2024-2025学年北京市石景山区高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市石景山区高一下学期期末考试数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=2+i，则z=( )
A. 2−iB. 2+iC. −2+iD. −2−i
2.已知平面向量a=2,−1,b=m,4，且a⇀⊥b⇀，则m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.已知csα=35，则sin32π−α=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. y=cs2xB. y=sinx+π4C. y=sinxcsxD. y=sin2x
5.将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移φφ>0个单位长度，得到函数y=sin2x−π3的图象，则φ的最小值为( )
A. φ=π6B. φ=π3C. φ=2π3D. φ=5π6
6.已知▵ABC中，a=2,b=2 3,B=π3，则角A的值是( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
7.已知i和j是夹角为60 ∘的单位向量，a=i−2j，b=2i，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. − 55B. 55C. 0D. 33
8.设α∈R，则“sin2α= 32”是“tanα= 3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在▵ABC中，cs2B2=c+a2c，则▵ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
10.已知函数fx=Asinωx+π3+B，其中A>0，ω>0，直线y=m与y=fx的图象相交，其中两个相邻交点分别是Mx1,fx1、Nx2,fx2，当m=3或m=−1时，MN取最大值为π，则fπ6=( )
A. 3+1B. 3C. 3D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则z的模为 ．
12.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线AC1的长为 ；若E为BC边上一点，则四棱锥E−ADD1A1的体积为 ．
13.在△ABC中，a=4,B=30 ∘,请给出一个b值 ，使该三角形有两解．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB⇀⋅OP⇀的值为 ；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB⇀⋅OP⇀的取值范围为 ．
15.已知函数fx=sinx+ 3csx，x∈R.给出下列三个结论：
①fx是偶函数；
②fx的值域是−2,2；
③fx在区间2kπ+π4,2kπ+πk∈Z上单调递减；其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知sinα=35，且α∈π2,π．
(1)求csα,tanα的值；
(2)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P−1, 3，求csα+2β的值．
17.已知平面向量a，b满足∣a∣=4，∣b∣=2，且a与b的夹角为120∘．
(1)求a⋅b以及∣a+b∣；
(2)若向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值．
18.已知函数fx= 32sin2x−12cs2x．
(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈0,m时，fx的取值范围为−12,1，求m的最大值．
19.在▵ABC中，sinA−csA= 22．
(1)求A的值；
(2)若c=2，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和▵ABC的面积．
条件①：C=π4；条件②：a= 3+1．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.已知n为正整数，集合Mn=x1,x2,⋯,xnxi∈−1,1,i=1,2,⋯,n，对于Mn中任意两个元素α=a1,a2,⋯,an和β=b1,b2,⋯,bn，定义：α,β=a1b1+a2b2+⋯+anbn．
(1)若α，β∈M2且α=1,−1，写出所有的β使得α,β=0；
(2)已知集合A满足A⊆M4，且对集合A中任意两个元素α，β都有α,β=0.设集合A的元素个数为k，求k的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.B
10.A
11.1
12. 6 ；23
13.3(答案不唯一)
14.8；−8,8
15.①③
16.(1)因为α∈π2,π，所以csα=− 1−sin2α=−45，
则tanα=sinαcsα=−34．
(2)角β终边过点P−1, 3，则∣OP∣=2．
sinβ= 32，csβ=−12．
所以sin2β=2sinβcsβ=− 32，cs2β=2cs2β−1=−12．
csα+2β=csαcs2β−sinαsin2β=4+3 310．

17.(1)
a⋅b=|a|⋅|b|csa,b=4×2×cs120∘=−4，
则|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=16+2×(−4)+4=12，
故|a+b|=2 3．
(2)因为向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，
所以2a−λb与λa−3b共线．
则存在实数k，使得2a−λb=kλa−3b=λka−3kb，
又因为a与b不共线，所以2=kλ−λ=−3k，解得λ=± 6，
所以实数λ的值为：± 6．

18.(1)由fx= 32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，
则最小正周期为T=2π2=π，
令t=2x−π6，因为y=sint的单调递增区间是−π2+2kπ,π2+2kπ，k∈Z，
所以−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，即−π3+2kπ≤2x≤2π3+2kπ，k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ，k∈Z；
(2)当x∈0,m时，2x−π6∈−π6,2m−π6，
令t=2x−π6，则t∈−π6,2m−π6，所以sint的取值范围为−12,1，
由y=sint的性质可知，π2≤2m−π6≤7π6，解得π3≤m≤2π3，
所以m的最大值为2π3．

19.(1)因为sinA−csA= 22，
即 2sinA−π4= 22，所以sinA−π4=12．
因为A∈0,π，所以A−π4∈−π4,34π，
所以A−π4=π6，A=512π．
(2)若选①：由C=π4，A=512π，所以B=π−π4−512π=π3．
由正弦定理csinC=bsinB，即2 22=b 32，解得b= 6，
又sinA=sin512π=sinπ6+π4= 6+ 24，
所以S▵ABC=12bcsinA=3+ 32．
若选②：因为a= 3+1，A=512π，sinA=sin512π=sinπ6+π4= 6+ 24．
由正弦定理asinA=csinC，即得sinC= 22，因为c