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2023-2024学年山西省忻州地区八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山西省忻州地区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a10÷a2=a5B. a2+a2=a4
C. (a+b)2=a2+b2D. (a2)3=a6
3.生物具有遗，遗传息大多储存在DN子上，一个DNA子直径约为0.000002cm，个数用科学数法可表示为)
A. 0.2×10−6cmB. 2×10−6cmC. 0.2×10−7cmD. 2×10−7cm
4.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为( )
A. 1：3B. 1：2C. 2：1D. 3：1
5.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AC=DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是( )
A. BF=CEB. AC//DFC. ∠B=∠ED. AB=DE
6.用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式.如图的数学等式是( )
A. (3a+b)(a+2b)=3a2+2b2
B. (3a+b)(a+2b)=3a2+6ab+2b2
C. (3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2b2
D. (3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+4b2
7.如图，在△CEF中，∠E=78°，∠F=47°，AB//CF，AD//CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( )
A. 45°
B. 47°
C. 55°
D. 78°
8.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是( )
A. 50x−50(1+30%)x=2B. 50x−5030%x=2
C. 5030%x−2=50xD. 50(1+30%)x−50x=2
9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E.下列结论：①∠ABM=∠ACD；②DM=DN；③∠AMD=45°；④S△EDN=S△ADM.其中正确结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为( )
A. 2B. −4C. 2或4D. 2或−4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知分式x+2x2−4x+a，当x=1时，分式无意义，则a= ______．
12.化简：3m2n9m= ______．
13.已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是______．
14.如图，地块△ABC中，边AB=40m，AC=30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为______m2．
15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，线段PQ=AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP= ______时，△ABC和△QPA全等．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解
(1)x3−4x2+4x
(2)a2(x−y)−4(x−y)
17.(本小题8分)
先化简：(a+7a−1−2a+1)÷a2+3aa2−1，再从−3、−2、−1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18.(本小题9分)
小丽解分式方程1−x−32x+2=3xx+1时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：2x+2−(x−3)=3x……第一步；
解得：x=52……第二步；
∴原分式方程的解是x=52……第三步；
(1)小丽解答过程从第 步开始出错，正确结果是 ，这一步的依据是 ．
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 ．
(3)请写出正确的解题过程．
19.(本小题10分)
如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．
20.(本小题12分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
21.(本小题5分)
仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−4m=3n解得n=−7，m=−21．
∴另一个因式为(x−7)，n的值为−21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)
∴当x=−3时，x2−4x+m=(x+3)(x+n)=0
即(−3)2−4×(−3)+m=0，解得m=−21
∴x2−4x+m=x2−4x−21=(x+3)(x−7)
∴另一个因式为(x−7)，n的值为−21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
(1)若多项式x2−px−6分解因式的结果中有因式x−3，则实数p=______．
(2)已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
22.(本小题10分)
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系______；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.a10÷a2=a8，故本选项不合题意；
B.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(a2)3=a6，故本选项符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项、完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：0.000 000 =2×0cm．
故D．
小1的正也可以利用科学记数法表示，般式为a1−n，较大的学记数法不同的是所使用的是数幂，指数由数左边起第一个不为的数字前面0的数所决．
本考查用科记数法表示较的数．般形式a×10−n，其中1≤|a|0，n为由原边起第一个不为零的字前面0个数所决．
4.【答案】D
【解析】解：这个八边形的内角和为：
(8−2)×180°=1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8=135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8=45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135:45=3:1．
故选：D．
此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
此题考查多边形的内角与外角的关系．解题的关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
5.【答案】A
【解析】解：A、添加BF=CE，可得BC=EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC//DF，可得∠ACB=∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B=∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB=DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
6.【答案】C
【解析】解：∵长方形的面积=(3a+b)(a+2b)，
长方形的面积=3a2+7ab+2b2，
∴(3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2b2，
故选：C．
根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可．
本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
7.【答案】C
【解析】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E=78°，∠F=47°，
∴∠ECF=180°−∠E−∠F=55°，
∵AB//CF，AD//CE，
∴∠BHE=∠ECF=55°，∠BHE=∠A，
∴∠A=55°．
故选：C．
延长EC交AB于点H，由三角形的内角和可求得∠ECF=60°，再由平行线的性质可得∠BHE=∠ECF=60°，∠BHE=∠A，从而可得解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
50x−50(1+30%)x=2，
故选：A．
根据原计划的天数−实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
9.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，
