长沙市一中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题及参考答案

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1.在实数中，无理数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：A.是开方不尽的数，属于无理数；B.是整数，属于有理数；
C.是有限小数，属于有理数；D.是分数，属于有理数；故选：A．
2.下列方程是二元一次方程的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的定义，①含有两个不同的未知数；②未知数的次数为1，且为整式方程．根据二元一次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.：含项，次数为2，不符合一次条件；B.：仅含一个未知数，不满足二元要求；C.：含和两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合条件；
D.：含分式，非整式方程，不符合要求；故选：C．
3.如图，直线a，b被直线c所截，与是（ ）

A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角
【答案】C
【解析】【分析】根据图中和的位置进行判断即可；
【详解】和位于直线a，b的内侧，且在直线c的同一侧，所以是同旁内角．故选：C．
4.下列调查适合作普查的是 （ ）．
A.了解在校大学生的主要娱乐方式
B.了解某市居民对废电池的处理情况
C.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D.对甲型H7N9流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：A．了解在校大学生的主要娱乐方式，B．了解某市居民对废电池的处理情况，涉及到的数量太多，不适合作普查，只能作抽样调查；C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，具有一定的破坏性，不适合作普查；D．对甲型H7N9流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查，同一车厢内的乘客数量有限，也有必要了解每位乘客的情况，所以要作普查．故选D．
5.有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（ ）
A.22tB.18tC.20tD.23t
【答案】A
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可．
【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，根据题意，得方程组：，
得，即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，故选：A．
6.下列说法：①16的平方根是4；②1的立方根为；③；④的立方根是，其中正确的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的定义，正确理解平方根、算术平方根及立方根的定义是解题的关键．根据平方根和算术平方根的定义，可判断①和③的正误，根据立方根的定义，可判断②和④的正误．
【详解】解：因为16的平方根是，所以①错误；因为1的立方根为1，所以②错误；因为，所以③错误；因为，所以的立方根是，所以④正确；综上，只有④正确，正确个数为1．
故选：B．
7.某校为了解八年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查部分学生，结果如下表所示，其中参加书法的学生占调查人数的20%，则参加绘画兴趣小组的频数是（ ）
A.13B.12C.11D.10
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了统计表，频数的计算．
根据题意，已知参加书法兴趣小组的人数为8，占总人数的20%，可求出总人数，再用总人数减去其他三个兴趣小组的人数之和，即可得到参加绘画兴趣小组的频数．
【详解】解：∵书法兴趣小组有8人，占总人数的20%，
∴总人数（人），
∴参加绘画兴趣小组的人数为（人），
因此，参加绘画兴趣小组的频数为13，故选：A．
8.若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（减）同一个数，不等号方向不变；性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：A.因为，所以，故A错误；B.因为，所以，故B正确；C.因为，所以，故C错误；D.因为，所以，故D错误；故选：B．
9.如图将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条顺时针旋转了是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：如图，设木条顺时针旋转了到达使B到达A处，
根据题意得，，，∴，
当时，，∴，故选：D．
10.如图，面积为3的等腰三角形，，点、点在轴上，且、，规定把三角形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2025次变换后，三角形顶点的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】【分析】根据题意可得点，第1次变换后，点A的坐标为，第2次变换后，点A的坐标为，第3次变换后，点A的坐标为，第4次变换后，点A的坐标为，第5次变换后，点A的坐标为 ……，以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点A的横坐标为，纵坐标为；当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为，以此即可解答．
【详解】解：∵面积为的等腰，，，
∴，即，∴，则
∴点到轴的距离为，横坐标为，∴，∴第1次变换A的坐标为，
第2次变换A的坐标为，第3次变换A的坐标为，第4次变换后，点A的坐标为，
第5次变换后，点A的坐标为，
以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为，纵坐标为；
当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为，
第次变换后，∴点A的坐标为，故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.把方程写成用含的式子表示的形式为___________．
【答案】
【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程，将x看作已知数求出y即可求解．
【详解】解：，
，
∴，
故答案：．
12.的倒数是___________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了倒数的定义和立方根的求法，先算出，再求出倒数即可．
【详解】解：，故答案为：．
13.若点在第二象限，则点在第___________象限．
【答案】一
【解析】【分析】本题考查了象限中点的符号问题，不等式的性质，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，掌握这些是解题的关键．
先确定的符号，再确定的符号，即可判断所在象限
【详解】解：∵点在第二象限，∴，即，
∴，∴点在第一象限，故答案为：一．
14.把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是___________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：，，即，，
，则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，故答案为：．
15.如图，若，则 ______ ．

