数学人教版八年级上册全册分层练习

这是一份数学人教版八年级上册全册分层练习，共116页。试卷主要包含了已知，的三边长为，，等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．已知，，为的三边长，满足，且为方程的解，则的周长为（ ）
A．6B．7C．6或2D．7或11
3.如图，已知P是△ABC内任一点，AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．28
4．若，则以、为边长的等腰三角形的周长为______．
5．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．
6．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．
7．已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
8.已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
已知a，b，c是的三边长，若，，且的周长不超过，求a范围．
11.1.2三角形的高、中线、角平分线
1.下列叙述中错误的一项是（ ）．
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．
B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．
D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．
2.已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）

A．8cmB．8.6cmC．9cmD．9.6cm
3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．

8题图 9题图 10题图
9．如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．
10．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．
12．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．
13．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．
(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；
(3)△ABC的面积是 ．
15．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．
(1)求的长度；
(2)求的面积．
16．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
11.3三角形的稳定性
1.如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
11.2.1三角形的内角和定理
1.在中，，则为（ ）三角形．
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰
2.在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上D．北偏西70°方向上
3．如图，EF与的边BC，AC相交，则与的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．大小关系取决于的度数
4．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）

4题图 5题图
A．134°B．124°C．114°D．104°
5．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．
8．如图所示，，则______°．
9．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．

9题图 10题图 11题图
10．如图，，若，，，则∠AEC的度数为_____．
11．如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．
12．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°，∠CFD=60°，则∠ACB=__．

12题图 13题图 14题图
13．如图，是的高，是角平分线．若，，则______°．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O分别作OMAB，ONAC，交BC于点M、N，∠BOC＝110°，则∠MON＝_______．
15．如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
16．如图，在中，，垂足为点，，，求∠B的度数．
17．如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
18．如图，已知在中，，AE是BC边上的高，AD是的角平分线，求的度数．
19．如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．
20．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
11.2.2三角形的外角
1．如图，在中，，延长BA到D，则的度数为（ ）

1题图 2题图 3题图 4题图
A．B．C．D．
2．如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43°B．33°C．47°D．37°
3．如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
4．如图，下列说法中错误是（ ）
A．B．
C．D．
5．将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）

5题图 6题图
A．B．C．D．
6．如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120°B．135°C．110°D．150°
7．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
8．如图，，，垂足为E，，则的度数是______．

8题图 9题图 10题图
9．如图所示，将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是___________．
10．如图，，分别与，交于点B，F，，，则__________．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝___．

11题图 12题图
12．如图，在中，D在AC上，连接BD，且，，则的度数为_______度．
13．如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
14．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求和的度数．
15．在图a中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题．
(1)在图a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC= ；
(2)在图a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系；并说明理由．
(3)如图b，若，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系．（直接写出）
11.3.1 多边形的有关概念
【夯实基础】
1.下列叙述正确的是（ ）
A．每条边都相等的多边形是正多边形；
B．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；
C．每个角都相等的多边形叫正多边形；
D．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形
2.如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是_____.
3.从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为_____.
4.从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是_____.
5.如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成5个三角形，那么这个多边形有_____条对角线
6.过边形的一个顶点有12条对角线，边形没有对角线，则的值为_____.
7.一个多边形对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是_____.
8.从边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成17个三角形，则＝______．
9.已知正多边形的周长为 56，从其一个顶点出发共有 4 条对角线，求这个正多边形的边长．
10.若一个多边形有条对角线，这个多边形的边数是？
【能力提升】
1.若一个多边形的对角线的条数比它的顶点数多3，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是_________边形.
3.过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线，则______.
4.过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则______________________.
8．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
11.3.2 多边形的内角和
【夯实基础】
1.如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝ 。

1题图 2题图 3题图 4题图
2.如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则= 。
3.如图， 。
4.如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是 。
5.在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补，∠B＝55°，则∠D＝_____度．
6.如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度．
7.若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n_________．
8.若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是__________．
9.在五边形中，，，，则的度数是______．

9题图 10题图 11题图
10.如图，ABCD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________．
11.如图,将等边三角形、正方形和正五边形按如图的位置摆放.，则＝___．
12.一个多边形的外角和是它的内角和的，求这个多边形的边数和内角和．
13.如图，已知在四边形中，，．
(1)的度数为___________；
(2)若的平分线交边于点E，且，求的度数．
【能力提升】
一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）A．4 B．5C．6D．7
2.马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是_____.
3.小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度……如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则的度数为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
4.已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 , 则这个多边形的边数是________
5.一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为_____．
6.小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．
7．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
8．阅读并解决下列问题：
（1）如图①，中，，、的平分线交于点D，则______．
（2）如图②，五边形中，，EF平分，平分，若，求的度数．
图① 图②
12.1 全等三角形
【夯实基础】
1.下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形
2.在中,,分别是,上的点,，则∠B= .

2题图 3题图 4题图
3.如图，，D在边上，，，则的度数为 .
4.如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
5.一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝_____．
6.已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝___．
7.如图，，，，则________．
9.如图，已知△ADF与△CBE全等，点、在线段上．
（1）线段与的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是： （用文字表达）；
（2）判断与之间的位置关系，并说明理由．
10．如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【能力提升】
1.如图，已知，平分，若，，则的度数是 .
1题图 2题图 3题图
2.如图，把△ ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠ A=70°，AB=AC，则∠ CEF的度数为 .
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 .
4．如图，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，AD＝CH＝2，EF＝4，下列结论：①BH∥ EF；②AD＝BE；③∠ A＝∠ EDF；④∠ C＝∠ BHD；⑤阴影部分的面积为6．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
5.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠ 1+∠ 2+∠ 3的度数等于_______．
5题图 6题图 7题图
6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置AB＝10，DO＝4，平移距离为5，则阴影部分（即四边形DOCF）面积为__________．
7．在平面直角坐标系中有两点，，如果点在轴上方，由点，，组成的三角形与全等时，此时点的坐标为______．
8.如图所示，，，，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
10．如图，和是对应角，和是对应边．
（1）写出和的其他对应角和对应边；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的长．
12.2.1 三角形全等的判定㈠SSS
【夯实基础】
1.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是 .

1题图 2题图 3题图
2.如图， 中， ， ，直接使用“SSS”可判定( )
A． ≌ B． ≌
C． ≌ D． ≌
3.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）.
4.如图，点A，E，B，F在一条直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝DE，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.可利用的是( )
A．①或② B．②或③ C．③或① D．①或④
5.如图，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，则∠AOC等于（ ）
A．B．C．D．
6.如图，在△ABC中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝ 度．

6题图 7题图 8题图
7.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点在同一直线上 ，则 ．
8.如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ．
9.如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：ΔABC≌ΔDEF
10.如图， ， ， .求证： .
11.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,点E,F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.证明AE∥CF。
12.如图，已知：AB＝CD，AD＝BC，EF过BD的上一点O与DA、BC的延长线交于E、F两点．
求证：∠E＝∠F．
【能力提升】
1．如图，已知： ， ， ， ，则 .

