十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编：专题11 数列解答题综合二（原卷版）

这是一份十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编：专题11 数列解答题综合二（原卷版），共6页。试卷主要包含了考点01，考点02，考点03等内容，欢迎下载使用。

一、考点01：数列新定义
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
6．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
7．（2020·江苏·高考真题）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
8．（2020·上海·高考真题）有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.
（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.
（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
（3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.
二、考点02：数列不等式问题
9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
10．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
11．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
12．（2020·浙江·高考真题）已知数列中，．
（Ⅰ）若数列为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：．
三、考点03：数列的最值问题
13．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
14．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
15．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.
16．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
17．（2018·全国II卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
考点
十年考情 (2016-2025)
命题趋势
数列新定义
2024 新课标 Ⅰ 卷：可分数列相关问题；2024 北京卷：数列变换新定义问题；2023 北京卷：数列新定义与前 n 项和结合问题；2022 北京卷：连续可表数列问题；2021 北京卷：λ 数列问题；2020 北京卷：数列性质新定义问题；2020 江苏卷：“λ~k” 数列问题；2020 上海卷：有限数列性质问题
新定义数列是高考考查热点，常结合等差数列、等比数列性质，考查对新定义的理解与应用，注重逻辑推理和转化能力。
数列不等式问题
2022 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列与等比数列结合的不等式证明；2022 浙江卷：等差数列等比数列相关不等式问题；2021 天津卷：数列不等式证明；2020 浙江卷：等差数列相关不等式证明
数列与不等式结合考查，多涉及等差数列、等比数列，考查不等式的证明、参数范围求解等，常需运用放缩法、函数思想等。
数列的最值问题
2022 全国甲卷：等差数列前 n 项和的最值；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列前 n 项和最小值；2021 上海卷：数列相关最值问题；2019 北京卷：等差数列前 n 项和最小值；2018 全国 II 卷：等差数列前 n 项和最小值及通项
数列最值问题多围绕等差数列前 n 项和展开，考查利用二次函数性质、邻项变号法等求最值，也涉及数列通项相关最值问题。
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值