山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
5．如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地面多少尺？（ ）

A．4.5B．5.625C．4D．6.375
7．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）．

A．3米B．4米C．5米D．7米
8．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．
9．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）=32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算 ．
12．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 ．
13．如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．

14．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米．
15．如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为 .
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
(3)
17．下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰△ABE，点E在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰直角△CDF，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
19．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
(1)已知米，求落下所用的时间；
(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1米）
(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG．
(1)求证：；
(2)当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由．
22．阅读与思考，阅读下列材料，完成相应的任务．
欧几里德数
一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1．借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．
任务：如图2，图3，图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1．
(1)请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；
(2)小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图3中两个三角形的边XY，PQ表示，其思考与作图方法如下：
，取网格中，且，连接XY，则．
，取网格中线段，，以点O为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P，连接OP，且，则．
在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）．
23．学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.
【课本原型】（1）人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题．请你写出证明过程．
【问题解决】（2）如图（1），正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E，交于点F．试探索、、之间的数量关系，并给出证明
【问题研究】（3）如图（2），四边形是正方形，点G为上的一点，于点E，连接，若，请直接写出的面积．

解：
…第1步
…第2步
…第3步
…第4步
如图，四边形是正方形，点G为上的任意一点，于点E、，交于F．求证：．
《山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题》参考答案
1．D
解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中根指数是3，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
2．D
解：在四边形中，
，
四边形为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
3．C
解：A、不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4．C
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误，符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
5．A
解：四边形是菱形，且周长为，长为，
，，
，
，
，
，
，
故选：A
6．B
解：如图：

由题意知，尺，尺，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
折断处距离地5.625尺．
故选：B．
7．D
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度（米），
地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是（米）．
故选：D．
8．A
解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，，
∴，，
∴，
故选：A．
9．B
由题意得，四个直角三角形的面积为
由勾股定理得，大正方形的边长为
则有，即
，即
解得
则小正方形的面积为
故选：B．
10．B
解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，
∴AB＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为：．
故选：B．
11．6
解：．
故答案为：6．
12．6
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
13．/
解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
14．/
解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
15．
解：∵正方形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
（1）解：
；
（2）
；
（3）
17．(1)
(2)3，计算错误
(3)1
（1）解：第1步依据的乘法公式为，
故答案为：；
（2）解：

，
∴第3步计算错误， ，计算错误，
故答案为：3，计算错误；
（3）解：解：


．
18．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）．
解：（1）如图，△ABE为所求，AB=BE=5，；
（2）如图，△CDF为所求，，；
（3）．
理由：．
19．(1)秒
(2)秒
(3)米
（1）解：把代入得：（秒）；
（2）根据题意得：（米），
则（秒）；
（3）把代入得：，
解得：，
则物体开始下落的高度为64.8米．
20．(1)风筝的高度为21.6米
(2)他应该往回收线8米
（1）解：由题意得：，
在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米)，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）解：由题意得，米，
米，
（米)，
（米)，
他应该往回收线8米．
21．(1)见解析
(2)矩形，见解析
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
（2）四边形AEFG是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，AD=BC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
∵E为CD边的中点，
∴DE=EC，
∴△DEF≌△CEB，
∴FD=BC=AD，
∵ED=DG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵DE=DF，
∴EG=AF，
∴四边形AEFG是矩形．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）如图2中，线段，线段即为所求；
（2）如图4中，线段，线段即为所求；
23．（1）证明过程详见解答（2），理由见详解（3）8
（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，
由（1）得：，
∵，，
∴，
．