∴∠ABM=∠ACD=90°−∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，
∵∠BDC=90°，∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴CD=BD，
在△CDM和△BDN中，
∠CDM=∠BDNCD=BD∠MCD=∠NBD，
∴△CDM≌△BDN(ASA)，
∴DM=DN，
故②正确；
∵DM=DN，∠MDN=90°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴∠AMD=∠AMB−∠DMN=90°−45°=45°，
故③正确；
∵∠END=45°，∠AMD=45°，
∴∠END=∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM=90°，ADM+∠CDM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
∠END=∠AMDDN=DM∠EDN=∠ADM，
∴△EDN≌△ADM(ASA)，
∴S△EDN=S△ADM，
故④正确，
故选：D．
由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，则∠ABM=∠ACD=90°−∠A，可判断①正确；
由∠DCB=∠DBC=45°，得CD=BD，而∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM=DN，可判断②正确；
由∠AMB=90°，∠DMN=∠DNM=45°，得∠AMD=45°，可判断③正确；
由∠END=∠AMD=45°，∠EDN=∠ADM=90°−∠CDM，DN=DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN=S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意得：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4−12x3+54x2−108x+81
=x4+4x3⋅(−3)+6x2⋅(−3)2+4x⋅(−3)3+(−3)4
=(x−3)4，
∴(x−3)4=1，
开四次方得：x−3=1或x−3=−1，
解得：x=2或4．
故选：C．
观察题中的图表，表示出(a+b)4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：把x=1代入得：1+21−4+a=3a−3，
此时分式无意义，
∴a−3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
12.【答案】mn3
【解析】解：3m2n9m=3m2n÷3m9m÷3m=mn3，
故答案为：mn3．
先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．
本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
13.【答案】±2
【解析】解：∵y2−my+1是完全平方式，y2−2y+1=(y−1)2，y2−(−2)y+1=(y+1)2，
∴−m=−2或−m=2，
∴m=±2．
故答案为：±2．
利用完全平方公式的意义解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
14.【答案】240
【解析】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵AB=40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE=DF=2×32040=16(m)，
∴△ACD的面积=12AC⋅DF=12×30×16=240(m2)，
故答案为：240．
过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE=DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE=DF是解决问题的关键．
15.【答案】5cm或10cm
【解析】解：∵PQ=AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP=BC时，△ABC≌△QPA，即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP=AC=10cm．
故答案为：5cm或10cm．
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
16.【答案】解：(1)x3−4x2+4x
=x(x2−4x+4)
=x(x−2)2；
(2)a2(x−y)−4(x−y)
=(x−y)(a2−4)
=(x−y)(a+2)(a−2)．
【解析】(1)直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接提取公因式(x−y)，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
17.【答案】解：原式=(a+7)(a+1)−2(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a+1)(a−1)a(a+3)
=a2+6a+9a(a+3)
=(a+3)2a(a+3)
=a+3a，
当a=−3，−1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a=−2时，原式=−12．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
18.【答案】一 2x+2−(x−3)=6x 等式的基本性质 检验
【解析】解：(1)小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2−(x−3)=6x，
这一步的依据是等式的性质，
故答案为：一，2x+2−(x−3)=6x，等式的基本性质；
(2)小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故答案为：检验；
(3)1−x−32x+2=3xx+1，
去分母得：2x+2−(x−3)=6x，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
∴原分式方程的解是x=1．
(1)根据等式的两边同乘2(x+1)，即可判断；
(2)根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
(3)根据解分式方程正确的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形(已知)，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°(等边三角形的性质)．
∴∠BAD=∠CAE(等式的性质)．
在△BAD与△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
【解析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)；
(2)A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3轴对称。
【解析】(1)要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标；
(2)各顶点向右平移6个单位找对应点即可；
(3)从图中可以看出关于直线x=3轴对称。
本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，触类旁通。
21.【答案】解：(1)1
(2)解：设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x+5)(x+n)
则2x2+3x−k=2x2+(2n+5)x+5n
∴2n+5=3−k=5n，
解得n=−1，k=5，
∴另一个因式为(x−1)，k的值为5．
【解析】(1)将(x−3)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a和p的值；
解：设另一个因式为x+a，得x2−px−6=(x−3)(x+a)
则x2−px−6=x2+(a−3)x−3a，
∴−3a=−6−p=a−3，解得a=2，p=1．
故答案为：1．
(2)(2x+5)(x+n)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出n和k的值．详见答案．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
22.【答案】解：(1)AD=AB+DC;
(2)AB=AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠G.且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC(AAS)
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF
【解析】解：(1)AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB//CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵点E是BC的中点
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA(AAS)
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
(2)见答案．
(1)由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得结论；
