湖南省湘潭市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 实部为（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
2. 已知集合 ， ，则集合 中的元素之积为（ ）
A 5 B. 9 C. 45 D. 117
3. 一个杯口半径为 ､高为 的圆柱形水杯盛有水（不计厚度），当杯底水平放置时，水面的高度为
水杯高度的 ，若放入一个半径为 的球（球被完全浸没），水无溢出且恰好充满水杯，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为 0.7，乙投中的概率为 0.8
，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（ ）
A 0.38 B. 0.56 C. 0.26 D. 0.52
5. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 矩形 中， ， ，过 的一条直线与直线 ，直线 分别相交于点 ， ，其中
， ，则 的面积的最小值为（ ）
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A. B. 4 C. D. 6
7. 已知一组样本数据为 ，这组数据的极差为 ，则该组样本数据的第 65 百分位数不
可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 在 中，A 是锐角，且 ，则 的形状一定为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递增 B. 的值域为
C. D. 的零点小于
10. 已知复数 ， 是方程 两个根，且在复平面内， 对应的点 在 对应的点 的上
方， 为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 对于函数 （ ）， ， ， ，2， 相邻零
点之间的距离为 ，直线 既是 图象的对称轴也是 图象的对称轴， 的最大值与
的最小值之差为 5，则（ ）
A.
B.
C. 存在一条直线是 图象的对称轴但不是 图象的对称轴
D. 存在一点既是 图象的对称中心也是 图象的对称中心
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知边长为 4 的菱形 的一个内角为 ，则 _____．
13. 已知命题 “ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为_____.
14. 在 中， ， ，则 BC 的最小值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量 ， .
（1）若 ⊥ ，求 的值；
（2）若 ，且 与 的夹角为锐角，求 的取值范围.
16. 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）证明： .
17. 记 中的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 边上的中线的长度为 ，求 a 的值．
18. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为 21.0975 公里，为全程马拉松距离的一半．20 世纪 50 年代，
一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解
人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参
与知识竞赛者按年龄分成 5 组，其中第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，
第五组 ，得到如图所示的频率分布直方图．
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（1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）；
（2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若
有甲（年龄 36），乙（年龄 42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，
再随机抽取 2 名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
（3）若第四组宣传使者 年龄的平均数与方差分别为 36 和 1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别
为 42 和 2，据此估计年龄在 内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
19. 如图，在三棱台 中， ， 是边长为 的等边三角形，且 ，
， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 的长；
（3）求二面角 的余弦值.