2024_2025学年_福建福州高一第一学期第一次月考数学模拟试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建福州高一第一学期第一次月考数学模拟试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组对象中不能组成集合的是（ ）．
A．2023年男篮世界杯参赛队伍B．中国古典长篇小说四大名著
C．高中数学中的难题D．我国的直辖市
2. 已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A. M∪N
B. ∁U(M∪N)
C. (∁UM)∩N
D. ∁U(M∩N)
3．若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．已知集合，，则（ ）
A．B．ABC．BAD．
5．已知命题，命题，则（ ）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
6．设，则“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．且D．且
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
10．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为
B．若（其中），则
C．是等边三角形是等腰三角形
D．
11．若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
12. 对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 集合中有个元素D. 集合中有个元素
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 命题“，”的否定为______.
14．集合的子集个数是
15. 已知，则的最小值是______．
16．不等式的解集为 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知关于x不等式：．
（1）当时，解此不等式；
（2）当时，解此不等式．
18. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
19. 已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2
（1）求的最小值；
（2）求a2＋4b2＋5ab的最大值.
20. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
21. 已知命题，为假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
22. 已知集合.
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
2024-2025学年福建省福州市高一上学期第一次月考数学模拟
检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组对象中不能组成集合的是（ ）．
A．2023年男篮世界杯参赛队伍B．中国古典长篇小说四大名著
C．高中数学中的难题D．我国的直辖市
【正确答案】C
【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解.
【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合，
故选：C．
2. 已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A. M∪N
B. ∁U(M∪N)
C. (∁UM)∩N
D. ∁U(M∩N)
【正确答案】B
【分析】观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
【详解】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是，
所以图中阴影部分所表示的集合为的 补集，
即图中阴影部分所表示的集合为，故选B.
本题主要考查集合的venn图的表示及应用，其中venn图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的关系，熟记venn图的含义是解答的关键.
3．若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【正确答案】C
【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.
【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.
故选：C
4．已知集合，，则（ ）
A．B．ABC．BAD．
【正确答案】C
【分析】根据子集包含关系得到答案.
【详解】，故BA.
故选：C
5．已知命题，命题，则（ ）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
【正确答案】B
【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题.
综上，和均为真命题.
故选：B.
6．设，则“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若且，则，即充分性成立；
若，例如，满足，
但不满足且，即必要性不成立；
综上所述：“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意知，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．且D．且
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得.
【详解】由方程有两个不相等的实数根，得，
即，解得，因此且，
所以实数m的取值范围是且.
故选：C
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
【正确答案】BD
【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误;
对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确;
对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误；
对于D 选项，且，故D正确，
故选：BD .
10．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为
B．若（其中），则
C．是等边三角形是等腰三角形
D．
【正确答案】BC
【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD.
【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题；
由，知，，则，则B为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；
，所以，所以D为假命题．
故选：BC.
11．若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】BCD
【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断.
【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；
对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，故B正确；
对于C，由上分析可得，故C正确；
对于D，由上分析可得，故D正确.
故选：BCD.
12. 对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 集合中有个元素D. 集合中有个元素
【正确答案】AC
【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.
【详解】且.
①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；
②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，
可取、、、、；
③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；
④当时，.
综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 命题“，”的否定为______.
【正确答案】，
【分析】利用全称量词命题的否定求解.
【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故，
14．集合的子集个数是 ．
【正确答案】
【分析】首先求集合，然后再求集合的子集个数.
【详解】由x2-4=0，解得：x=±2，
故A={2，-2}，故子集的个数是22=4个．
故4.
本题考查空集和子集个数，属于基础题.
15. 已知，则的最小值是______．
【正确答案】5
【分析】构造基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题意可得，，当且仅当，即时，等号成立．
故5.
16．不等式的解集为 ．
【正确答案】
【分析】利用十字相乘法因式分解，即可解得；
【详解】解：由得，解得
所以不等式的解集为．
故答案为.
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知关于x不等式：．
（1）当时，解此不等式；
（2）当时，解此不等式．
【正确答案】（1）或
（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；
（2）不等式可变形为(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三种情况讨论即可.
【小问1详解】
当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．
【小问2详解】
当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，
当a＝时，＝3，此时不等式无解；
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；
当a＞时，＜3，解得＜x＜3；
综上：当a＝时，解集为；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
18. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）时，求出集合，由此能求出；
（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围．
【小问1详解】
解：时，集合，，
．
【小问2详解】
解：，，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数的取值范围是．
19. 已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2
（1）求的最小值；
（2）求a2＋4b2＋5ab的最大值.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】(1)利用转化为用基本不等式求解；
(2)，根据a＋2b＝2利用基本不等式求出ab范围即可.
【小问1详解】
∵，∴，
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为；
【小问2详解】
∵，
又，∴，故，
当且仅当，即时，等号成立.
故取得最大值.
20. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【正确答案】当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【分析】
设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号求出对应的值，综合可得出结论.
【详解】设房屋正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
21. 已知命题，为假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，故.
【小问2详解】
解：由题意可知.
当时，则，解得，此时成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
22. 已知集合.
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围
【正确答案】（1）
（2）的值为或，当时，当时
（3）
【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；
（2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；
（3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.
【小问1详解】
A是空集，且，，解得，
的取值范围为：；
【小问2详解】
当时，集合，
当时，，，解得，此时集合，
综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合；
【小问3详解】
由可知，当中至多有一个元素时，或，
的取值范围为.