(2)延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a10÷a2=a5B. a2+a2=a4
C. (a+b)2=a2+b2D. (a2)3=a6
3.生物具有遗，遗传息大多储存在DN子上，一个DNA子直径约为0.000002cm，个数用科学数法可表示为)
A. 0.2×10−6cmB. 2×10−6cmC. 0.2×10−7cmD. 2×10−7cm
4.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为( )
A. 1：3B. 1：2C. 2：1D. 3：1
5.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AC=DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是( )
A. BF=CEB. AC//DFC. ∠B=∠ED. AB=DE
6.用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式.如图的数学等式是( )
A. (3a+b)(a+2b)=3a2+2b2
B. (3a+b)(a+2b)=3a2+6ab+2b2
C. (3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2b2
D. (3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+4b2
7.如图，在△CEF中，∠E=78°，∠F=47°，AB//CF，AD//CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( )
A. 45°
B. 47°
C. 55°
D. 78°
8.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是( )
A. 50x−50(1+30%)x=2B. 50x−5030%x=2
C. 5030%x−2=50xD. 50(1+30%)x−50x=2
9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E.下列结论：①∠ABM=∠ACD；②DM=DN；③∠AMD=45°；④S△EDN=S△ADM.其中正确结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为( )
A. 2B. −4C. 2或4D. 2或−4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知分式x+2x2−4x+a，当x=1时，分式无意义，则a= ______．
12.化简：3m2n9m= ______．
13.已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是______．
14.如图，地块△ABC中，边AB=40m，AC=30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为______m2．
15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，线段PQ=AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP= ______时，△ABC和△QPA全等．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解
(1)x3−4x2+4x
(2)a2(x−y)−4(x−y)
17.(本小题8分)
先化简：(a+7a−1−2a+1)÷a2+3aa2−1，再从−3、−2、−1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18.(本小题9分)
小丽解分式方程1−x−32x+2=3xx+1时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：2x+2−(x−3)=3x……第一步；
解得：x=52……第二步；
∴原分式方程的解是x=52……第三步；
(1)小丽解答过程从第 步开始出错，正确结果是 ，这一步的依据是 ．
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 ．
(3)请写出正确的解题过程．
19.(本小题10分)
如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．
20.(本小题12分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
21.(本小题5分)
仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−4m=3n解得n=−7，m=−21．
∴另一个因式为(x−7)，n的值为−21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)
∴当x=−3时，x2−4x+m=(x+3)(x+n)=0
即(−3)2−4×(−3)+m=0，解得m=−21
∴x2−4x+m=x2−4x−21=(x+3)(x−7)
∴另一个因式为(x−7)，n的值为−21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
(1)若多项式x2−px−6分解因式的结果中有因式x−3，则实数p=______．
(2)已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
22.(本小题10分)
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系______；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.a10÷a2=a8，故本选项不合题意；
B.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(a2)3=a6，故本选项符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项、完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：0.000 000 =2×0cm．
故D．
小1的正也可以利用科学记数法表示，般式为a1−n，较大的学记数法不同的是所使用的是数幂，指数由数左边起第一个不为的数字前面0的数所决．
本考查用科记数法表示较的数．般形式a×10−n，其中1≤|a|0，n为由原边起第一个不为零的字前面0个数所决．
4.【答案】D
【解析】解：这个八边形的内角和为：
(8−2)×180°=1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8=135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8=45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135:45=3:1．
故选：D．
此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
此题考查多边形的内角与外角的关系．解题的关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
5.【答案】A
【解析】解：A、添加BF=CE，可得BC=EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC//DF，可得∠ACB=∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B=∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB=DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
6.【答案】C
【解析】解：∵长方形的面积=(3a+b)(a+2b)，
长方形的面积=3a2+7ab+2b2，
∴(3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2b2，
故选：C．
根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可．
本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
7.【答案】C
【解析】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E=78°，∠F=47°，
∴∠ECF=180°−∠E−∠F=55°，
∵AB//CF，AD//CE，
∴∠BHE=∠ECF=55°，∠BHE=∠A，
∴∠A=55°．
故选：C．
延长EC交AB于点H，由三角形的内角和可求得∠ECF=60°，再由平行线的性质可得∠BHE=∠ECF=60°，∠BHE=∠A，从而可得解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
50x−50(1+30%)x=2，
故选：A．
根据原计划的天数−实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
9.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，
∴∠ABM=∠ACD=90°−∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，
∵∠BDC=90°，∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴CD=BD，
在△CDM和△BDN中，
∠CDM=∠BDNCD=BD∠MCD=∠NBD，
∴△CDM≌△BDN(ASA)，
∴DM=DN，
故②正确；
∵DM=DN，∠MDN=90°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴∠AMD=∠AMB−∠DMN=90°−45°=45°，
故③正确；
∵∠END=45°，∠AMD=45°，
∴∠END=∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM=90°，ADM+∠CDM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
∠END=∠AMDDN=DM∠EDN=∠ADM，
∴△EDN≌△ADM(ASA)，
∴S△EDN=S△ADM，
故④正确，
故选：D．
由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，则∠ABM=∠ACD=90°−∠A，可判断①正确；
由∠DCB=∠DBC=45°，得CD=BD，而∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM=DN，可判断②正确；
由∠AMB=90°，∠DMN=∠DNM=45°，得∠AMD=45°，可判断③正确；
由∠END=∠AMD=45°，∠EDN=∠ADM=90°−∠CDM，DN=DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN=S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意得：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4−12x3+54x2−108x+81
=x4+4x3⋅(−3)+6x2⋅(−3)2+4x⋅(−3)3+(−3)4
=(x−3)4，
∴(x−3)4=1，
开四次方得：x−3=1或x−3=−1，
解得：x=2或4．
故选：C．
观察题中的图表，表示出(a+b)4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：把x=1代入得：1+21−4+a=3a−3，
此时分式无意义，
∴a−3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
12.【答案】mn3
【解析】解：3m2n9m=3m2n÷3m9m÷3m=mn3，
故答案为：mn3．
先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．
本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
13.【答案】±2
【解析】解：∵y2−my+1是完全平方式，y2−2y+1=(y−1)2，y2−(−2)y+1=(y+1)2，
∴−m=−2或−m=2，
∴m=±2．
故答案为：±2．
利用完全平方公式的意义解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
14.【答案】240
【解析】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵AB=40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE=DF=2×32040=16(m)，
∴△ACD的面积=12AC⋅DF=12×30×16=240(m2)，
故答案为：240．
过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE=DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE=DF是解决问题的关键．
15.【答案】5cm或10cm
【解析】解：∵PQ=AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP=BC时，△ABC≌△QPA，即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP=AC=10cm．
故答案为：5cm或10cm．
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
16.【答案】解：(1)x3−4x2+4x
=x(x2−4x+4)
=x(x−2)2；
(2)a2(x−y)−4(x−y)
=(x−y)(a2−4)
=(x−y)(a+2)(a−2)．
【解析】(1)直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接提取公因式(x−y)，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
17.【答案】解：原式=(a+7)(a+1)−2(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a+1)(a−1)a(a+3)
=a2+6a+9a(a+3)
=(a+3)2a(a+3)
=a+3a，
当a=−3，−1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a=−2时，原式=−12．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
18.【答案】一 2x+2−(x−3)=6x 等式的基本性质 检验
【解析】解：(1)小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2−(x−3)=6x，
这一步的依据是等式的性质，
故答案为：一，2x+2−(x−3)=6x，等式的基本性质；
(2)小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故答案为：检验；
(3)1−x−32x+2=3xx+1，
去分母得：2x+2−(x−3)=6x，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
∴原分式方程的解是x=1．
(1)根据等式的两边同乘2(x+1)，即可判断；
(2)根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
(3)根据解分式方程正确的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形(已知)，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°(等边三角形的性质)．
∴∠BAD=∠CAE(等式的性质)．
在△BAD与△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
【解析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)；
(2)A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3轴对称。
【解析】(1)要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标；
(2)各顶点向右平移6个单位找对应点即可；
(3)从图中可以看出关于直线x=3轴对称。
本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，触类旁通。
21.【答案】解：(1)1
(2)解：设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x+5)(x+n)
则2x2+3x−k=2x2+(2n+5)x+5n
∴2n+5=3−k=5n，
解得n=−1，k=5，
∴另一个因式为(x−1)，k的值为5．
【解析】(1)将(x−3)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a和p的值；
解：设另一个因式为x+a，得x2−px−6=(x−3)(x+a)
则x2−px−6=x2+(a−3)x−3a，
∴−3a=−6−p=a−3，解得a=2，p=1．
故答案为：1．
(2)(2x+5)(x+n)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出n和k的值．详见答案．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
22.【答案】解：(1)AD=AB+DC;
(2)AB=AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠G.且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC(AAS)
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF
【解析】解：(1)AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB//CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵点E是BC的中点
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA(AAS)
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
(2)见答案．
(1)由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得结论；
(2)延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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