1题图 2题图 4题图
2．如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使OD＝OE，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线.理由是连结CD，CE，证△COD≌△COE得∠COD＝∠COE.证△COD≌△COE的条件是 .
3.已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或
4．如图， ， ， ， ，则四边形 与 面积的比值是 ．
5.已知点A(0,1),B(3,1),C(4,3).如果在y轴的左侧存在一点D,使得△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标为 .
6.已知：如图，AC、BD相交于O点， ， .
求证： .
7.已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE＝DF．
12.2.2 三角形全等的判定㈡SAS
【夯实基础】
1.如图，AC与BD相交于点P，AP=DP，则需要“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是 .

1题图 2题图 3题图 4题图
2.如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为 .
3.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 与 的和为 .
4.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为 .
5.如图，∠ACB=∠DBC，AC，BD交于点O，若根据SAS来说明△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是 ．

5题图 6题图 7题图
6.如图，在 中， ， 平分 ， 点在 上， ，若 ，则 ．
7.如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝ .
8.如图， ， ， ，求证： .
9.如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
10.已知：如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADE.
11.如图所示，已知△ABF≌△DEC，说明AC∥DF成立的理由.
【能力提升】
1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是( )

2.如图， ， ，且 ，则 .
3.如图， 是 的中线， 是 的中线， 。求证： 。
12.2.3 三角形全等的判定㈢AAS、ASA
【夯实基础】
1.花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带 .

1题图 2题图 3题图 4题图
2.如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到 MBC≌ ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定 MBC≌ ABC的理由是 .
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为 .
4.如图，在 和 中，已知 ，还需添加两个条件才能使 ，添加的一组条件不正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5.如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6.如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .

6题图 7题图
7.如图，已知BD=CE，∠B=∠C，若AB=8，AD=3，则DC= .
8.已知：∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AC=AD
9.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
10.如图，在 中， ，点D是AB边上的一点， ，且 ，过点M作 交AB于点 求证： .
11.如图，在△ABC中，边BC，AB上的高AD，CE相交于点F，且∠ACE＝45°，连接BF，求∠BFE的度数．
【能力提升】
1.如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．

1题图 2题图 3题图
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为 .
3.如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有 ．
4.如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．
（1）求BE的长.
（2）在其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意纯角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)
【夯实基础】
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AC=A′C′，∠B=∠B′ B．∠A=∠A′，∠B=∠B′
C．AB=A′B′，AC=A′C′ D．AB=A′B′，∠A=∠A′
2.下面说法不正确的是（ ）
A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两角对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE= .
3题图 4题图 5题图 6题图
4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，AD＝BD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF＝AC，则∠AFB的度数为 .
5.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是 .
6.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
7.如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
7题图 8题图 9题图 10题图
8.如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
9.如图，在 中， 为边 的中点， 于点 ， 于点 ，且 ．若 ，则 的大小为 度．
10.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=8cm，则△DEB的周长是
11.已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
12.如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．
13.如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
【能力提升】
1.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）求证：AB=CE+BF；
（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．
12.3.1 角的平分线的性质
【夯实基础】
1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB的依据是 .

1题图 2题图 3题图
2.如图，在 中， ， 是 的角平分线， 于点E，若 ， .则 的长是 .
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于 .
4.如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为 .
5.如图， 是 的角平分线， ， ， ， 分别是垂足，若 ， ，则 的长为 .

4题图 5题图 6题图
6.如图，在 中， 平分 ，与 交于点D， 于点E，若 ， 的面积为5，则 的长为 .
7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 .
8.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．
9.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE＝ cm．
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
11.如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.
【能力提升】
1.如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
2.如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是 ；

2题图 3题图
3.如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
5.已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M.
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： .
12.3.2 角的平分线的判定
【夯实基础】
1.在 中， ，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在 ， 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P， 交边 于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． 垂直平分 D．
2.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.则对点P位置的判断，正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
3.如图，已知 于点 ， 于点 ，且 ， ， ，则 的度数为 .
3题图 4题图 5题图 6题图
4.如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为 .
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为 .
6.如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB= .
7.如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1= °.

7题图 8题图 9题图
8.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝ ．
9.有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个.
10.已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
11.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
12.如图，点P为 和 的平分线的交点．求证：点P在 的平分线上．
13.如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
【能力提升】
1.如图， ，M是 的中点， 平分 ，且 ，则 .
1题图 2题图 3题图 4题图
2.已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为 .
3.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 .
4.如图, 于E, 于F,若 ,,则下列结论; 平分 ； ； 中正确的是 ．
5.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

6.如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE.
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积.
13.1.1轴对称
【夯实基础】
1．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ）
A． B． C．D．
3．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
B．
C．D．
4．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为 。

4题图 5题图 7题图 8题图
5．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于 。
6．如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)．
7．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号）
8．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ___．
9．如图，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ____．

9题图 10题图 11题图
10．如图,方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个．
11．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为______．
12．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．
14．如图，∠ A=90°，点E为BC上一点，点A与点E关于BD对称，点B与点C关于DE对称，求∠C的度数．
15．如图，在中，直线分别交、于点、，点关于直线的对称点在边上，且．
（1）若，，求的周长；
（2）若，求的度数．
16．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【能力提升】
9．如图，△ ABE和△ ADC是△ ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠ 1：∠ 2：∠ 3＝13：3：2，CD与BE交于O点，求∠ EOC的度数
10．如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．
(1)如图1，当∠ BEA＝35°时，∠ FAD的度数为 ．（直接填空）
(2)如图2，连BD，若∠ CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；
(3)如图3，当AFBD时，设∠ CBD＝，请你求出∠ BAE的度数．（用表示）
13.1.2线段的垂直平分线的性质
【夯实基础】
1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 .
1题图 2题图 3题图 4题图
2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为 .
3．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为 .
4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为 .
5．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，点E为垂足，FG垂直平分AC，点G为垂足，BC=5cm，则△ADF的周长等于 .

