《不等式的证明 综合法与分析法》教学设计

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2.2 课时6 综合法与分析法一、教学目标（一）核心素养通过对综合法与分析法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的综合法.2.了解直接证明分析法，注意格式规范.2.了解分析法和综合法的思考过程.（三）学习重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（四）学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，思考：什么是综合法？什么是分析法？想一想：两种方法有什么区别与联系？2．预习自测（1）综合法又叫顺推证法，它的特点是 .【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】由因到果【思路点拨】了解综合法的原理【答案】由因到果（2）分析法的特点是 .【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】执果索因.【思路点拨】了解分析法的原理【答案】执果索因要证明，最好用什么方法？【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】要证，只需证，只需证，只需证，只需证，显然成立，原命题成立.【思路点拨】分析法由果寻因，证明问题很方便【答案】分析法 (二)课堂设计知识回顾（1）如果，那么，当且仅当时，等号成立.（2）如果，那么，当且仅当时，等号成立.（3）如果，那么；如果，那么.2．问题探究探究一 综合法与分析法●活动① 综合法与分析法的定义综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”.以前得到的结论，可以作为证明的根据.特别的，是常常要用到的一个重要不等式.例1 都是正数，求证：【知识点】综合法；基本不等式【数学思想】【解题过程】证明：由重要不等式可得【思路点拨】基本不等式：一正二定三取等【答案】见解析同类训练 证明：当时, .【知识点】综合法；基本不等式【数学思想】【解题过程】证明：因为，所以. 【思路点拨】配凑定值，用基本不等式可证【答案】见解析例2 设，求证【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一 综合法，注意到，即，由上式即得，从而成立.证法二 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证.【思路点拨】因式分解化简不等式.【答案】见解析同类训练 求证【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一 综合法因为,所以,所以.证法二 分析法要证，只需证,只需证，只需证，显然成立，所以原不等式成立.【思路点拨】一元二次，配方.【答案】见解析议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？【设计意图】理解和掌握综合法与分析法.探究二 综合法与分析法的特点●活动① 综合法与分析法的特点如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用综合法的证法一就是采用分析法的证法二就是 如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为例3 证明：.【知识点】综合法；分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证法一 因为，， 所以三式相加得，两边同时除以2即得.证法二 因为所以成立.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性.【答案】见解析同类训练 求证：.【知识点】综合法；分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为，， 所以三式相加得，两边同时除以2即得.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性.【答案】见解析例4 证明：【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】 证明 要证只需证 只需证只需证 只需证，显然成立，原不等式成立. 此时显然成立.因此成立.【思路点拨】化简，配方.【答案】见解析同类训练 已知,求证：.【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 要证,只需证,只需证,只需证,因为，所以.【思路点拨】化简，因式分解.【答案】见解析【设计意图】体会综合法与分析法在证明不等式时的异同．探究三 巩固提升●活动① 巩固提升例5 已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 ==由于都是正数，所以而，可知，即（等号在时成立）【思路点拨】本题可以考虑利用因式分解公式 着手.【答案】见解析同类训练 已知,且,求证：.【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 由，得，又由基本不等式及得,,,上述三个不等式相加得【思路点拨】基本不等式.【答案】见解析同类训练 如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：，其中是互不相等的正数，且.【知识点】基本不等式；综合法【数学思想】【解题过程】，当且仅当时取等号.三式相乘的，得，所以，当且仅当，即时取等号，因为是互不相等的正数，所以.【思路点拨】注意取等三个正数的均值不等式的条件【答案】见解析【设计意图】掌握用综合法与分析法证明不等式．3. 课堂总结知识梳理解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。综合法是从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.重难点归纳（1）会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（2）根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.（三）课后作业基础型 自主突破1．若，则必有(　　)A. B. C. D.【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】因为，所以，即【思路点拨】分式化整式【答案】C2．设，且，则(　　)A． B． C． D．【知识点】基本不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】因为，且，所以，所以，解得.【思路点拨】基本不等式中“和”“积”结构转化【答案】A3．若，且，则下列不等式成立的是(　　)A． B． C. D．【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】因为，将三式相加，得，即.又因为．【思路点拨】基本不等式【答案】B4．已知，则“”是“”成立的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当时，两式相加得，两式相乘得.反之，当时，不一定成立．如：也满，但不满足.【思路点拨】取特殊值排除选项【答案】B5．如果，则实数应满足的条件是________．【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】.【思路点拨】因式分解【答案】6．若，已知下列不等式：①；②；③；④.其中正确的不等式的序号为________．【知识点】不等式【数学思想】【解题过程】因为，所以，故②③错．【思路点拨】不等式同号取倒反向，特殊值【答案】①④能力型 师生共研7.在中角所对的边分别为，，则的取值范围是________．【知识点】基本不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】因为，所以，所以，又因为，所以.所以的取值范围是．【思路点拨】基本不等式求范围【答案】求证：.【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，显然成立，所以.【思路点拨】结构上有根号，可平方，分析法证明【答案】见解析探究型 多维突破9．设，则以下不等式中不恒成立的是(　　)A． B．C． D.【知识点】不等式的证明【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】因为，所以，，取，则B不成立；【思路点拨】取特殊值排除选项【答案】B10．已知是不相等的正数，且，求证：.【知识点】不等式的证明【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为是不相等的正数，且，所以.则，所以，当且仅当时取等号，所以，又因为,所以综上所述，.【思路点拨】因式分解后只有“和”“积”结构，用基本不等式转化为“和”求解【答案】见解析自助餐11.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的(　　)　 　　　　　 　　　 　　　A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要或充分条件【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】见教材【思路点拨】理解分析法证明问题的原理【答案】B12．若，，则下列式子中正确的是(　　)A． B． C． D．【知识点】不等式的证明【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】因为，，所以,又所以【思路点拨】特殊值法【答案】D13．已知，且，那么中最大的是________．【知识点】比较法【数学思想】【解题过程】因为，.【思路点拨】看结构选择方法比较大小【答案】14.若为正整数，则与的大小关系是________．【知识点】不等式的证明【数学思想】化归与转化思想【解题过程】要比较所以，即.【思路点拨】根式常常平方【答案】15.若不全相等的正数，求证：.【知识点】综合法；分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：(综合法)∵不全相等的正数，∴，且上述三个不等式中等号不能同时成立，∴.∴.即.【思路点拨】对数性质化简后用基本不等式【答案】见解析16.设均为正数，且.证明：(1)若，则；(2)是的充要条件．【知识点】综合法；分析法；充分必要条件.【数学思想】【解题过程】证明：(1)因为，，由题设，，得.因此.(2)①若，则，即.因为，所以，由(1)得.②若，则即，因为，所以.于是，因此，综上所述是的充要条件．【思路点拨】根式比较大小可平方做差，充要条件是既要充分又要必要，要证明两个方向，缺一不可.【答案】见解析