2024-2025学年北京市石景山区高一下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市石景山区高一下学期期末考试数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=2+i，则z=( )
A. 2−iB. 2+iC. −2+iD. −2−i
2.已知平面向量a=2,−1,b=m,4，且a⇀⊥b⇀，则m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.已知csα=35，则sin32π−α=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. y=cs2xB. y=sinx+π4C. y=sinxcsxD. y=sin2x
5.将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移φφ>0个单位长度，得到函数y=sin2x−π3的图象，则φ的最小值为( )
A. φ=π6B. φ=π3C. φ=2π3D. φ=5π6
6.已知▵ABC中，a=2,b=2 3,B=π3，则角A的值是( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
7.已知i和j是夹角为60 ∘的单位向量，a=i−2j，b=2i，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. − 55B. 55C. 0D. 33
8.设α∈R，则“sin2α= 32”是“tanα= 3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在▵ABC中，cs2B2=c+a2c，则▵ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
10.已知函数fx=Asinωx+π3+B，其中A>0，ω>0，直线y=m与y=fx的图象相交，其中两个相邻交点分别是Mx1,fx1、Nx2,fx2，当m=3或m=−1时，MN取最大值为π，则fπ6=( )
A. 3+1B. 3C. 3D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则z的模为 ．
12.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线AC1的长为 ；若E为BC边上一点，则四棱锥E−ADD1A1的体积为 ．
13.在△ABC中，a=4,B=30 ∘,请给出一个b值 ，使该三角形有两解．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB⇀⋅OP⇀的值为 ；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB⇀⋅OP⇀的取值范围为 ．
15.已知函数fx=sinx+ 3csx，x∈R.给出下列三个结论：
①fx是偶函数；
②fx的值域是−2,2；
③fx在区间2kπ+π4,2kπ+πk∈Z上单调递减；其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知sinα=35，且α∈π2,π．
(1)求csα,tanα的值；
(2)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P−1, 3，求csα+2β的值．
17.已知平面向量a，b满足∣a∣=4，∣b∣=2，且a与b的夹角为120∘．
(1)求a⋅b以及∣a+b∣；
(2)若向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值．
18.已知函数fx= 32sin2x−12cs2x．
(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈0,m时，fx的取值范围为−12,1，求m的最大值．
19.在▵ABC中，sinA−csA= 22．
(1)求A的值；
(2)若c=2，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和▵ABC的面积．
条件①：C=π4；条件②：a= 3+1．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.已知n为正整数，集合Mn=x1,x2,⋯,xnxi∈−1,1,i=1,2,⋯,n，对于Mn中任意两个元素α=a1,a2,⋯,an和β=b1,b2,⋯,bn，定义：α,β=a1b1+a2b2+⋯+anbn．
(1)若α，β∈M2且α=1,−1，写出所有的β使得α,β=0；
(2)已知集合A满足A⊆M4，且对集合A中任意两个元素α，β都有α,β=0.设集合A的元素个数为k，求k的最大值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用共轭复数的特点即可求出结果．
【详解】复数z=2+i，则z=2−i，
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】由等价于，即可计算出答案．
【详解】因为，
所以a⋅b=2,−1⋅m,4=2m−4=0解得：m=2，
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】利用诱导公式即可求得结果．
【详解】由诱导公式得sin32π−α=−csα=−35
故选：D
4.【答案】C
【解析】【分析】利用二倍角公式及正(余)弦函数的性质判断即可；
【详解】对于A：y=fx=cs2x=cs2x−sin2x=f−x为偶函数，故 A错误；
对于B：y=sinx+π4的最小正周期为2π，故 B错误；
对于C：y=sinxcsx=12sin2x，最小正周期T=2π2=π，且为奇函数，故 C正确；
对于D：y=sin2x，则f(−x)=sin−2x=sin2x=f(x)，故为偶函数，故 D错误；
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象变换，属基础题．
根据函数图象平移规则，得2φ=2kπ+π3,k∈Z，进而可求得结果．
【解答】
解：将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移φφ>0个单位长度，
即可得y=sin2x−2φ=sin2x−π3，
故可得2φ=2kπ+π3,k∈Z，解得φ=kπ+π6,k∈Z，
又因为φ>0，故可得φmin=π6．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案．
【详解】由正弦定理可得：asinA=bsinB，则2sinA=2 3sinπ3，
解得：sinA=12，则A=π6或A=5π6，
因为b>a，所以B>A，所以A=π6．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用两个向量的夹角公式即可求得结果．
【详解】a⋅b=i−2j⋅2i=2i2−4i⋅j=2i2−4i⋅jcs60∘=2−2=0，
所以a⊥b，a与b的夹角的余弦值为0．
故选：C
8.【答案】B
【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
【详解】由sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1= 32，
得 3tan2α−4tanα+ 3=0，解得tanα= 3或tanα= 33，
由tanα= 3，得sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2 33+1= 32，
所以“sin2α= 32”是“tanα= 3”的必要不充分条件．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】利用半角公式结合正弦定理、两角和的正弦公式化简计算得sinBcsC=0，根据三角形内角的范围计算可得C=π2，即可得出结论．
【详解】由题意，cs2B2=1+csB2=c+a2c，化简整理得csB=ac，
根据正弦定理，可得csB=sinAsinC，即sinA=csBsinC，
因为A+B+C=π，所以sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC=csBsinC，
则sinBcsC=0，
又∵B,C∈0,π，∴sinB≠0，
则csC=0,C=π2．
所以▵ABC的形状为直角三角形．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】【分析】分析得出函数fx的最大值和最小值，可求得A、B的值，并得出该函数的最小正周期，求出ω的值，可得出函数fx的解析式，代值计算可得fπ6的值．
【详解】由已知可得，fxmax=3，fxmin=−1且函数fx的最小正周期为T=π，
则A=fxmax−fxmin2=2，B=fxmax+fxmin2=1，ω=2πT=2，
则fx=2sin2x+π3+1，则fπ6=2sin2π3+1= 3+1．
故选：A．
【点睛】方法点睛：根据三角函数fx=Asinωx+φ+b的部分图象或基本性质求函数解析式的方法：
(1)求A、b:A=fxmax−fxmin2，b=fxmax+fxmin2；
(2)求出函数的最小正周期T，进而得出ω=2πT；
(3)取特殊点代入函数可求得φ的值．
11.【答案】1
【解析】【详解】z=3+4i5，所以z= 352+452=1．
12.【答案】 6 ； ； ； ； ；
；23
【解析】【分析】结合图形，借助于直角三角形可求AC1的长，利用BC//平面ADD1A1可将四棱锥E−ADD1A1的体积转化为四棱锥C−ADD1A1的体积，即可求得．
【详解】
如图，连接AC，在Rt▵ACC1中，AC= 2，AC1= ( 2)2+22= 6；
因BC//AD，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，则BC//平面ADD1A1，
因E为BC边上一点，故四棱锥E−ADD1A1的体积即四棱锥C−ADD1A1的体积，
而VC−ADD1A1=13SADD1A1×DC=13×1×2×1=23，
即四棱锥E−ADD1A1的体积为23．
故答案为： 6；23．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】【分析】先由正弦定理得到sinA=2b，由三角形有两个解，可得b