重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试模拟 数学试卷（解析版）

这是一份重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试模拟 数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，得，故最大的数是5，
故选：A．
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看得到的视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从左面可看到两列正方形，左边一列有2个正方形，右边一列有1个正方形，故D选项符合题意．
故选：D．
3. 如图，直线，被所截，，平分，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】平分，，．
，∴
故选：A．
4. 若点在反比例函数图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】因为点在反比例函数的图象上，
所以将代入函数解析式，得：
因此，，
故选：C．
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为4，则的面积是（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 18
【答案】C
【解析】∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，∴，
∴，
∴的面积的面积，
∵的面积为4，∴的面积为16，
故选：C．
6. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．如图是某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律正放或反放拼接得到的火箭模型图，第①个模型图中有4个基本图形，第②个模型图中有6个基本图形，第③个模型图中有8个基本图形，第④个模型图中有10个基本图形，…，按照此规律，则第⑲个模型图中，基本图形的个数是（ ）
A. 38B. 40C. 42D. 44
【答案】B
【解析】第①个模型图中的基本图形的个数为；
第②个模型图中的基本图形的个数为；
第③个模型图中的基本图形的个数为；
第④个模型图中的基本图形的个数为；
…；
第个模型图中的基本图形的个数为，
第⑲个模型图中基本图形的个数是，
故选：B．
7. 估计的值在（ ）
A. 6和7之间B. 7和8之间
C. 8和9之间D. 9和10之间
【答案】D
【解析】而，
∵，∴，
∴估计的值在9和10之间，
故选：D．
8. 如图，在矩形中，点在边上，，以为圆心，的长为半径画弧，这条弧恰好经过点，且交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如答图，连接，
由题意得，，
，，
，则，为等边三角形，
，
阴影部分的面积为．
故选：C．
9. 如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点作的平行线，分别交，于点，，连接．
四边形是正方形，，
，，四边形，四边形是矩形，
，，，∴，
是的中点，∴，，，
由正方形性质可知，
，是等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：C．
10. 已知整式，其中为正整数，，…，为正整数，下列说法：
①当时，一定能被2整除；
②时，，，，，，中必有两个数的差是5的倍数；
③若，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】当时，常数项对应为时的值，所以，，能被2整除，故①正确；
当时，多项式有6个系数，考虑这6个数除以5的余数，共有5种可能（0到4）．根据抽屉原理，至少有两个数的余数相同，它们的差必为5的倍数，故②正确．
将代入，得总和．而为时的值，即．
因此，，故③正确．
综上，三个说法均正确，
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若单项式与的和仍为单项式，则______．
【答案】1
【解析】单项式与的和仍为单项式，
与为同类项，
，，
，
．
12. 化学实验课上，每个学生需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配置”三个实验中以抽签的方式随机选取1个，则甲、乙两人抽中同一个实验的概率为______．
【答案】
【解析】将“二氧化碳的实验制取与性质”，“粗盐的提纯”，“溶液的配置”三个实验分别记为，，，画树状图如图所示：
∵由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两人抽中同一个实验的情况有3种，
（甲、乙两人抽中同一个实验）．
13. 如图，在等腰中，，是上一点，，，且，交于点，则的长度为______．
【答案】
【解析】如下图所示，过点作垂直于交于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，，
，
．
14. 若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是______．
【答案】6
【解析】解不等式组，得
不等式组至少有3个整数解，，．
解分式方程得．
∵分式方程有解，
，
，
．
分式方程有正整数解，
是正整数且，
符合条件的所有整数为，，
符合条件的所有整数的和是
故答案为：6．
15. 如图，内接于，是的直径，是的切线，为切点，且，为的中点，连接并延长交于点，连接，．若，则的长度是______；的长度是______．
【答案】
【解析】连接，过点作的垂线，垂足为，如图：
是的切线，为切点，．
，．
为直径的中点，．
，；
，，等腰直角三角形．
，．
为的中点，，．
在中，．
由等面积法可得，．
，，
是等腰直角三角形，．
16. 一个四位自然数，若满足，，是连续的两个两位自然数，且，的十位数字相同，则称这个四位数为“致广数”．例如：四位数．，是“致广数”．按照这个规定，则最小的“致广数”是______；将放在的左边组成一个新的四位数，设，，当，的值分别都为整数时，则满足条件的是______．
【答案】1056 8742
【解析】设，为连续的两个两位自然数，则可表示为，
自然数是四位数，，，
要使“致广数”最小，应取值为3，个位数字从小到大取值，
当，分别取1，2时，，为三位自然数，不符合题意，
当，分别取2，3时，，符合题意，
最小的“致广数”是1056；
设，则，
．
为整数，
为整数，
满足条件的，为，，，，，，，，．
又为整数，
满足条件的，为，，，，，
同时满足，为整数的，为，即当，时，，的值分别都为整数，此时．
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中是方程的一个根，
解：（1）
；
（2）
．
解方程得，，
当时，，
舍去，
，
当时，原式．
18. 自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek－R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪．某公司接入一款AI软件，先组织甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
甲部门组员工的分数分别为：，，，；
乙部门员工的分数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数；
（3）根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
解：（1）由条形统计图可得成绩在组和组的人共有8个，
把数据从小到大排列后，排在第10，11位的数为86，88，
中位数；
由乙部门员工的分数可知89出现的次数最多．
