湖南省湘潭市2024届高三下学期3月质量检测数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量服从，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
3. 已知为复数，若为实数，则复数在复平面内对应点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 34B. 35C. 36D. 38
5. 的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2，小球的表面积为，若烧杯的厚度不计，则烧杯的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义域为偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知圆O的半径为1，A，B，C为圆O上三点，满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 最高水位12
C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D. 一天内限制船只出入的时长为
10. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，，B为圆O上的一个动点（不与A，C重合），记二面角为，为，则（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 三棱锥的外接球的半径为
C 若，则平面
D. 若，则
11. 已知，为双曲线：的左､右焦点，点满足，N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，则（）
A. 双曲线C的焦距为4
B. 直线与双曲线C的左､右两支各有一个交点
C. 的面积的最小值为1
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的一次项的系数为___________（用数字作答）.
13. 已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，直线，分别交抛物线C的准线于P，Q两点，若，，则___________.
14. 已知函数，记函数，的值域分别为，若，则的取值范围是___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑､短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加.
若采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名.
（1）求的值以及该班同学选择长跑的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别有关？
附：，其中.
16. 设各项都不为0的数列的前项积为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值.
17. 在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点，
（1）证明：平面平面；
（2）若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值.
18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，，为椭圆C的左､右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当时，的面积为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点，，直线，分别与椭圆C交于异于点P的M､N两点，记直线，的斜率分别为，，求的值，
19. 已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点，且.（参考数据：）
长跑
短跑
男同学
30
10
女同学
10
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10828