5题图 6题图 7题图 8题图
6．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为 .
7．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，BC＝5，AC＝10，则AE的值是 ．
9．如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，边AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D,E,连结BE.若AB = 10，BC = 6，则△ACE的周长是 .
9题图 10题图 11题图
10．如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 分别交 ， 于点D，E.若 ， 的周长为13，则 的周长为 .
11．如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= °．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求AC的长度．
13．如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
14．如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
【能力提升】
1．如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为 ， .
2．在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数为 .
3．如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N.已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是 .
4．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
13.1.3 线段垂直平分线的有关作图
【夯实基础】
1．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。则对应作法错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为 。

3题图 4题图 5题图
4．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于​AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C= 。
5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 ．
6．已知点M在直线l上，A、B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图：
①过点M作直线l的垂线；②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．
（注意：要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹并给出结论）
​
7．已知∠AOB，点M、N，在∠AOB的内部求作一点P．使点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
8．作图题：要求保留作图痕迹，不写作法
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交AC、BC于E、F.在直线EF上找一点P，使得点P到射线AB，AC的距离相等.
（2）若AB＝6，BC＝8，连接AF，求△ABF的周长.
【能力提升】
1．如图：△ABC中，AC＞AB．
（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．(尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)
（2）在(1)的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．
13.2.1 画轴对称图形
【夯实基础】
1．我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定
3．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形D．正六边形
4．下面是四位同学所作的 关于直线 对称的图形，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在 正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是 .
5题图 7题图 8题图
6．求作与已知图形成轴对称的图形，先观察图形，并确定能代表已知图形的关键点，分别作出这些关键点关于对称轴的 ，根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．
7．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
8．如图，图①经过 变换得到图②；图①经过 变换得到图③；图①经过 变换得到图④．（填“平移”、“旋转”或“轴对称”）
9．有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3）可见，而主要建筑C（3，2）破损，
（1）请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置；
（2）请作出三角形ABC关于y轴对称的图形三角形A1B1C1；
（3）请求出三角形ABC的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）写出A′、B′、C′三点的坐标（直接写答案）；
（3）在（1）（2）条件下，连接OAB′三点，求△OAB′的面积．
【能力提升】
1.如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1 （要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小；
（3）在（1）问的结果下，连接BB1、CC1，求四边形BB1C1C的面积．

2.已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
13.2.2 用坐标表示轴对称
【夯实基础】
1.在平面直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标是 。
2.平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是 。
3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是 。
4.将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是 。
5.在直角坐标系中，若点A（m+1，2）与点B（3，n-2）关于y轴对称，则m= ，n= ．
6.在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是 ．
7.已知点P1（a，﹣3）和点P2（3，b）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
8.已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab= ．
9.在平面直角坐标系中，若点A（2，﹣3）与点B关于x轴对称，则AB的长度为 .
10.已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2016的值．
11.如图在平面直角坐标系中, 的顶点坐标分别为 A(-3,4),B(-4,1),C(-1,1).
（1）请在图中画出 关于 轴的对称图形 ,点 A、B、C的对称点分别为 、、 ,其中 的坐标为 ； 的坐标为 ； 的坐标为 ．
（2）请求出 的面积．
12.如图，△ABC中，已知点A(-1，4)，B(-2，2)，C(1，1).
（1）作ΔABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标，
（2）作△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标，
=（3）观察点A1，B1，C1和A2，B2，C2的坐标，请用文字语言归纳点A1和A2，B1和B2，C1和C2坐标之间的关系.
【能力提升】
1．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于x轴成轴对称的图形 ，并写出 、 、 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）在y轴上找一点P，使 的值最小，请画出点P的位置．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
（3）在 y 轴上是否存在点 Q，使得S△AOQ= S△ABC，如果存在，求出点 Q 的坐标，如果不存在，说明理由。
13.3.1 等腰三角形的性质
【夯实基础】
1．如图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=DC,∠ACE=25°,∠ADE 的度数为 。
1题图 4题图 6题图
2．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是 。
3．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 。
4．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是 。
5．一个等腰三角形的底边长为 5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为 3，则这个等腰三角形的腰长为 。
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为 。
7．如图，在△ABC 中,DE 垂直平分 ,若△BCD 的周长是12,BC=4,AB的长 .

7题图 8题图 9题图 10题图
8．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
9．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
10.在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
11．如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知 AC=18，△CDB 的周长为 28， 则 BD 的长为 ．

11题图 12题图 13题图
12．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=28°，AD=AE，则∠EDC= ．
13．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为 ．
14．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= ∠A．
15．如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，求∠CBD的度数．
16．如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．求证：BF=2AE．
【能力提升】
1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
13.3.2 等腰三角形的判定
【夯实基础】
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
3.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
4.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则∠EAF为 。
4题图 5题图 7题图
5.如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为 。
6.在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为 ．

8题图 9题图 10题图
9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
10.如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
12．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
13．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
【能力提升】
1.如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．
13.3.1 等边三角形的性质与判定
【夯实基础】
1．下列说法错误的是（ ）
A.有两边相等的三角形是等腰三角形 B.直角三角形不可能是等腰三角形
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形 D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
2．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30B．20C．25D．15
3.如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4.一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距 。

2题图 4题图 5题图 6题图
5．如图，， ， ，若 ，则 。
6．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 。
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．

7题图 8题图 9题图
如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为 .
9．如图，将边长为的等边向右平移，得到，此时阴影部分的周长为 ．
10．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝ .

10题图 11题图
11．已知：如图，点E、F分别在等边三角形ABC的边CB、AC的延长线上，BE＝CF，FB的延长线交AE于点G则∠AGB＝ ．
12．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
13．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
14．如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
【能力提升】
1如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

2．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB。
13.3.4 含30°角的直角三角形的性质
【夯实基础】
1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为 。
1题图 2题图 3题图 4题图
2．如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为 。
3．在 中， ， ，过点B作 ，交 于点D，若 ，则 的长度为 。
4．如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于 。
5．如图，在 中， 平分 交 于点M，过点M作 交 于点N，且 平分 ，若 ，则 的长为 。

5题图 6题图 7题图
6．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF= 。
7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于 .
8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD= cm．

8题图 9题图 10题图
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
10．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值是 ．
11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是 cm2

11题图 12题图
12．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
13．如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究BM与CM之间的数量关系.
14．如图，已知，在△ABC中， ，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长.
15．如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．
16．已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若AE=CD，求证：MN= BN.
【能力提升】
1.如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则ON= cm．
1题图 2题图 3题图
2.如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2， 则AB的长是
3.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝ ．
4.如图所示，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上，且 ，过点E作 ，交BC的延长线于点F．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求DF的长．
13.4 课题学习：最短路径问题
【夯实基础】
1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A. B. C. D.
2．如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为 。
2题图 3题图 4题图
3.如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）.
4.如图，在 中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则 周长的最小值是 .
5.有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)
6.如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。
7.作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1，B1，C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
8.如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
【能力提升】
1.如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点P为直线 上一点， ，求 周长的最小值．
14.1.1 同底数幂的乘法
【夯实基础】
1．计算2x3•x2的结果是 .
2．下列算式中，结果等于a6的是( )
A．a4 ＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a2·a3 D．a2·a2·a2
3．a16不能写成( )
A．a8·a8B．a4·a12C．a4·a4D．a2·a14
4．计算a3·(-a)2的结果是 .
5．下列等式中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．0个B．1个C．2个D．3个
6． 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．计算 的值为 .
8．化简：（﹣x）2（﹣x）3＝ ．9．计算：-y2•（-y）3•（-y）4＝ ．
10．已知 ， ，则 ．
11．若 ，则x= ．12．计算：
13．若22x+3﹣22x+1=384，则x= ．
14．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．