众数；
甲部门的优秀率为，
；
故答案为：，，；
（2）（人），
答：估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为196人；
（3）甲部门员工对培训知识的掌握情况更好，
理由：由表格可知，甲部门员工的优秀率高于乙部门员工的优秀率，
甲部门员工对培训知识的掌握情况更好．
19. 学习了平行四边形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，平行四边形一组对角的平分线与另一组对角的对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在中，的平分线交对角线于点．用尺规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：在中，是的对角线，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，，
① ．
，的平分线分别交对角线于点，，
，，
② ．
和中，
，
③ ，
．
进一步思考，如果过平行四边形一组对角的顶点向另一组对角的对角线作的是垂线呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： ④ ．
（1）解：作图如答图；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，
．
，的平分线分别交对角线于点，，
，，
．
在和中，
，
，
．
结论：过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等
故答案为：①；②；③；④过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等．
20. 奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元．
（1）求该批发商大果和中果各收购了多少千克？
（2）因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？
解：（1）设该批发商大果收购了千克，则中果收购了千克，
则，解得，
则，
答：该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克；
（2）设收购单价的上涨金额为元，
由题意得，
解得（负值不符合题意，舍去），
经检验：是分式方程的根，且符合题意；
大果收购价为（元），中果收购价为（元），
答：第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元．
21. 如图，在等腰中，于点，动点出发，沿运动，到点处停止运动，连接．设点运动的路程为的面积为的面积与点的运动路程之比为
（1）请直接写出分别关于函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
解：（1）∵在等腰中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由题意得，，
当时，，
∴；
当时， ，
∴；
∴；
∵，
∴.
（2）函数图象如下所示，由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大；
（3）联立得，解得或（舍去），
∴由函数图象可得，当时，．
22. 2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的点或者弹子石的点观看演出．小明根据所学知识画了如图所示的方位图，为朝天门，为春晚主舞台所在地弹子石广场，在的北偏东方向，在的东南方向的1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向的米处，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，）
（1）求，两地间的距离；
（2）小明查资料得知，当观看地点到，的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明应在，两处中选择哪一处观看？
解：（1）如图，过点作于点，
在的北偏东方向，在的东南方向，．
在的东南方向，在的北偏东方向，，
，．
米，米，米．
，，是等腰直角三角形，
米，（米），
答：，两地间的距离约为1638米；
（2）如图，过点作于点．
由（1）可知米，是等腰直角三角形，
米，
地到，两地的距离之和为（米）．
由题意得，
为等腰直角三角形．
米，
米，
，
，
在中，，米．
，在的北偏西方向的米处，
，
是直角三角形，
米，
地到，两地的距离之和为
（米），
，
应选择地观看演出．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）为直线下方抛物线上一点，于点，过点作轴的平行线交于点，交直线于点．求的最大值及此时点的坐标；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过的中点，点为平移后的抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）将点，代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）令，
解得或，
点的坐标为．
，
，
∵轴，，
∴，
∴，，
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，
设直线解析式为，
∴，∴，
∴直线解析式为，
，
设直线的表达式为．
直线过点，
∴，
∴，
直线的表达式为．
设，则，
，
．
，，
当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为；
（3），
的中点的坐标为．
抛物线沿射线方向平移，且，，
设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度．
∵原抛物线解析式为，
新抛物线的表达式为．
新抛物线经过的中点，
，
解得或（不符合题意，舍去），
新抛物线的表达式为，
如图，在轴上取一点，连接，
．
，
．
如图，当在上方的点处时，
，
．
记，交于点．
，
，
，
．
同理可得所在直线的表达式为，
可设所在直线的表达式为，
令，
解得或，
将代入，得，
．
将代入，得，
所在直线的表达式为．
令
解得（舍去）或．
将代入，得，
；
如图，当在下方的点处时，
，
，
点关于的对称点在直线上．
设，
的中点坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
由对称性可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴
同理可得所在直线的表达式为．
令，
解得（舍去）或．
将代入，得，
．
综上所述，所有符合条件的点的坐标为或．
24. 在中，，，是的中点，在边上运动，连接，将沿着折叠得到，点的对应点为，其中交于点，连接，．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（3）在点的运动过程中，当，时，过点作于点，连接，请直接写出的度数．
（1）证明：，，
∴，
．
沿着折叠得到，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如答图1，过点分别作的垂线，分别交于点．
，，
∴，
．
，
由折叠可知，
，
为等腰直角三角形，
，
由折叠可知，
，
，，
，
．
设，则，，
∴在中，
，，
∴，
∴
又∵是的中点，
∴，，
∴在中，
（3）解：．
如答图2，过点作于点．
同理可得：，
，，
，．
，
，
为等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
同理（2）可得：，，，
∴，，
∴．
，
，
．
，
，，，四点共圆，
．部门
平均数
中位数
众数
优秀率
甲
87
95
乙
88
89