三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编：专题08 圆锥曲线（全国通用）（原卷版）

这是一份三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编：专题08 圆锥曲线（全国通用）（原卷版），共7页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

考点01 椭圆
一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：x2+y2=16（y>0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x216+y24=1（y>0）B．x216+y28=1（y>0）
C．y216+x24=1（y>0）D．y216+x28=1（y>0）
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1⋅PF2=0，则PF1⋅PF2=（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点，点 P在C上，cs∠F1PF2=35，则|OP|=（ ）
A．135B．302C．145D．352
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
二、解答题
5．（2025·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF的斜率为13，△PFA的面积为32，离心率为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB.
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点(0,−2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为2，求|AB|．
7．（2025·北京·高考真题）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点Mx0,y0x0≠0在椭圆E上，直线x0x+2y0y−4=0与直线y=2，y=−2分别交于点A，B．设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2，比较S1S2与|OA||OB|的大小．
8．（2025·上海·高考真题）已知椭圆Γ:x2a2+y25=1(a>5)，M(0,m)(m>0)，A是Γ的右顶点．
(1)若Γ的焦点(2,0)，求离心率e；
(2)若a=4，且Γ上存在一点P，满足PA=2MP，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围．
9．（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=10．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR⋅AP=3．
（i）设P(m,n)，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．
10．（2024·广东江苏·高考真题）已知A(0,3)和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
11．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,tt>2且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B，过点A和C0,1的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
13．（2024·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12．左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点（O为原点），△ABC的面积为332．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于P，Q两点．在y轴上是否存在点T，使得TP⋅TQ≤0恒成立．若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
14．（2023·北京·高考真题）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|=4．
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=−2交于点N．求证：MN//CD．
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53，点A−2,0在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点−2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．
16．（2023·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知A1F=3,A2F=1．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2PF面积的二倍，求直线A2P的方程．
考点02 双曲线
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．7D．22
2．（2025·北京·高考真题）双曲线x2−4y2=4的离心率为（ ）
A．32B．52C．54D．5
3．（2025·天津·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若PF1+PF2=3F1F2，则双曲线的离心率e=（ ）
A．2B．5C．2+12D．5+12
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．2
5．（2024·天津·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P在双曲线右支上，直线PF2的斜率为2．若△PF1F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．x22−y28=1B．x24−y28=1C．x28−y22=1D．x28−y24=1
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．55B．255C．355D．455
7．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线x2−y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．1,1B．−1,2C．1,3D．−1,−4
8．（2023·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2．过F2向一条渐近线作垂线，垂足为P．若PF2=2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ ）
A．x28−y24=1B．x24−y28=1
C．x24−y22=1D．x22−y24=1
二、多选题
9．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠NA1M=5π6，则（ ）
A．∠A1MA2=π6B．MA1=2MA2
C．C的离心率为13D．当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
三、填空题
10．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为 ．
11．（2024·天津·高考真题）设a∈R，函数fx=2x2−ax−ax−2+1.若fx恰有一个零点，则a的取值范围为 ．
12．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为 ．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A=−23F2B，则C的离心率为 ．
四、解答题
14．（2024·上海·高考真题）已知双曲线Γ:x2−y2b2=1b>0，左、右顶点分别为A1,A2，过点M−2,0的直线交双曲线Γ于P,Q两点.
(1)若Γ的离心率为2，求b.
(2)若b=263,△MA2P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标.
(3)连接QO（O为坐标原点）并延长交Γ于点R，若A1R⋅A2P=1，求b的最大值.
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为−25,0，离心率为5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点−4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.