（6）（m﹣2n）2（2n﹣m）3； （7）a•a4﹣（﹣a）2•（﹣a3）．
16．已知：8•22m﹣1•23m=217，求m的值．17．若a+b+c=3，求的值．
【能力提升】
1．如果a2m﹣1•am+2=a7，则m的值是 .
2．若x，y为正整数，且2x•2y=25，则x，y的值有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
3．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
4．，，则 ．
5．若，则 ．
6．已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
7．已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求ab＝ ．
三、解答题：
8． ,且 ,求m、n的值.
9．已知，求
14.1.2 幂的乘方
【夯实基础】
1．下列四个算式中，正确的个数有（ ）．
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．下列运算中，结果是a18的是（ ）
A．a9+a9B．a3a6C．(a3)6D．(a2a3)3
3．计算：﹣（x3）5＝ ．
4．计算a2•（﹣a2）3的结果是 ．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C．D．
6．计算 等于 ． 7．若xn=2，则x3n的值为 ．
8．计算a6（a2）3= ． 9．(－a5)4•(－a2)3＝ ．
10．若x、y互为相反数，则 (5x)2·(52)y= . 11．若（2an）3=40，则a6n= ．
12．已知2n=3，则4n+1的值是 ． 13．已知2m＝5，22m+n＝45，则2n＝ .
14．已知2x＝a，则2x•4x•8x＝ （用含a的代数式表示）.
15．计算：
（1）[(-a)3]4； （2）(-m2)3·(-m3)2． （3）[(m-n)2]5(n-m)3 （4）(-x2)5+(-x5)2
16．已知162×43×26＝22m－2，（102）n＝1012．求m＋n的值
17．已知n是正整数，且x3n=2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值．
【能力提升】
1．已知2m+3n=4，则的值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
2．已知，，则下列关系成立的是（ ）
A．m＋1＝5nB．n＝2mC．m＋1＝nD．2m＝5＋n
3．如果 ， ， ，那么（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，m，n为正整数，则 ．
5．若3m＝4，3n＝6，则3m+2n＝ ．
6．比较大小：
7．已知2x+3y-4=0，求9x•27y的值
8．若3a=6，9b=2，求32a+4b+1的值
9．已知x7=2,y9=3,试比较x与y的大小.
14.1.3 积的乘方
【夯实基础】
1．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3=a7B．a3·a4=a12C．（ab)4=a4b4D．(a3)4=a7
2．计算（-2a2b）3的结果是 ． 3．计算﹣（﹣2x3y4）4的结果是 ．
4．计算（﹣ab）3•a2的结果是 ．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A．（﹣a）2•（a3）2=﹣a8B．（﹣a）（﹣a3）2=a7
C．（﹣2a2）3=﹣8a6D．（ab2）2（a2b）=a3b5
6．下列等式：（1）a2m =(a 2 ) m （2）a 2m =(a m ) 2 （3）a 2m =(-a m ) 2 （4）a 2m =(-a 2 ) m （5）、a 3 b 3 =(ab) 3 其中正确的有( )
A．4个B．5个C．3 个D．2 个
7．如果（a b ） =a b ，那么m，n的值等于（ ）
A．m=9，n=4B．m=3，n=4C．m=4，n=3D．m=9，n=6
8．计算：（2ab2）3= 9.计算： = .
10．计算：－x2·x3＝ ； ＝ ； ×22016＝ .
11．（﹣ ）2020•（1.5）2021＝ . 12．若 ，则x的值为
13．计算：
（1） （2）(－x2y3)4 （3）(－8)2017×(－0.125)2017 （4）(－xy2)3
14．计算： 15．a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．

