直线的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，可得，
且，平面，所以平面，故C正确；
对于选项D：因为平面的法向量可以为，
点到平面的距离为，故D错误；
故选：BC.
11．【正确答案】ABC
【详解】对于A.由余弦定理知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时为钝角最大，
所以存在P使得，所以A正确；
对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，，
不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.
设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确；
对于C.，，
因为，所以，
因为，解得.
因为，所以，所以C正确；
对于D.，设，则，整理得，
可得直线PA，PB的斜率分别为，
所以，所以D错误.
故选：ABC.

12．【正确答案】
【详解】由题意可知，直线的斜率为.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】法一：设椭圆上，则，又，联立解得，，
则．
法二：设椭圆的另一焦点，，则焦点为直角三角形，
设，，则，，解得，
所以.
则．
故12
14．【正确答案】
【详解】设Px,y，因为点，，，
所以，即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为，
又直线过，所以直线的方程为，即.
（2）由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点，
由，解得，
所以点.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，，
则，，，，
所以；
（2）由（1）得，
则，
所以.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
由已知得，
解得，，，
所以圆的方程为，即；
（2）① 若直线有斜率，可设的方程为，即，
由已知，则圆心到直线的距离
解得，
此时，直线的方程为，即；
② 若直线没有斜率，则的方程为，
将其代入，可得或，
即得，，满足条件，
综上所述，直线的方程为或．
18．【正确答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0.
【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），
因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0），
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，
所以，
所以椭圆C的方程为 +y2=1，
（2）设，
由题可设直线AB的方程为x=my+1.
联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，
则有，
所以
又由S=，即
解得m2=1，即m=±1.
故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0
19．【正确答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)存在，
【详解】（1）（ⅰ）若，折叠前直线的方程为，
联立，解得或，可得，，
圆：，与轴交于两点，则，
折叠后三棱锥的体积为．
（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
易知为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，由题可知为锐角，
所以
故二面角的余弦值为．
（2）设折叠前Ax1,y1，Bx2,y2，圆心到直线的距离，
则，
直线与圆方程联立得，
即，．
设，在新图形中的对应点分别为，
，，
．
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为，
则，解得，
故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为．