考点03 抛物线
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=−2x+2，则|AF|=（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2025·天津·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若PF1+PF2=3F1F2，则双曲线的离心率e=（ ）
A．2B．5C．2+12D．5+12
3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、多选题
4．（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=−32于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．|AD|=|AF|B．|AE|=|AB|
C．|AB|≥6D．|AE|⋅|BE|≥18
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|=15
C．当|PB|=2时，PA⊥AB
D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线y=−3x−1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．p=2B．MN=83
C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形
三、填空题
7．（2025·北京·高考真题）已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= ．
8．（2024·上海·高考真题）已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 ．
9．（2024·北京·高考真题）抛物线y2=16x的焦点坐标为 ．
10．（2024·天津·高考真题）已知圆(x−1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AF的距离为 ．
11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为 .
四、解答题
12．（2023·上海·高考真题）曲线Γ:y2=4x，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在Γ上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线l:x=−3，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有HQ>4”，求a的取值范围．
13．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线x−2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，且|AB|=415．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，FM⋅FN=0，求△MFN面积的最小值．
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点01 椭圆
考查椭圆定义的运用，根据条件求椭圆的标准方程。如 2025 年新高考 Ⅰ 卷第 18 题，通过椭圆的离心率以及顶点间的距离来确定椭圆的标准方程。
椭圆的几何性质这是高考的热点问题。例如 2023 年新高考 Ⅰ 卷第 5 题考查椭圆的离心率；2024 年高考中也有题目涉及椭圆离心率的计算。
直线与椭圆的位置关系：包括弦长问题、中点弦问题、直线与椭圆相交的综合问题等。如 2022 年新高考 Ⅱ 卷第 16 题涉及直线与椭圆的弦长问题，2024 年椭圆的考查也体现在直线与椭圆位置关系的大题中
强调综合与实际应用
多模块融合：命题从单一知识点考查转向多模块融合，常与平面向量、数列等知识结合，如 2024 年新高考 Ⅱ 卷中双曲线与数列的综合。
跨学科融合：注重与物理、生物、经济等学科的结合，考查数学工具在实际问题中的应用，如结合物理光学、天体运动等情境命题。
突出能力与素养考查
从知识覆盖到能力立意：更强调数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，减少纯计算量，注重 “齐次化”“定比点差法” 等技巧的运用。
加强探索性与开放性：探索性题型的考查力度加大，以平面几何知识为背景构建寻求轨迹的探索性问题，出现更多动态问题，如动点轨迹、旋转对称等，开放性与探究性增强。创新命题形式与角度
参数方程的应用：以参数方程为载体的综合题频繁出现，如 2023 年新课标卷椭圆弦长最值问题。
向量工具的渗透：向量的命题价值上升，通过向量线性组合构造特殊点轨迹等创新考法可能出现。
动态几何问题：将圆锥曲线嵌入平面几何框架，综合运用初等几何方法，如多曲线联动、几何变换等问题增多。
考点02 双曲线
双曲线的定义与方程：考查利用定义求双曲线的标准方程，或根据方程确定双曲线的基本量。如 2024 年新高考 Ⅰ 卷的第 12 题，通过双曲线的定义及相关条件来求解离心率。
几何性质：重点是离心率的计算，渐近线方程的求解或应用。比如 2023 年新高考 Ⅰ 卷第 16 题，根据双曲线的一些条件求离心率；2025 年北京卷第 3 题，由双曲线方程求离心率。
直线与双曲线的位置关系：可能涉及弦长问题、中点弦问题等，不过相对椭圆而言，考查频率稍低。如 2023 年全国乙卷理第 11 题，通过双曲线的性质以及点差法来判断线段中点的位置。
考点03 抛物线
抛物线的定义与方程：常考查根据抛物线的定义求方程，或已知方程求相关参数。如 2023 年全国乙卷理科第 13 题，通过点在抛物线上求抛物线方程及点到准线的距离。
抛物线的几何性质：包括焦点、准线、焦半径公式等的应用。像 2023 年全国甲卷理科第 20 题，考查了抛物线的性质及焦半径公式。
直线与抛物线的位置关系：常涉及弦长问题、中点弦问题、交点问题等。在解答题中，常与其他知识综合考查，如 2023 年全国甲卷理科第 20 题，将抛物线与三角函数、点到直线的距离等知识相结合。