16．若xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值
【能力提升】
1．计算 的结果是 ．
2．下列各题中计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知x2n=3，则（x3n）2•4（x2）2n的值是 ．
4．如果 ，则 ．
5．已知 ，则 ．
6．若（a+5）2+ ，则a2018•b2019＝ .
7．已知：a =2，b =3，求(a ·b ) 的值．
8．已知关于 的方程 和 的解相同．
（1）求 的值．
（2）求式子 的值．
14.1.4 单项式与单项式相乘
【夯实基础】
1．下列计算正确的是（ ）
A．3a3•2a2＝6a6 B．2x2•3x2＝6x4 C．3x2•4x2＝12x2 D．5y3•3y5＝8y8
2．计算 的结果是 .
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算2x·(－3xy)2·(－x2y)3的结果是 .
6．已知 与 的积与－x4y3是同类项，则mn= .
7．如果单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积是 .
8．计算（直接写出结果）
①a•a3= ②（b3）4= ③（2ab）3= ④3x2y•（﹣2x3y2）= .
9．计算 ．10．（2.8×103）•（1.7×105）= ．
11．（－ xy）·（－3xy）2= 12．计算：（﹣2xy2）2•3x2y•（﹣x3y4）= ．
13．计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
14．计算：
（1） （2） （3）
15．计算：
（1） （2）
（3） （4）
16．先化简，再求值：，其中，．
【能力提升】
1．设 ，则 的值为 ．
2．若（am＋1bn＋2）•（a2n﹣1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为 ．
3．已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为 ．
4．已知单项式 与 的积为 ，那么m-n= ．
5．若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ．
6．已知：﹣2x3m+1y2n与7xn﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m、n的值．
7．若(am＋1bn＋2)(a2n－1b2n)＝a5b3，求m＋n的值．
14.1.5 单项式与多项式相乘
【夯实基础】
1．计算：（－2a2) ·(3ab2-5ab3)结果是 ．
2．计算(―xy)3·(7xy2―9x2y)正确的是（ ）
A．―7x2y 5+9x3y4 B．7x2y5―9x3y4 C．―7x4y5+9x5y4 D．7x4y5+9x5y4
3．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是 ．
4．计算x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)的结果是 ．
5．在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题： ，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写 ．
6．要使（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项，则k的值为 ．
7.计算：－3x·（2x2y－xy）＝ . 8.计算 .
9．（3x2y﹣2x＋1）（﹣2xy）＝ ．
10． ＝ ．
11．（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）＝ ．
12．计算：- (-2ax2)2-4ax3·(ax-1)= ．
13．多项式2（a2b＋ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2可化简为 ，当a＝﹣2，b＝2时，多项式的值为 ．
14．若 3x(x+1)＝mx2+nx，则 m+n＝ .
15．计算∶
(1) (2)
(3) (4)
16．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
17．先化简，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝，b＝．求5A﹣B的值．
【能力提升】
1．已知ab2=﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）= ．
2．要使x(x +a)+3x-2b=x2+5x+4成立,则a,b的值分别为（ ）
A．a=-2,b=-2B．a=2,b=2C．a=2,b=-2D．a=-2,b=2
3．若a3(3an-2am+4ak)与3 a6-2a9+4a4的值永远相等,则m、n、k分别为（ ）
A．6、3、1 B．3、6、1 C．2、1、3 D．2、3、1
4．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是 ．
5．黄老师买了一套新房，其结构如图示（单位：米）．他打算将卧室铺木地板，其他部分铺瓷砖．
(1)木地板和瓷砖分别需要多少平方米？
如果瓷砖每平方米x元，木地板每平方米元，那么黄老师需要花多少钱？
6.某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
14.1.6 多项式与多项式相乘
【夯实基础】
1．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C．D．
2．计算 结果中， 项的系数是 ．
3．已知，那么、的值分别是 ．
4．若 ， 则 的值是 ．
5．若 的运算结果中，的系数为-6，则a的值是 ．
6．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算：（a-b）（a2+ab+b2）= ．
8．计算 的结果为 ．
9．下列计算算式中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，正确的是 .（填序号）
10．计算
(1)； (2) ；
11.先化简，再求值：，其中．
12.如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(3)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【能力提升】
1．若的运算结果中不含项和常数项，则m，n的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A． B．
C． D．
3．若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（ ）
A．8B．﹣6C．﹣8D．﹣10
4.已知多项式ax-b与x2-x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为-2，试求ab的值：
14.1.7 整式的除法
【夯实基础】
1.如果（a-1）0=1成立，则（ ）
A．a≠1 B．a=0 C．a=2 D．a=0或a=2
2.列计算正确的是( )
A． B． C． D．
3.下面计算 ①；② ；③ ；④；⑤； ⑥.中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.若2x·（ ）=-6x3y，则括号内应填的代数式是 ．
5.计算（-4a3+12a2b-8a3b2）÷（-4a2）的结果为 ．
6.列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝a2b2 B．（3x2y﹣6x）÷6xyx2
C．（21x5y2﹣9x4y3）÷3x3y2＝7x2﹣3xy D．（3x2y+xy）÷xy＝3x
7.若多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式是 ．
8.计算 的结果是 ．
9.计算：-24x6y3÷ =-4x2y2 10.计算：(16x3-8x2+4x)÷(-2x)=
11．若一多项式除以2x2-3，得到的商式为x+4，余式为3x+2，则此多项式为
12．计算： =
13．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时
14．计算：
（1）； （2）；（3）；（4）；
（5）； （6）；
（7）；（8）．
15．先化简，再求值：，其中m＝2，n＝－1
16．已知：A=2x，B是多项式，小明同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得4x3-2x2-8x
（1）求多项式B。
（2）求A+B。
【能力提升】
1．若长方形的面积是4a2+8ab+2a，它的一边长为2a，则它的周长为 ．
2．若 ，则 的值为 ．
3．若 ，则x= ．
4．若a3•am÷a2=a9，则m=
5．已知3m＝a，9n＝b，则3m＋2n―1的值用含a、b的式子表示为 .
6．若6x=3，6y=2，则62x﹣3y= ．
三、解答题
7．已知3×9m×27m=321，求（-m2）3÷（m3•m2）的值
8．已知 ，求 的值．
14.2.1 平方差公式
【夯实基础】
1．计算 的结果为 ．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在下列各式中，运算结果是 的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填 ．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 如图1所示 ，然后将剩余部分拼成一个长方形 如图2所示 根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．若a2﹣b2= ,a+b= ,则a﹣b的值为 ．
8. = . 9．(x+1)(x-1)-(x-2)(x+2)=
10．若 ， 互为相反数，则 .
11．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
12.计算：2008×2010﹣20092= ．
13．若（―x²―4y²)·A＝16y4―x4,则A＝ .
14．若 ，则 .
15．计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）； （3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）
16．用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
17．先化简，再求值(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)，其中 ．

18．已知3既是x﹣4的算术平方根，又是x＋2y﹣10的立方根，求x2﹣y2的平方根.
19．两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数.
【能力提升】
1．已知 则 的值是 ．
2．(am-bn)(am+bn)等于 ．
3． 的计算结果的个位数字是 ．
4．计算 ＝ ．
5．观察下列各式的规律：
……
可得到 ．
6．求值： .
7．观察下列算式：39×41=402﹣12，48×52=502﹣22，65×75=702﹣52，83×97=902﹣72…，请你把发现的规律用字母表示出来．（给定字母m，n）
8．阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：995×1005
=（1000﹣5）（1000+5）①
=10002﹣52②
=999975．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①9×11×101×10 001；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
14.2.2 完全平方公式
【夯实基础】
1.计算： ＝ ．
2.利用乘法公式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.对于任整数n，多项式（4n+5） -9都能（ ）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除
4.若m+n=7，mn=12，则m2-mn+n2的值是 ．
5.如果 是一个完全平方式，那么m的值是 ．
6.已知a﹣b=10，ab=5，则a2+b2的值为 ．
7.若 , ,则ab的值为 ．
8.计算 . （x+2）2﹣（x﹣1）（x+1）= ．
9.若a2+2a=1，则（a+1）2= ．若a2+ab+b2+M=（a﹣b）2，那么M= ．
10.已知是完全平方式，则m的值为 ．
11.已知： ，则 ，xy＝ ．
12.已知a+b=5,ab=4,则2a2+2b2= 。 13. ，则 。
14．计算：
(1) (2)
15．化简：．
16．先化简，再求值​， 其中​
17．已知 +x-2022＝0，将下式先化简，再求值：（2x+3）（2x-3）-x（5x+4）﹣
18．已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)．
【能力提升】
1．关于 的多项式 的最小值为 ．
2．已知 ，则 的值为 ．
3．已知 ， ，则 .
4．已知 ， ， 为 的三边长，且 ，其中 是 中最短的边长，且 为整数，则 ．
5． ，则 的值为
6．试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：
方法（一）：____________；
方法（二）：____________；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：____________；
利用你发现的结论，解决下列问题：
如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a＋b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
7．阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴． ∴，
∵，∴∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的最大边c的值；
(3)已知：，则________．
14.2.3 添括号
【夯实基础】
1.下列添括号正确的是（ ）
A．a＋b－c＝a－（b－c）B．a＋b－c＝a＋（b－c）
C．a－b－c＝a－（b－c）D．a－b＋c＝a＋（b－c）
2下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+cB．-2x+t-a+1=-(2x+t)-(a-1)
C．3x-[5x-(2x+1)]=3x-5x+2x+1D．a-3x+2y-1=a+(-3x-2y+1)
3.下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（ ）
5.在括号内填上恰当的项：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（ ）．
6.在括号内填上恰当的项:1－x2+2xy－y2＝1－( ).
7. ．
8.运用乘法公式计算：
（1）（x－y＋z）2 （2）（x＋2y－3z）（x－2y＋3z）
（3）（1－x）（1＋x）（1＋x2）（1－x4） （4）
9.先化简，再求值：（2x﹣y）2+（6x3﹣8x2y+4xy2）÷（﹣2x），其中 ，y=﹣2．
【能力提升】
1．已知，则等于 ．
2.不论x、y为什么实数，代数式 的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
3.已知 ， ， ，那么 的值等于 ．
4.若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 ．
5.已知，，则＝ .
6.已知实数m，n满足 ， ，则 .
7．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成一个整体，合并= ；
(2)已知，求的值；
(3)拓广探索：已知，求的值．
8．阅读理解：
已知，求的值.
解：因为，所以. 又因为，所以.
所以，即，所以.
请运用以上解题方法，解答下列问题：
已知，求下列各式的值：
（1） （2）.
14.3.1 提公因式法
【夯实基础】
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．观察下列各式:①abx-adx；②2xy+6xy ；③8m -4m +2m+1；④a +ab+ab -b ；
⑤(p+q)xy-5x (p+q)+6(p+q) ；⑥a (x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法分解因式的是( )
A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥
3.将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是 .
4.因式分解：2a(x-y)+3b(y-x)= . .
5.把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是 .
6.如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy），那么M等于 .
7．已知a-b=1，a=5，则a2-ab等于 .
8. 5(m－n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．
9.多项式 的公因式是 ．
10.分解因式：2a(x－y)－3b(y－x)＝ ． .
11.如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ．
12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= 。
13.因式分解：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6） （7）； （8）．
14.因式分解：