【答案】##80度
【解析】【分析】先根据对顶角相等求出和的度数，然后根据邻补角定义用减去的度数即可求出的度数．
【详解】解：和是对顶角，，
又∵，∴，
，∴．故答案为：．
16.如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中每块长方形瓷砖的面积为___________．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于12，一个长加上一个宽等于8，据此建立方程组求解即可．
【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，由题意得，，
解得，∴图中每块长方形瓷砖的面积为，故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.计算：．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
详解】解：．
18.解方程组：．
【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：
得：，
将代入①得，解得：
∴方程组的解为：
19.解不等式组．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，其中点的坐标为．
（1）将△ABC先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到，请在图中作出平移后的；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查了作平移图象，利用网格求三角形面积．
（1）按照先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，描点连线即可；
（2）利用长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【小问1详解】解：如图：即为所求；
【小问2详解】解：．即△ABC的面积为．
21.将一副三角板按如图所示方式拼图，且使，在同一条直线上．其中，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．
（1）由题意知，，再根据同旁内角互补，两直线平行，可得结论；
（2）根据两直线平行，内错角相等，得，再根据平角的定义可得答案．
【小问1详解】解：由题意知，，∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
【小问2详解】解：∵，，
∴，
∴．
22.为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
体重情况扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）在扇形统计图中，D类所对应的圆心角度数是___________°；
（3）若该校八年级共有1600名学生，估计体重在及以上的学生有多少人？
【答案】（1）， （2） （3）人
【解析】【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出相关数据是解题关键．
（1）利用类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用类占总体百分比求出类的频数，最后即可求出类的频数；
（2）利用类占总体百分比乘以即可；
（3）利用样本估计总体即可求出．
【小问1详解】解：由题意得被抽取的总人数为（人），
∴B类频数为（人），
∴D类的频数为（人），故答案为：20，；
【小问2详解】解：D类所对应的圆心角度数是，故答案为：18；
【小问3详解】解：估计体重在及以上的学生有（人）．
23.某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进1台甲型号手机和2台乙型号手机，共需要资金2600元；若购进2台甲型号手机和3台乙型号手机，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号手机每台进价为多少元？
（2）若该手机经销商计划用不超过10300元的资金购进甲、乙两种型号的手机共12台进行销售，则甲型号的手机最多只能购进多少台？
【答案】（1）甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为800元
（2）甲型号的手机最多只能购进3台
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值；（2）设甲型号的手机购进台，则乙型号的手机购进台，根据题意列出不等式，解不等式，取的最大整数值即可．
【小问1详解】解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，解得：，
答：甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为800元；
【小问2详解】解：设甲型号的手机购进台，则乙型号的手机购进台，
根据题意得：，解得，
因为取整数，所以的最大值为3，
答：甲型号的手机最多只能购进3台．
24.定义：若实数满足：，则称点“一新点”．
（1）在点三个点中，是“一新点”的有___________（填字母）；
（2）若点是“一新点”，且分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求的取值范围；
（3）已知点是“一新点”，实数满足且是关于的不等式组的解，其中，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，一元一次不等式组，由不等式组的解集求参数等知识点，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义进行计算验证即可；（2）先求出不等式组的解集，再根据分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，即可确定值，再得到不等式组求解即可；（3）先求出，然后把分别代入不等式组，得到关于的一元一次不等式组求解即可．
【小问1详解】解：对于，，故不是“一新点”；
对于，，故是“一新点”；
对于，，故是“一新点”；故答案为：；
【小问2详解】解：∵点是“一新点”，
∴，
解不等式组得：，
∵分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，
∴，则，
∴，解得：；
【小问3详解】解：∵点是“一新点”，实数满足，
∴，
∴，解得：，
当是的解，
则，
解得：；
当是的解，
则，
解得：，
为了满足都是关于的不等式组的解，
∴．
25.已知：点在直线上，点在直线上，且．
（1）如图1，点在直线、之间，连接、，求证： ；
（2）如图2，平分，平分，、相交于点，求证：；
（3）如图3，，点在延长线上，点在上，点在内，连接，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；（1）过点作，则，进而可得，可得，即可得证
（2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质可得,，，，根据角平分线的定义可得，，分别表示出，即可得证．
（3）延长交于点，过点作，由（1）可得，结合已知可得，设，则，得出，进而表示出，代入，即可求解．
【小问1详解】证明：如图，过点作
∴
∵，
∴
∴
∴即；
【小问2详解】解：如图，过点分别作的平行线，
∵，
∴
∴,，，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴
【小问3详解】解：如图，延长交于点，过点作
由（1）可得
∵，即
∴
设，则，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴兴趣小组
书法
绘画
舞蹈
其他
参加人数
8
Ⅲ
10
9
组别
体重
频数（人数）
A类
类
类
D类