江西省鹰潭市2022-2023学年高一数学下学期期末质量检测试题（Word版附解析）

鹰潭市2022—2023学年度下学期期末质量检测

高一数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟．满分150分．

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列说法正确的是（    ）

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C. 底面是矩形的四棱柱是长方体

D. 三棱台有8个顶点

【答案】B

【解析】

【分析】可通过反例判断A错误；由圆台的性质判断B正确；由长方体的性质判断C错误；通过图形判断D错误.

【详解】各个面都是三角形的几何体如下图所示：

该几何体不是三棱锥，故选项A错误；

由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项B正确；

若四棱柱的底面是矩形，侧棱与底面矩形不一定垂直，故选项C错误；

如图，

三棱台有6个顶点，故选项D错误.

故选：B

2. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得，即可求出的值，在求出的坐标，从而求出其模.

【详解】因为，，且，所以，所以，

所以，，所以.

故选：D.

3. 已知角，且角θ的终边所在直线经过点，则x的值为（    ）

A. ±2 B. 2 C. -2 D. -4

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数的定义与诱导公式求解即可.

【详解】，所以.

故选：B

4. 北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得北极阁顶部M的仰角为15°，北极阁的高度约为（    ）

A. 45m B. 52m C. 60m D. 65m

【答案】C

【解析】

【分析】在中求得AC，然后在中，利用正弦定理求得MC即可.

【详解】解：由题意得：在中，，

在中，，，

．

由正弦定理得，，

得，

故MN=60．

故选：C

5. 将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.

【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是

故选：A

【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.

6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解.

【详解】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，

若丁的判断正确，即，则，

此时丙的判断错误，不符合题意；

若乙的判断正确，即，此时满足，且，

此时甲、丙都正确，符合题意.

故选：D.

7. 一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.

【详解】∵，∴，

.

故选：D.

8. 在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.

【详解】由正弦定理可知，①，

又因为，所以②，

将②式代入①式可得，整理得，

因为，所以，即，

又因为，所以，即可得

又有恒成立恒成立，

又因为是锐角三角形，所以,

即，解得，

所以，故.

设，则易知在区间上单调递减，故，

所以，

故，即.

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9. 已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（    ）

A. 的共轭复数为

B. 当时，为纯虚数

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D.

【详解】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A正确，

B选项：当时，，若，则为为实数，故选项B错误；

C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确；

D选项：由于，则，

，

，故，选项D正确．

故选：ACD.

10. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，根据条件，可得，得到，即可判断；B选项，根据，求出模即可判断；C选项，根据，计算出，即可判断；D选项，由，计算出，即可判断.

【详解】A选项，由题意可知，

故，故，A正确；

B选项，

，B错误；

C选项，

，故不垂直，C错误；

D选项，

，D正确.

故选：AD

11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.

C. 点是的一个对称中心

D. 函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.

【详解】由图可知，，所以，即，解得，

所以，又，

所以，解得，又，所以，

所以，故A正确，B错误；

，所以点是的一个对称中心，故C正确；

将函数的图象向左平移个单位得到，

显然函数不是偶函数，故D错误；

故选：AC

12. 在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ）

A. 直线与直线AC夹角60°

B. 平面截正方体所得截面的面积为18

C. 若，则动点F的轨迹长度为π

D. 若平面，则动点F的轨迹长度为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可；

对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面并求其面积即可；

对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，再根据弧长公式求解即可；

对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可.

【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；

对B，因为面面，平面面，

根据面面平行的性质可得平面截的交线，

故平面截的交点为的中点，

故，故截面为等腰梯形.

在等腰梯形中，高，

故截面的面积为，故B正确；

对C，若，则，

故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C错误；

对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形，

由四边形为平行四边形得.

又面面，所以面，

由四边形为平行四边形得，面面，

所以面.

由平面,得平面平面，

又平面，所以平面

故的轨迹为线段，其长度为，故D正确；

故选:ABD.

【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 复数，则__________.

【答案】##0.8

【解析】

【分析】利用复数代数形式的除法运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果．

【详解】，

，则.