15.化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1）（3x＋2）2－x（1－2x）（3x＋2），其中x＝1.
16.已知x﹣y＝1，xy＝2，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
17.已知的平方根是±3，的立方根是2，求多项式的值．
【能力提升】
1．多项式x2m－xm提取公因式xm后，另一个因式是_____________．
2．计算-22021+(-2)2020所得的结果是_____________．
3．已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为_____________．
4．已知，则的值是_____________．
5．若，则等于______．
6．阅读下列材料：
已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值．
解：∵ a2=3-a，
∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，
∴a2 (a+4)=9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________．
（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
14.3.2 运用平方差公式因式分解
【夯实基础】
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式正确的是（ ）
A．x²＋y²=（x＋y）（x＋y）B．－x²＋y²=（y－x）（y＋x）
C．－x²＋y²=（－x＋y）（－x－y）D．－x²－y²=－（x＋y）（x－y）
3．等于（ ）
A．B．C．D．
4．将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a，b满足，且，则关于a与b的数量关系，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．①④D．③④
6．因式分解：=____________．=____________．
7．若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M=__________．（写出一个即可）
8．若，，则___．
9．若，则代数式的值为______．
10．若a2﹣b2=5，a+b=5，则2a2﹣2ab=___________．
11.分解因式：
(1)； （2）ab2﹣a； (3)． （4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．
12．若x＋y是9的算术平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．
13.在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．
【能力提升】
1．对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被（ ）
A．2整除B．n整除C．（n+7）整除D．7整除
2．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m＝___．
5．请阅读以下因式分解的过程：
．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式：____________．
6.如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
请问用这两个图可以验证公式法因式分
解中的哪个公式？
试利用这个公式计算：．
（2）若图（1）中的阴影部分的面积是12，，求的值．
14.3.3 运用完全平方公式因式分解
【夯实基础】
1．多项式与的公因式是__________．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有__________．（填序号）
4．计算：1252-50×125+252=__________．
5．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是__________．
6．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为__________．
7．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为__________．
8．多项式x3+x2，x2+2x+1，x2-1的公因式是______ ．
9．在多项式：①x2+2xy-y2 ②- x2+2xy-y2 ③ x2+xy+y2 ④ 1+x+中，能用完全平方公式分解因式的是__________（填序号即可）
10．因式分解：__________．﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝____________．
12．分解因式：___________________．
13．若，则的值是____________．
14．计算的结果是___________．
15．因式分解：
(1) (2) (3)
(4)
16．已知，先因式分解，再求值：．
【能力提升】
1．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝yB．x＞yC．x＜yD．x≥y
2．不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数B．正数C．负数D．非正数
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定
4．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
5．已知为等腰三角形ABC，其中两边满足，，则的周长为_______________________
6．已知：，则的值为________．
7．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)第四步的结果继续因式分解得到结果为________；
(2)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
15.1.1 从分数到分式
【夯实基础】
1．若分式 有意义，则x的取值范围是________．
2．使分式 无意义的x的值是________；使分式 等于0的x的值是________．
3．下列分式中一定有意义的是（ ）
4．若分式 的值为负数，则x的取值范围是________．
5．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x=2时， 的值为零 B．当x≠3时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得整数值D．无论x为何值， 的值总为正数
6．对于分式，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义D．当x＝2时分式的值为零
7．在式子 中，分式有 个．
8.已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，请写出一个这样的分式： ．
9．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．当x 时，分式 有意义；当x 时，分式 的值为正；若分式 的值为0，则x= ；
11．当x 时，分式 的值为1；当x 时，分式 的值为-1．
12．若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
13．若分式的值为0，则＝ .
14．下列各式中，整式有 ．分式有 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ ；⑨ ；⑩ ；⑪ ；⑫
15.当x取何整数时，分式 的值是整数？
16.如果分式 的值为0，求x的值是多少？

18．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【能力提升】
1．分式 中，当x=-a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若a≠- 时，分式的值为零； D．若a≠ 时，分式的值为零
2．已知 ，且 ，则 的值是 ．
3．若分式 的值为正整数，则整数a的值有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．8个
4．若分式 无意义，且 ，那么 ＝ ．
5．已知 时，分式 无意义， 时，此分式的值为0，a+b= ．
6．若 ，且 ，则分式 的值为 ．
7.例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围.
15.1.2 分式的基本性质
【夯实基础】
1．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
2．等式 中的未知的分母是 ．
3．分式 和 的最简公分母( )
A．(a2-1)(a2-a) B．a(a2-1) C．(a2-a) D．a(a2-1)(a-1)
4．根据分式的基本性质，分式 可以变形为（ ）
A．B．C．D．
5．下列变形正确的是( )
A． B． C． D．
6．下列分式①②③④⑤ 中，最简分式有 ．
7．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：
（1） ； （2） = ．
8．约分： . 9．化简 = .
10．将分式 的分子和分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式是 。
11．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则 ＝ ．
12．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
（1） ； （2） ； （3） .
13．若 成立，求a的取值范围.
14．约分
（1） ； （2） ； （3） ．
15．通分： ， ， ．

20．从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
【能力提升】
1．下列各组的分式不一定相等的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
2．若把分式 中的 、 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．缩小3倍B．扩大3倍C．扩大9倍D．不变
3．对有理数x，下列结论中一定正确的是( )
A．分式的分子与分母同乘以|x|，分式的值不变
B．分式的分子与分母同乘以x2，分式的值不变
C．分式的分子与分母同乘以|x+2|，分式的值不变
D．分式的分子与分母同乘以x2+1，分式的值不变
4．下列式子：① ；② ；③ ；④ ，正确的有 （填上序号）.

