《不等式的基本性质》教学设计

这是一份《不等式的基本性质》教学设计，共12页。
1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： （2）判断：下列说法是否正确？① ② ③④ ⑤ ⑥2.预习自测（1）当 ，代数式的值不大于的值.【知识点】作差比较法【解题过程】【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】（2）若，则 A.B.C.D.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由，得，所以；当时，.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数满足怎样条件时，由能推出?【知识点】作差比较法【解题过程】，因为，所以当时，.【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当时，. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程.●活动② 认识作差比较法关于实数的大小关系，有以下基本事实：如果，那么是正数；如果，那么等于零；如果，那么是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较和的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 第二步：变形 第三步：定号 当时，；当时，；当时，第四步：结论当时，；当时，；当时，；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当时，；当时，；当时，；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较与的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 ，所以【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.如果，那么；如果，那么.即.如果，那么.即.如果，那么.如果，那么；如果，那么.如果，那么.如果，那么.通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：，如果，则，所以，即，同理如果，那么.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么.对于上述（2），可由如下方法证明：，所以.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知，求证：.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为，所以.所以，故.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果，那么.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为，所以，又因为，所以两式可相乘，得，所以.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若，以下结论中正确的有 ①； ②； ③； ④【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由，得，所以，①正确，②③错误；，④正确法2：取，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：如果，那么；（2）如果，那么；如果，那么；（4）如果，那么.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知的正负；（2）是假命题，因为当时不成立；（3）是假命题，因为不知的正负；（4）是真命题，因为，由同向不等式的可加性知,.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设, 则 “”是“”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若，则；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数，下列五个命题中:①若，则；②若，则；③若，则； ④若则；⑤若，则.其中真命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】，当时，不成立，①是假命题；，当时，不成立，②是假命题；因为，所以，，，③是真命题；当同号时，成立，而异号时，不成立，④是假命题；时，不一定成立，只有当时，成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果, 那么（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D 4.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【知识点】不等式性质及对数运算.【解题过程】：由 或 或【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设,则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由 , 又, .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当时，，，选项、都不成立，又，，选项不成立，又，即成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是（ ）A.或 B.或 C. D.【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题为真命题时，要使，只需，因为，所以，所以，所以①；命题为真命题时，，即有实数根，所以，解得②.因为是真命题，所以均为真命题.①②取交集得或.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当时，，所以①为假命题；当与异号时，，，所以②为假命题；因为，所以，③为真命题. ④若，则有可能或，即中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是（ ）A., B., C., D.,【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知，则下列不等式中总成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质【解题过程】.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果满足，且，那么下列选项不恒成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质.【解题过程】且，故，由不等式的性质知A，C，D都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知且，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设且，则（ ）A. B. C. D.【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A中若时,结果错,故A不正确;选项B中若时,结果错,故B不正确;选项C中若时,结果错,故C不正确;在选项D中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当时，下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D.【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当时，，，，所以.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设,则的大小关系是（ ）A. B. C. D.【知识点】比较大小.【解题过程】，，，所以最小，而，，所以，即，所以综上得：.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若，则的取值范围为 ，的取值范围为 .【知识点】不等式的性质【解题过程】因为，所以，所以 ；，所以，所以，即.【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】；