专题19 圆锥曲线解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）

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1．(2022年全国甲卷理科·第20题)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
2．(2022年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
3．(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
4．(2022新高考全国I卷·第21题)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l斜率；
(2)若，求的面积．
5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第22题)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
8．(2020新高考II卷(海南卷)·第21题)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
9．(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
10．(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第21题)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第19题)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
(1)若，求的方程；
(2)若，求．
17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第20题)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题)(12分)
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第20题)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．
21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点．
23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.
(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，．
( = 1 \* ROMAN I)当，时，求的面积；
( = 2 \* ROMAN II)当时，求k的取值范围．
25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
( = 2 \* ROMAN II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
26．(2015高考数学新课标2理科·第20题)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
27．(2015高考数学新课标1理科·第20题)(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，
(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；
(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。
28．(2014高考数学课标2理科·第20题)(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
29．(2014高考数学课标1理科·第20题)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点．
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程．
30．(2013高考数学新课标2理科·第20题)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．
(1)求的方程；
(2)为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
31．(2013高考数学新课标1理科·第20题)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．