5．当1＜x＜2，化简 + 的值是 ．
15.2.1 分式的乘除
【夯实基础】
1．式子有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠±2且x≠﹣ B．x≠﹣2且x≠﹣ C．x≠2且x≠﹣ D．以上都不对
2．下列计算结果正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．计算 的结果为 ． = ．
4． = ; 12a2b4•(﹣)÷(﹣)=
5．若÷有意义，则x的取值范围是 ．
6.计算分式①÷，②•，③÷，④÷的结果仍是分式的是 ．
7. . = ．
8. ＝ . .
9.若x的倒数与本身相等，则=
10.计算（1） （2）
（3）； （4）．
11.先将化简，再选取一个你认为合适的m的值代入求值．
【能力提升】
1.已知 ，则M等于= ．
2.若分式的值等于5，则a的值是 ．
3．如图，设，则k的值可以为（ ）
A． B． C． D．
4．则m=
5．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简÷（）”，其中“☀”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“☀”处的式子为
6．已知a≠0，S1=﹣3a，S2=，S3=，S4=，…S2015=，则S2015= ．
7．正数范围内定义一种运算“﹡”，其规律是，则：
（1）=
（2）当3﹡（x+1）=1时．求x=
8．定下面一列分式：（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
15.2.2 分式的乘方
【夯实基础】
1.下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2.下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.化简的结果是 ．= ．
4.计算分式得 ． 5．= ．
6.（1）________； （2）________；
（3）________； （4）________．
7.化简： ________．8.计算：_____．
9.计算=________．10.计算=_________．
11.计算：__________________．= ．
12．计算
（1） （2）
13．计算：
（1）； （2）；
【能力提升】
1．的值是（ ）
A．B．C．D．
2．计算 与的结果( )
A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．以上都不对
3．（）3•（）2÷（）4=________．
4．计算_____．
5．计算：
（1） （2）．
15.2.3 分式的加减
【夯实基础】
1.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.化简 = ． ﹣（a+1）= ．
3.计算 = ． = ．
= ． ﹣a﹣b= ．
4.若代数式 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（ ）
A．除号“÷” B．除号“÷”或减号“-” C．减号“-” D．乘号“×”或减号“-”
5.甲、乙两城市之间的高铁全程长1500km，列车运行速度为bkm/h，经过长时间试运行后，铁路部门决定将列车运行速度再提高50km/h，则提速后列车跑完全程可省时（ ）
A． B． C． D．
6.若 ，则 的值为 ．
7.一艘轮船在静水中的速度为 千米/时，水流速度为 千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，则该轮船在A、B间往返一次所需时间为 小时．
8.计算（1） （2） （3）
【能力提升】
1.已知两个分式： ， ，其中x≠±2，则A与B的关系是( )
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
2．若分式 （A，B为常数），则A，B的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若ab＝1，m＝ ，则m2021的值为 ．
4．已知 ，则 的值等于 ．
5．若 = + ，则 M+N= ．
6．a、b为实数，且ab=1，设P= ，Q= ，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．
7．设实a，b，c满足：，则= ．
8．（1）已知计算结果是，求常数m的值.
（2）已知计算结果是，求常数A、B的值
15.2.4 分式的混合运算
【夯实基础】
1. = ． 2． = ．
3.（）÷= ．4． = ．
5.= ．6.已知 ,则 = ．
7．如果a-b=5，那么（ ）· = ．
8．计算：（x﹣1+ ）÷ = ．
9．化简 的结果是 .
10．当m=﹣5时，分式（m+2﹣ ）• 的值是 ．
11.计算（1）（2）
（3）
12.先化简，再求值：（﹣x+1），其中x为﹣1≤x≤2的整数．
13.先化简，再求值: ，其中a2+a-1=0．
14有这样一道题“计算 的值，其中x=2020”。甲同学把条件“x=2020”错抄成“x=2002”，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一试，你就会有收获。
【能力提升】
1.若化简 的结果为 ，则“ ”是 ．
2.已知 ,则 = ．3.若x2﹣4x﹣1=0,则 = ．
4．若，，则的值为 ．
5．如果实数x满足 ，那么代数式 的值为 .
6．若 ，则 的值是 ．
7．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
求被手遮住部分的代数式，并将其化简．
8．先化简，再求值： ，其中 与2，3构成 的三边长，且 为整数.
15.2.5 整数指数幂
【夯实基础】
1.计算：＝ ． 2. 的相反数是 ．
3.下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4.计算： = ． （2m2n﹣2）2•3m﹣3n3= ．
= ． a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣2= ．
________． _______________．
__________ _______________．
5.若(x-2)0-3(2x-6)-2有意义，则x的取值范围是_____________。
6.化简下列各式，使其结果只含正整数指数幂：
(1)； (2).
7.计算：(1)； （2）a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2．
8．计算：．
9.先化简，再求值：，其中．
【能力提升】
1．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．当时， ，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题：
3．对于实数a、b，规定新运算“✮”：a✮b=2a+b．如：1✮3=2×1+3，2✮(-5)=2×2+(-5)=-1．根据上面的定义，请你解决下列问题：
(1)列式计算： ①-3✮2；②✮；
(2)将式子✮(-8) 分解因式．
4．（1）仔细观察如图图形，利用面积关系写出一个等式：a2+b2＝ ．
（2）根据（1）中的等式关系解决问题：已知m+n＝4，mn＝﹣2，求m2+n2的值．
（3）小明根据（1）中的关系式还解决了以下问题：
“已知m+＝3，求m2+和m3+的值”
小明解法：
请你仔细理解小明的解法，继续完成：求m5+m﹣5的值
15.2.6 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【夯实基础】
1.把这个数据用科学记数法可表示为_______________．
2.下列用科学记数法表示的式子：①；②；③；④．其中不正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为5.2 × 10-5米． 将5.2 × 10-5用小数表示为________________．
4.某种新冠病毒的直径约为120纳米，已知1纳米＝0.000001毫米，120纳米用科学记数法表示为________________．
5.小数0.0…0314用科学记数法表示为3.14×，则原数中小数点后“0”的个数为________．
6．疫情防控，人人有责．引发新冠疫情的病毒粒子呈不规则形状，直径约．将数字用科学记数法表示为________________．
7.2020年新冠肺炎疫情在全世界蔓延，我国科学家经过不断的努力，终于研究出新冠肺炎的病毒特征，其病毒中的某种细菌的直径为，请用科学记数法表示该直径是____．
8．用小数表示下列各数：________，________．
9．“埃”是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，1埃等于厘米，用科学记数法表示为______．
10．某种粒的直径为0.000002032mm，用科学记数法表示是__________mm．
11．某种原子直径为1.2×10﹣2纳米，把这个数化为小数是__纳米．
12．清代袁枚的诗《苔》中有这样的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．据了解苔花的花粉直径大约仅有0.00000084米，该数据用科学记数法可表示为________________．
13．用科学记数法表示：
（1）0.00016；（2）；（3）1000.5；（4）0.00003万．
14．用小数表示下列各数：
（1）； （2）； （3）．
15．用科学记数法表示下列各式的结果：
（1）；（2）；（3）．
【能力提升】
1．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是( )
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107
2．某种流感病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为的形式，则a、n的值分别（ ）
A．8.23、7B．0.823、﹣6C．823、﹣9D．8.23、﹣7
3．下列计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．计算：___________.（科学计数法表示）
5．_____．
6．汉语言文字博大精深，丰富细腻，易于表达．比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是秒．近似数精确的数位应为____________位．
三、解答题：
7．纳米是非常小的长度单位，纳米米，把纳米的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．立方毫米的空间可以放多少个立方纳米的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
15.3.1 分式方程及其解法（1）
【夯实基础】
1.已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．B．C．D．