故答案为：.

14. 已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】确定，再根据公式计算投影向量即可.

【详解】，

向量在向量上的投影向量坐标为.

故答案为：

15. 若时，函数取得最小值，则____．

【答案】##

【解析】

【分析】利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值.

【详解】（）

时，函数取得最小值，

则，则，

则，解之得

故答案：

16. 三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，过点作平面，为垂足，作，垂足为，根据，求得的范围，进而可求得的范围，从而可得出答案.

【详解】设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，

则为的中点，平面，

过点作平面，为垂足，则，，

作，垂足为，则四边形为矩形，

，得，，

则，所以，

故，所以，

则，即，

则，

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：根据，求得的范围，进而求得的范围，是解决本题的关键.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知复数，i是虚数单位.

（1）若是实数，求b的值；

（2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值.

注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.

【答案】（1）；（2）选①；选②；选③.

【解析】

【分析】（1）根据，先利用复数除法化简，再根据复数为实数求解；

（2）易知，选①根据：P在实轴上，则复数为实数求解；选②：根据点P在虚轴上，则复数为纯虚数求解；选③：根据点P在一､三象限的角平分线上，由实部和虚部相等求解.

【详解】（1）因为，

所以，

因为是实数，所以，解得；

（2），，

选①：因为 P在实轴上，所以，解得；

选②：因为点P在虚轴上，

所以，解得；

选③：因为点P在一､三象限的角平分线上，

所以，即，解得.

18. 设a为常数，函数

（1）设，求函数的单调区间及周期T；

（2）若函数为偶函数，令，此函数的值域．

【答案】（1）单调减区间为，，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案；

（2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案.

【小问1详解】

因为，所以，

令，解得，

即函数的单调增区间为；

令，解得，

函数的单调减区间为

函数的周期为.

【小问2详解】

函数为偶函数，

则，即，

即，

由于，则，故，

则，由于，故．

19. 在中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点.

（1）设，，.求；

（2）若F为线段AB的中点，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)把 和 看作基底，将 用基底表示即可；

(2)将 和 用基底 和 表示，运用数量积的规则计算即可；

【小问1详解】

，

，

由平面向量基本定理可得且，   

所以；

【小问2详解】

因为为线段的中点，   所以，

又，

因为在中，，，，  可得，

∴；

综上， ，.

20. 如图，是等腰直角三角形，，四边形ABCM是直角梯形，，，且，平面ADM⊥平面ABCM．

（1）求证：；

（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为？

【答案】（1）证明见解析   

（2）E为线段BD上靠近点B的三等分点．

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理证明，再根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，再根据棱锥的体积公式求解即可.

【小问1详解】

∵四边形ABCM是直角梯形，

，，，

∴，，

则，∴，

又平面平面，平面平面，

平面，

平面，

又平面，；

【小问2详解】

由（1）可知平面，，

设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，

即E到平面的距离，

∵是等腰直角三角形，，，

∴，

∴，

即，

∴，

∴E为线段BD上靠近点B的三等分点．

21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求b和的值．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理和题给条件求得，进而求得角B的大小；

（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用两角差的正弦公式即可求得的值．

【小问1详解】

因为，由正弦定理得

，

即．又，所以，

所以，即，

又因为，所以．

小问2详解】

在中，由余弦定理及，，，

得，故，

所以，又，所以，

，又，所以．

所以．

22. 向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究的面积问题：

（1）已知，，，求的面积；

（2）已知不共线的两个向量，，探究的面积表达式；

（3）已知，若抛物线上两点、满足，求面积的最小值．

【答案】（1）3    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据数量积夹角公式求，再求后，即可求三角形的面积；

（2）将三角形的面积公式转化为向量的坐标表示，即可求解；

（3）根据（2）的结果，表示的面积，再结合二次函数求最值.

【小问1详解】

由平面向量的数量积可得，则为锐角，

故，

因此，;

【小问2详解】

【小问3详解】

由已知可得，，

，

故当时，的面积取到最小值.