2024-2025学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=2+i，则z−=( )
A. −2+iB. 2−iC. −2−iD. 1+2i
2.已知平面向量a=(2,−1),b=(m,4)，且a⊥b，则m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.已知csα=35，则sin(32π−α)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. y=cs2xB. y=sin(x+π4)C. y=sinxcsxD. y=sin|2x|
5.将函数y=sin(2x)的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y=sin(2x−π3)的图象，则φ的最小值为( )
A. φ=π6B. φ=π3C. φ=2π3D. φ=5π6
6.已知△ABC中，a=2,b=2 3,B=π3，则角A的值是( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
7.已知i和j是夹角为60°的单位向量，a=i−2j，b=2i，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. − 55B. 55C. 0D. 33
8.设α∈R，则“sin2α= 32”是“tanα= 3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在△ABC中，sin2B2=c−a2c，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)+B，其中A>0，ω>0，直线y=m与y=f(x)的图象相交，其中两个相邻交点分别是M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，当m=3或m=−1时，|MN|取最大值为π，则f(π6)=( )
A. 3+1B. 3C. 3D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则z的模为______．
12.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线AC1的长为______；若E为BC边上一点，则四棱锥E−ADD1A1的体积为______．
13.在△ABC中，a=4，B=30°，请写出一个b的值是______，使得满足条件的三角形恰有两个．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB⋅OP的值为______；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB⋅OP的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=|sinx|+ 3csx，x∈R.给出下列三个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)的值域是[−2,2]；
③f(x)在区间[2kπ+π4,2kπ+π](k∈Z)上单调递减；
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知sinα=35，且α∈(π2,π)．
(Ⅰ)求csα，tanα的值；
(Ⅱ)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−1, 3)，求cs(α+2β)的值．
17.(本小题8分)
已知平面向量a，b满足|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为120°．
(Ⅰ)求a⋅b以及|a+b|；
(Ⅱ)若向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)= 32sin2x−12cs2x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ)当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围为[−12,1]，求m的最大值．
19.(本小题8分)
在△ABC中，sinA−csA= 22．
(Ⅰ)求A的值；
(Ⅱ)若c=2，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和△ABC的面积．
条件①：C=π4；条件②：a= 3+1．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题8分)
已知n为正整数，集合Mn={(x1,x2,⋯,xn)|xi∈{−1，1}，i=1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,⋯,an)和β=(b1,b2,⋯,bn)，定义：[α,β]=a1b1+a2b2+⋯+anbn．
(Ⅰ)若α，β∈M2且α=(1,−1)，写出所有的β使得[α,β]=0；
(Ⅱ)已知集合A满足A⊆M4，且对集合A中任意两个元素α，β都有[α,β]=0.设集合A的元素个数为k，求k的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.B
10.A
11.1
12. 6 23
13.3(答案不唯一)
14.8 [−8,8]
15.①③
16.(Ⅰ)因为sinα=35，且α∈(π2,π)，
所以csα=− 1−sin2α=−45，
所以tanα=sinαcsα=−34；
(Ⅱ)因为角β终边过点P(−1, 3)，所以|OP|= 1+3=2．
所以sinβ= 32，csβ=−12，
所以sin2β=2sinβcsβ=− 32，cs2β=2cs2β−1=−12，
所以cs(α+2β)=csαcs2β−sinαsin2β=4+3 310．
17.(Ⅰ)a⋅b=|a|b|cs=−4，
|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=12，
所以|a+b|=2 3；
(Ⅱ)因为向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，
所以2a−λb与λa−3b共线，
则存在实数k，使得2a−λb=k(λa−3b)=λka−3kb，
又因为a与b不共线，所以2=kλ−λ=−3k，解得λ=± 6
所以实数λ的值为± 6．
18.(Ⅰ)f(x)= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
最小正周期为T=π，
所以−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，
即−π3+2kπ≤2x≤2π3+2kπ,k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；
(Ⅱ)当x∈[0,m]时，2x−π6∈[−π6,2m−π6]，
令t=2x−π6，则t∈[−π6,2m−π6]，所以sint的取值范围为[−12,1]，
由y=sint的性质可知，π2≤2m−π6≤7π6，解得π3≤m≤2π3
所以m的最大值为2π3．
19.(Ⅰ)因为sinA−csA= 22，即 2sin(A−π4)= 22，
所以sin(A−π4)=12，因为A∈(0,π)，所以A−π4∈(−π4,34π)，
所以A−π4=π6，A=512π．
(Ⅱ)若选条件①：
因为C=π4，A=512π，所以B=π−π4−512π=π3．
则由正弦定理得csinC=bsinB，即2 22=b 32，解得b= 6，
又sinA=sin512π=sin(π6+π4)=sinπ6×csπ4+csπ6×sinπ4= 6+ 24，
所以S△ABC=12bcsinA=3+ 32．
若选条件②：
因为a= 3+1，A=512π，sinA=sin512π=sin(π6+π4)=sinπ6×csπ4+csπ6×sinπ4= 6+ 24，
由正弦定理得asinA=csinC，即 3+1 6+ 24=2sinC，得sinC= 22，所以C=π4，
所以B=π−π4−512π=π3，由正弦定理csinC=bsinB，即2 22=b 32，解得b= 6，
所以S△ABC=12bcsinA=3+ 32．
20.(Ⅰ)设β=(b1,b2)，[α,β]=b1−b2=0，
所以b1=b2=1或b1=b2=−1．
β=(1,1)或β=(−1,−1)；
(Ⅱ)k的最大值为4．
因为α，β∈A且[α,β]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4=0ai，bi∈{−1,1}，i=1，2，3，4，
则α，β中两个位置上的数相同，剩下的两个位置相反，
设a1=(a1,a2,a3,a4)，则k≤6，
取a2=(−a1,−a2,a3,a4)，a3=(−a1,a2,−a3,a4)，a4=(a1,−a2,−a3,a4)，
此时满足[αi,αj]=0，i，j∈{1,2,3,4}且i≠j，
假设存在α5使得[a1,a5]=0，
则a5=(−a1,a2,a3,−a4)或a5=(a1,−a2,a3,−a4)或a5=(a1,a2,−a3,−a4)
当a5=(−a1,a2,a3,−a4)时，[a4,a5]=−4，
当a3=(a1,−a2,a3,−a4)时，[a3,a5]=−4，
当a5=(a1,a2,−a3,−a4)时，[a2,a5]=−4，
所以找不到α5使得[α1,α3](=1，2，3，4)均为0，k的最大值为4．