2.若，则的值为___________.
3.下列关于分式方程解的情况，正确的是（ ）
A．解为B．解为C．解为D．无解
4.解分式方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.解分式方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.方程的解是___________.
7.用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有__________．
9．方程的最简公分母是_____________________．
10．当______时，分式的值为． 11．方程的解昰___________．
12．分式方程的解为_________．
13．若关于x的分式方程的解为，则常数a的值________________．
14．当________时，分式与分式互为相反数．
15．解下列方程：
(1)； (2)．
(3) (4)
16.当x取何值时，分式与互为相反数．
17.下面是解分式方程的一般过程，阅读完后请填空：解分式方程：，
解：方程两边同乘以，得；(第一步)
解得：．
检验：当时，，因此不是原方程的解．
所以，原分式方程无解．
(1)第一步计算中的是____________，进行这一步运算的依据是__________________；
(2)解分式方程的基本方法是____________，即把____________转化为________________________求解．解分式方程最后一定要_____________________．
(3)用类比的方法解分式方程．
【能力提升】
1.观察下面的变化规律，解答下列问题：
=1-，=-，=-，=-．
(1)若n为正整数，猜想= ；
(2)根据上面规律解方程：=．
2.请阅读某同学解下面分式方程的具体过程：
解分式方程：．
解：，①
，②
，③
∴．④
∴．
把代入原方程检验，得是原方程的解．请回答：
(1)得到①式的做法是_________；得到②式的具体做法是_______；得到③式的具体做法是______________；得到④式的根据是_________．
(2)上述解答正确吗？答：________．错误的原因是_______．（若第一格回答“正确”的，此空不填）．
(3)给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的进行修改或加上即可）．
15.3.2 分式方程及其解法（2）
【夯实基础】
1．若关于x的方程有增根，则的值为______．
2．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为______．
3．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是______．
4．若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为______．
5．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2B．1C．且D．无法确定
6.已知关于的分式方程有增根，则______．
7.关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是____________
8.若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．
9.已知关于x的分式方程有增根，则m的值为_____
10.若关于x的方程无解，则m＝_____．
11.若分式方程有增根，求k的值．
12.若关于的方程有增根，求增根和的值．
13.已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
14.已知关于x的方程
(1)当m取何值时，此方程的解为；
(2)当m取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【能力提升】
1.关于的方程无解，则______．
2.关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的整数的值为____________．
3.已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
15.3.3 分式方程的应用
【夯实基础】
1．小颖乘公交车去离家20千米的展览馆看画展，出发15分钟后，爸爸发现小颖忘带门票了，于是立即开车给她送门票，结果两人同时到达展览馆，若开车的平均速度是公交车的平均速度的1.5倍．若设公交车的平均速度为千米/时，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同，求每袋甲种口罩的进价是多少元？设每袋甲种口罩的进价是x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何?”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两?若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
4．某地为了响应习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务，列出方程，则表示（ ）
A．原计划每天种植树木的数量B．志愿者加入后实际每天种植树木的数量
C．原计划参与种植树木的人数D．志愿者加入后实际参与种植树木的人数
5．某生态园计划种植一批核桃，原计划总产量达66万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克?设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为( )
A．B．
C．D．
6．元旦节前后，小丽两次到同一超市购买同一种彩带用于装饰．节前，按标价购买，用了90元；节后由于超市打折促销，按标价的5折购买，用了60元，两次一共购买了35卷．这种彩带每卷标价多少元？设这种彩带每卷标价x元，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主要干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需要的时间与原计划植45棵所需要的时间相同，则现在平均每天植树( )
A．20棵B．15棵C．10棵D．25棵
8．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？设实际平均每天施工x平方米，则可列出方程为_______________________________
9．北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为_______分钟．
10．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装个鸡蛋，根据题意可列方程为__________．
11．某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______．
12．甲、乙二人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙早20min到达目的地设甲的速度为3xkm/min，列方程为__________．
13．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下200件按7折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．
14．某地为美化环境，计划种植树木1000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前2天完成任务，则实际每天植树__________棵．
15．某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析，在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类20桶垃圾．机器人分类120桶垃圾所用的时间与人工分类80桶垃圾所用的时间相同，求机器人每小时能分类多少桶垃圾？
16．某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程
(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？
17.干挑面是长兴美食一张名片，某面馆推出两款经典美食干挑面，一款是色香味俱全的“海鲜干挑面”，另一款是清香四溢的“排骨干挑面”．已知份“海鲜干挑面”和份“排骨干挑面”需元；份“海鲜干挑面”和份“排骨干挑面”需元．
(1)求“海鲜干挑面”和“排骨干挑面”的单价；
(2)猪油是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克猪油价格比上个月涨了，同样花元买到的猪油数量比上个月少了千克，求本月猪油的价格．
18．为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务，求原计划每小时检测多少人？
【能力提升】
1．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20B．21C．19 D．19
2．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）
A．13小时B．13小时C．14小时D．14小时
3．某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在讯期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
4．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国生态文明建设不断迈出坚实步伐，绿色发展成就举世瞩目．在今年的植树造林活动期间，某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元．第二天每棵雪松售价_______元．
5．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差_________分钟.
6．某市为治理污水，需要铺设一段全长600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20 m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为_________．
7．某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……
从一个顶点出发的对角线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①___________
多边形对角线的总条数/条
2
5
9
14
20
……
②___________
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．